Transcript Etude comparative

Troisième Congrès Tunisien de Mécanique
COTUME’2014
Etude comparative des méthodes d’identification
des propriétés matérielles des tubes métalliques
T. Zribi, A. Khalfallah, H. Belhadjsalah
Laboratoire de Génie Mécanique- Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir,
Av. Ibn ElJazzar, 5019 Monastir, [email protected].
2
[email protected].
Résumé / Abstract : L’objectif de ce papier est d’identifier les
paramètres de comportement élastoplastique et anisotrope d’un
tube hydroformé en acier doux S235. Les paramètres
d’anisotropie sont déterminés, tout d’abord, à partir des éprouvettes découpées du tube et sollicitées à la traction simple. des
essais de gonflement hydraulique de tubes sont réalisés en utilisant un dispositif d’hydroformage de tubes que nous avons conçu
et fabriqué. Les paramètres d’écrouissage sont déterminés à partir d’une méthode analytique. Au même temps, nous avons développé une procédure d’identification inverse qui permet de déterminer les paramètres de comportement des tubes à partir des résultats expérimentaux d’hydroformage. Une étude comparative
entre les deux méthodes a été élaborée par une comparaison entre
les données expérimentales obtenues à partir des essais de gonflement de tubes et les réponses numériques correspondantes pour
les deux méthodes. Pour la méthode analytique, nous avons observé un désaccord entre les grandeurs prédites et la réponse expérimentale. Dans le cas de la méthode inverse, nous avons montré une très bonne concordance entre ces réponses et les données
expérimentales. Nous concluons que la démarche proposée constitue une technique bien prouvée pour l’identification des paramètres de comportement des tubes déformés par gonflement hydraulique.
Mots clefs : Identification, anisotropie, essai
d’hydroformage de tubes, méthode analytique, méthode inverse
1. Introduction
L’hydroformage des tubes est un procédé de mise en
forme qui est devenu de plus en plus utilisé dans plusieurs
domaines industriels tels que le domaine automobile et le
domaine aérospatiale. Il présente un outil adéquat pour
l’obtention des pièces de formes complexes et de poids réduit. En effet, ce procédé permet d’une part de substituer
plusieurs opérations secondaires (pliage, emboutissage, roulage, soudage, etc…) en une seule et d’autre part de fabriquer des pièces rigides avec des tolérances dimensionnelles
faibles et une meilleure distribution de l’épaisseur. La réussite et la faisabilité du procédé d’hydroformage dépend de
plusieurs paramètres. Ces derniers, (trajets de chargement,
dimensions du tube, pression de formage, géométrie et dimensions des outils (matrice), contact tube-matrice etc…),
influent fortement l’état final de la pièce hydroformée et sa
formabilité [1,2].
De nos jours, la simulation numérique constitue un outil
efficace et robuste pour prévoir les défauts et optimiser les
solutions grâce au développement des codes de calcul par
éléments finis. Cette étape nécessite d’introduire le modèle
de comportement approprié qui tient compte des propriétés
matérielles du matériau et de la nature des sollicitations subies par le matériau lors du déroulement du procédé. La détermination des paramètres matériels du modèle choisi est
d’une grande importance. C’est une étape primordiale pour
la description précise du comportement plastique du tube.
En effet, le choix d’un modèle adéquat avec une bonne
identification des propriétés du matériau du tube améliore la
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précision dans les résultats de simulation et par suite une
bonne prédiction du procédé d’hydroformage.
La caractérisation expérimentale du comportement plastique
des matériaux tubulaires fait appel à des essais expérimentaux et des méthodes d’identification. Le choix de ces dernières dépend essentiellement de leur possibilité
d’applications et de l’essai de caractérisation utilisé qui dépend, lui-même, de la complexité des trajets de chargement
subis par le matériau.
En effet, les méthodes d’identification dites directes (ou
analytiques) sont celles qui utilisent des équations analytiques permettant de monter des variables globales (effort,
déplacement, épaisseur, etc…) aux variables locales (déformation, contrainte etc…). Généralement, Ces méthodes
sont applicables dans le cas des essais homogènes, où
l’éprouvette est soumise à un champ de déformation uniforme le long de la zone utile. Par exemple pour l’essai de
traction simple on peut calculer les champs de déformations
et de contraintes à partir des mesures des champs de déplacements et de forces.
Pour les essais inhomogènes, les équations analytique ne
seront plus valables sauf localement relativement à des
zones spécifiés, ou en un point de l’éprouvette. Pour cette
raison la détermination des paramètres du matériau à l’aide
des méthodes directes reste difficile ou impossible même
pour ce type d’essai.
Grace au développent de la puissance de calcul sur ordinateur et au développement des méthodes de mesures de
champs cinématiques, la méthode d’identification inverse
révèle très intéressante. Elle est employée dans le cas des
essais inhomogènes correspondants à des procédés ayant
des trajets de chargement relativement complexes [3,4].
2. Dispositif expérimental
Pour élaborer les essais de gonflement libre de tubes, un
banc d’essai de gonflement hydraulique de tubes a été conçu et fabriqué au sein de notre Laboratoire de Génie Mécanique (LGM) à l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir
(ENIM). Cette machine est conçue pour appliquer des pressions qui peuvent atteindre les 700 bars et des efforts axiaux
de 200 KN (20 Tonnes). Avec ces caractéristiques on arrive
à hydroformer des tubes en aciers, en alliages d’aluminium
et même en aciers inoxydables.
Fig.1 : Machine d’hydroformage de tube
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La flexibilité est l’avantage majeur de ce banc (figure 1). En
effet, d’une part il est capable de gonfler des tubes de diamètres et d’épaisseurs différents et d’autre part ce dispositif
est capable de réaliser des essais de gonflement de tubes
sans efforts axiaux (à extrémités fixes) ou avec efforts
axiaux (déplacement des bords du tube). Cette dernière configuration permet de pratiquer le procédé d’hydroformage
des tubes proprement dit en utilisant les matrices de formage adéquates [5].
3. Essais expérimentaux
1. Matériau étudié
Ce sont des tubes en acier doux et de désignation S235.
Ils sont fabriqués selon la norme standard EN 103 05-03. Ils
sont obtenus par roulage des tôles et ensuite soudés par induction à haute fréquence. Le diamètre extérieur du tube est
de 50 ±0,25 mm et l’épaisseur est de 1,2 mm ± 10% sont les
données fournies par le fabricant. Notons que nous avons
mesuré l’épaisseur du tube et nous avons trouvé une épaisseur moyenne de 1,07 mm.
2. Essais de gonflement de tube
L’essai de gonflement hydraulique de tubes, est un essai inhomogène. Il consiste à engendrer un champ de contrainte
biaxial suivant les deux directions d’orthotropie (direction
axiale et direction circonférentielle) à l’intérieur d’un tube
soumis à une pression hydrostatique. Le tube étant fixé aux
extrémités par leurs évasements. La longueur totale du tube
est de 260mm dont une partie de 60mm reste libre représentant la zone de déformation.
Deux compagnes d’essai d’hydroformage libre sont élaborées. La première consiste à gonfler un tube jusqu’à
l’éclatement. Le but de cet essai est de prélever la courbe
hauteur maximale gonflée (au pole du tube) en fonction de
la pression interne. La mesure de ces deux grandeurs est effectuée au cours de l’essai grâce aux deux capteurs de pression et de déplacement installés sur la machine. [5]
Pour valider la méthodologie proposée, Nous comparons
les résultats expérimentaux tels que l’épaisseur minimale
(au pole) en fonction de la pression et le profil gonflé le
long de l’axe du tube avec les réponses numériques correspondantes. Une deuxième compagne d’essais de gonflement
de tubes consiste à gonflé un ensemble de neuf tubes à différentes pressions (cf. fig. 2).
Fig. 2: Les tubes gonflés à différentes pressions [5]
4. Modèle de comportement
Pour modéliser le comportement élastoplastique et anisotrope du tube, Nous avons choisi le critère orthotrope et
quadratique de Hill 48 avec la loi d’écrouissage isotrope de
Swift (Eq. 1).
(1)
σ = K (ε + ε ) n
0
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Les équations Eq.(2) et Eq.(3) représentent la contrainte
et la déformation équivalente dans le cas des contraintes
planes.
(2)
σ =
ε =
2
2
3  (1 + 1 / R0 )σ ϕ + (1 + 1 / R90 )σ θ − 2σ ϕ σ θ
2
(1 + (1 / R0 ) + (1 / R90 ))





2  (1 + 1 / R0 + 1 / R90 )  ( R0 + R90 )ε θ2 + R0 (1 + R90 )ε t2   (3)

3  (1 + R0 + R90 )  + 2 R0ε θ ε t

σφ et σθ sont, respectivement, les contraintes principales
dans la direction axiale et circonférentielle. εθ et εt sont, respectivement, les déformations principales circonférentielle
et suivant l’épaisseur. R0 et R90 sont, respectivement, les
coefficients d’anisotropie dans la direction axiale et circonférentielle.
5. Méthode d’identification analytique
La détermination de la courbe d’écrouissage par cette méthode est basée sur la théorie des membranes (Eq. 3) et
l’équation d’équilibre d’un élément de volume du tube (Eq.
4).
σθ σϕ p
(3)
rθ
+
rϕ
=
t
p rθ
(4)
2t
Avec rθ le rayon au pole suivant la circonférence, rφ le
rayon de courbure du profil, p la pression interne et t
l’épaisseur au pole
Ces deux relations, expriment les deux contraintes principales en fonction de certains paramètres. La résolution de
ces deux équations, permettant de calculer la contrainte
équivalente pour chaque niveau de pression, nécessite de
connaitre les autres paramètres qui les constituent.
La contrainte équivalente au sens de Hill est exprimée en
fonction des coefficients de Lankford et les contraintes
principales dans les deux directions axiale et circonférentielle.
Partons des équations (3) et (4), la majorité des paramètres
qui les constituent ne sont pas mesurables au cours de
l’essai avec les équipements de mesure dont on dispose.
Pour ce fait nous avons prévu la deuxième compagne
d’essais, présentée précédemment, qui consiste à réaliser
des essais de gonflement libre sur plusieurs tubes à différents stades de pression. Nous mesurons, ensuite, toutes les
grandeurs nécessaires pour chaque tube gonflé et par suite
pour chaque état de chargement. Les données enregistrées
sont exploitées pour calculer les contraintes (σφ et σθ).
Dans notre cas nous avons mesuré la pression interne,
l’épaisseur au pole du tube et la hauteur maximale gonflée.
La détermination du rayon de courbure dans la direction
axiale rφ constitue l’objet majeur de cette méthode, en effet
les moyens de mesure classiques ne permettent pas de mesurer ce paramètre. Il est calculé analytiquement comme
suit :
Cette méthode, proposée par Lianfa et Cheng, se base sur
des techniques mathématiques et non pas sur des hypothèses
[6].
σϕ =
p
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Elle consiste à mesurer le rayon du tube (yi) à différents endroit du profile suivant l’axe x (cf. figure 3), puis sauvegarder les coordonnées (xi,yi) des différents point mesurés. Ces
points seront recaler à une fonction mathématique y=f(z) qui
décrit le profile de la région gonflée.
Apres une dérivation secondaire de la formule mathématique, on trouve l’expression de rφ comme suit :
rϕ
[1 + (dy / x) ]
=
(d
2
2
y/d x
2
la deuxième est la matrice. Compte tenu de la symétrie du
problème à résoudre, un huitième du modèle éléments finis
est suffisant pour modéliser le gonflement hydraulique du
tube, tout en respectant les conditions aux limites. Cela
permet de gagner énormément en temps de calcul dans le
processus du calcul inverse itératif. Le tube est modélisé par
une pièce déformable contenant 500 éléments coques
« shell » (S4R).
3/ 2
(5)
)
x =0
Fig. 4 : Modèle des éléments finis
La matrice est supposée rigide de rayon égal à 7.5mm. Le
contact entre le tube est la matrice est modélisé sans frottement vu que la déformation axiale est très faible. La matrice
étant encastrée. Un profil de pression linéaire par rapport au
temps est introduit à ce modèle.
Fig. 3: Schéma d’un tube gonflé avec les différents paramètres géométriques [6]
6. Méthode d’identification inverse
Dans ce travail nous présentons une stratégie
d’identification des paramètres matériels basée sur la méthode inverse.
Le concept général de la méthode d’identification inverse
est de trouver les paramètres inconnus qui caractérisent le
comportement mécanique du matériau à partir d’une grandeur visible (mesurée). Le principe de cette méthode c’est
de minimiser l’erreur entre le résultat de la simulation numérique et celle de l’expérience. Son but est donc de trouver les paramètres du matériau pour lesquels la réponse numérique convient à son homologue expérimental.
Elle est basée sur la minimisation d’une fonction objectif
(Eq. 6) qui est définie par une approximation de moindres
carrées entre les résultats numériques et expérimentaux. Les
paramètres sont ajustés jusqu’à l’erreur arrive à une valeur
prédéfinie δ appelée tolérance.
f ( P) =
1
N
N
∑
i =1
 Riexp − Rinum

Riexp

7. Résultats et discussions
Afin de vérifier la capacité de la méthode analytique à décrire le comportement de l’essai de gonflement en utilisant
le modèle de Hill48, l'essai d’hydroformage libre a été simulé en utilisant les paramètres identifiés analytiquement.
Le tableau 1 illustre les paramètres de la loi de Swift identifiés à l’aide des deux méthodes.
Tableau 1: Paramètres d’écrouissage identifiés à partir des deux méthodes
Méthode Analytique
Méthode inverse
K
820.25
551.98
n
0.357
0.087
ε0
0.09
0.187
La figure 5 montre que la courbe simulée à l’aide des paramètres identifiés à partir de l’essai d’hydroformage par la
méthode analytique, est totalement en désaccord avec la
courbe expérimentale.
2

 ≤ δ

(6)
Avec P représente les paramètres du matériau, N le
nombre de points expérimentaux, R iexp and R inum les réponses expérimentale et numérique, respectivement.
La méthode d’identification inverse est basée sur une méthode d’optimisation couplée avec un modèle éléments finis. Nous avons choisi et utilisé la méthode de simplexe non
linéaire [7]. Cette une méthode dite directe d’ordre zéro.
Elle procède par l’évolution de la valeur de la fonction objectif itérativement.
1. Modèle éléments finis
Dans cette étude, le modèle élément finis, utilisé pour la simulation du gonflement du tube est présenté par la figure 4.
Ce calcul par la méthode des éléments finis est réalisé par le
code commercial ABAQUS standard. Ce modèle est composé de deux parties dont la première représente le tube et
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Fig. 5 : Hauteur au pole vs pression interne
Afin d'évaluer la méthodologie proposée et de valider la
précision de la prédiction des modèles identifiés du procédé
d’hydroformage, une étape de validation a été effectuée en
comparant l'épaisseur de la paroi du tube expérimental à
celle obtenue par la présente étude.
En se référant à la figure 6 on peut voir que l'épaisseur de la
paroi du tube au pôle prédite par l’approche inverse est en
bon accord avec les données expérimentales.
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[3] A. Khalfallah, H. Belhadjsalah, A. Dogui, “Anisotropic parameter
identification using inhomogeneous tensile test”, European Journal of
Mechanics, A/Solids 21, (2002), pp.927-942.
[4] T. Zribi, A. Khalfallah & H. Belhadjsalah, “Inverse Method for flow
stress parameters identification of tube hydroforming considering anisotropy”, Int. J. of Mechatronics and Manufacturing systems,
Vol. 4 N° 5 (2011), p441-453.
[5] T. Zribi, A. Khalfallah & H. Belhadjsalah, “Experimental characterization and inverse constitutive parameters identification of tubular materials for tube hydroforming process”, Materials and Design 49 (2013), p.
866-877
Fig. 6 : Epaisseur au pole vs pression interne
A partir de a même figure, on aperçoit que les réponses
prédites avec les paramètres identifiés à partir de la méthode analytique ne collent pas avec les grandeurs mesurées.
Malheureusement les méthodes analytiques proposées dans
la littérature ne donnent pas toujours des résultats satisfaisants. En effet, Sokolowski et al. ont proposé une méthode
analytique utilisant l’essai de gonflement des tubes [8]. Ils
ont réussi à prédire l’épaisseur mais ce n’était pas le cas
pour la hauteur au pole qui était totalement en désaccord
avec les points expérimentaux. Hwang et al. ont aussi identifié les paramètres d’écrouissage de l’alliage d’aluminium
AA6011 et de l’acier inoxydable SUS409 en considérant le
cas isotrope [9]. Les hauteurs au pole prédites n’ont pas collé avec celle mesurées.
Cela veut dire que dans certain cas l’utilisation d’une méthode analytique ne permet même pas de retrouver les données expérimentales (la hauteur au pole, la pression, épaisseur…) utilisées comme données lors de l’application de
cette méthode.
C'est-à-dire que cette méthode est insuffisante pour prédire
des grandeurs qui sont déjà exploitées dans le calcul des
équations analytiques mises en œuvre. Cela peut être dû à
l’utilisation de l’hypothèse de membrane dans le calcul analytique et des approximations faites sur la géométrie du tube
pour la détermination de certains paramètres comme le
rayon de courbure.
[6] Lianfa Y. et Cheng G., Determination of stress-strain relationship of
tubular material with hydraulic bulge test, Thin-Walled Structures, 2007.
[7] Nelder JA, Mead R. A simplex method for function minimization.
Comput J 1965;7(4):34–40.
[8] Sokolowski T., Gerke K, Ahmetoglu M., Altan T., 2000, Evaluation of
Tube Formability and Material Characteristics: hydraulic bulge testing
of tubes, Journal of Materials Processing Technology, vol. 98, pp. 34-40.
[9] Hwang Y-M., Lin Y-K et Altan T., Evaluation of tubular materials by
a hydraulic bulge test, International Journal of Machine Tools & Manufacture, (2006).
8. Conclusion
Dans ce travail, une étude comparative à été élaborée mettant en œuvre deux méthodes d’identification de propriétés
matérielles des tubes en acier S235 soumis à
l’hydroformage. La première consiste à une méthode analytique proposée par Lianfa et al. et la deuxième est celle que
nous avons proposé basée sur la méthode inverse
Plusieurs conclusions peuvent être tirées de ce travail :
- Notre méthodologie développée, se basant sur la méthode
inverse, est la plus efficace pour l’identification du comportement de ce type de matériaux.
- Le domaine d’application de la méthode d’identification
analytique reste étroit et son efficacité est limitée à cause
des hypothèses sur lesquelles elle se base.
9. Références
[1] Ahmed M.et Hashimi M.S.J., Estimation of machine parametes for
hydraulic bulge forming of tubular components, Journal of Materials Processing Technology 64 (1997): 9-23.
[2] Koç M. et Altan T., An overall review of the tube hydroforming (THF)
technology, Journal of Materials Processing Technology 108 (2001) 384393
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