Transcript sujet - PSI

DS
Devoir Surveillé n°3
3
ÉVALUATIONS
Durée: 4h00
Problème 1
CCP PSI 2009
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 ∂A z ∂A θ −
∂A r ∂A z −
1 ∂(r A θ ) ∂A r −
−
−→→
→
→
−
−
−
Formulaire mathématique : rot A =
ur +
uθ +
u→z
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
A. Étude expérimentale d’un matériau ferromagnétique
On désire tracer expérimentalement le cycle d’Hystérésis B = f (H ) d’un matériau se présentant sous la
forme d’un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements. On note R son rayon moyen et S sa section.
Le schéma de principe du montage expérimental est le
suivant
Dans les conditions expérimentales, N2 i 2 ≪ N1 i 1 . On ne
tiendra pas compte de la résistance des enroulements.
H et B sont supposés uniformes dans le tore.
(α > 0)
Intégrateur
voie Y
´
v s = −α v 2 dt
i1
N1
R
N2
R0 = 1,0 Ω
11
00
00
11
vs
v2
11
00
00
11
S
111
000
000
111
voie X
F IGURE 1 –
Compte tenu qu’on peut inverser (en appuyant sur la touche « invert ») une des deux voies de l’oscilloscope, on n’attachera
pas trop d’importance aux signes des coefficients de proportionnalité K 1 et K 2 dans les deux questions suivantes.
A.1. La relation entre i 1 et H est du type H = K 1 i 1 . Établir l’expression de K 1 en fonction de N1 et R.
A.2.
A.2.a. Rappeler la relation entre le flux ΦC M à travers une section droite du circuit magnétique et la tension v 2 dans
la bobine 2. La relation entre v S et B est du type B = K 2 .v S . En déduire l’expression de K 2 en fonction de α, N2 et S. On
admettra que v S = 0, lorsque B = 0.
A.2.b. On utilise le montage ci-contre pour réaliser l’intégrateur. Quelles doivent être les
bornes d’entrée + et - de l’amplificateur linéaire intégré pour un fonctionnement en mode
linéaire ? Établir alors l’expression de α en fonction de R et de C .
A.3. Les composants donnent K 1 = 100 S.I. et K 2 = 0, 20 S.I.
On observe sur l’écran de l’oscilloscope la courbe de la figure 3.
En déduire l’ordre de grandeur du champ magnétique rémanent B r , de sa valeur à saturation
B sat et de l’excitation coercitive Hc dont on précisera les unités !
La ferrite présente un cycle de surface inférieure à celle du fer ainsi qu’un champ rémanent
plus faible.
C
R
111
000
000
111
000
111
F IGURE 2 –
A.4. Quel est parmi ces deux matériaux celui qui est le mieux adapté à la réalisation :
• d’un transformateur ?
• d’un aimant permanent ?
A.5. Sur l’oscillogramme, on évalue l’aire A du cycle à 6 carreaux. Rappeler sous forme d’une intégrale, l’expression de la
densité volumique d’énergie dissipée dans le matériau au cours d’un cycle. L’évaluer numériquement dans le cas du cycle
étudié ci-dessus.
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Vy (volts)
+4
+2
+1
+2
+3
Vx (volts)
F IGURE 3 –
B. Influence des courants de Foucault sur un cycle d’hystérésis
On considère un conducteur ohmique, cylindrique de très grande hauteur h (i.e. supposé infini) suivant l’axe z ′ z. Il est
amagnétique, c’est-à-dire assimilable d’un point de vue magnétique à du vide de perméabilité µ0 .
→
−
Ce conducteur est placé dans une région où règne un champ magnétique extérieur B ext , uniforme avec
→
−
→
−
−
−
B ext = B max cos(ωt )→
e z . Celui-ci provient d’une excitation extérieure H ext = Hmax cos(ωt )→
ez .
On note ρ son rayon et γ sa conductivité électrique.
→
−
→
−
B.1. L’air est assimilé à du vide. Rappeler la relation qui existe entre B ext et H ext .
z
B.2. Expliquer pourquoi, il apparaît dans ce conducteur ohmique un champ électrique induit
→
−
→
−
E ainsi que des courants induits de densité volumique j .
→
−
B.3. Quelle relation existe-t-il entre une densité volumique de courant j et son courant I ?
→
−
Quelle est l’unité de j ?
−
→
−
→
− →
B.4. A partir des propriétés de B ext , montrer que E et j dépendent uniquement de r et sont
portés par e θ .
B.5. En se plaçant dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires magnétique, déter→
−
→
−
miner les expressions de E et j en fonction de B max , r , γ, ω et t .
B.6. Rappeler l’expression de la densité volumique locale des pertes Joule instantanées, puis
établir sa valeur locale moyenne sur le temps en fonction de B max , r , γ et ω.
→
−
B ext
z′
F IGURE 4 –
B.7. À l’aide d’une intégration sur le conducteur de rayon ρ et de hauteur h, donner l’expression de la densité volumique des pertes Joules moyennes sur le temps et sur l’espace.
B.8. Dessiner l’allure des lignes de courants induits à l’intérieur du conducteur étudié précédemment. Les pertes à
l’intérieur de ce conducteur sont elles modifiées :
• si on découpe le conducteur suivant un plan d’équation θ = constante ?
• si on découpe le conducteur suivant un plan d’équation z = constante ?
B.9. Pourquoi feuillette-t-on les circuits magnétiques des transformateurs électriques ? Pourquoi ajoute-t-on du silicium (peu conducteur) au fer de ces circuits
z = C te
magnétiques ?
→
−
B.10. La densité de courant j crée à l’intérieur du conducteur un champ
z
µ0 γB max ω(ρ 2 − r 2 )
→
−′
→
−′
→
−
magnétique B avec B (r ) =
sin(ωt )e z pour tout r < ρ et
4
→
−′
θ = C te
B (r ) = 0 pour tout r > ρ.
→
−
En assimilant l’induction magnétique B à l’intérieur du conducteur aux deux
→
−
→
−′
→
−
→
−
→
−
F IGURE 5 –
contributions B ext et B soit B = B ext + B ′ , déterminer en fonction de B max ,
→
−
′
ρ , ω , t et γ, le flux Φ(t ) de B à travers un disque de rayon ρ et d’axe z z.
→
−
B.11. On définit le champ magnétique moyen dans le conducteur par < B (t ) >=
Φ(t ) →
→
−
−
e z . Déterminer < B (t ) > en fonction de B max , µ0 , γ, ω, ρ et t .
2
πρ
B.12. On rappelle qu’à une grandeur sinusoïdale réelle x(t ) = X max cos(ωt + ϕ), on peut lui associer la grandeur complexe x(t ) = X max e j ωt où X max est le complexe de module X max et d’argument ϕ.
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→
−
→
−
Montrer qu’on peut définir une perméabilité complexe µ telle que < B (t ) >= µ H ext (t ). On précisera le module et l’argument de µ en fonction de µ0 , γ, ω et ρ.
B.13. Quelle est alors l’allure des cycles d’hystérésis des matériaux ferromagnétiques en haute fréquence, lorsque les
courants de Foucault sont importants ?
C. Utilisation des matériaux ferromagnétiques
C.I. Étude d’un circuit magnétique
On considère le dispositif suivant qui comporte un circuit magnétique torique et un conducteur rectiligne supposé infini, parcouru
par un courant i (t ), placé sur l’axe de révolution du tore. Le tore est
à section rectangulaire de hauteur H , les côtés sont distants de a et
b de l’axe de révolution ; a et b sont donc les rayons intérieur et extérieur du tore. On a b = 2a et H = 1 cm. Le matériau magnétique
constituant le tore est supposé homogène, linéaire, de perméabilité
magnétique relativeµr = 106 . On rappelle que µ0 = 4π.107 H · m−1 .
i (t)
z
−
e→
θ
H
−
e→
r
2a
C.I.1. En justifiant soigneusement votre réponse, montrer qu’à l’in→
−
→
térieur du tore le champ magnétique est de la forme B = B (r, z)−
eθ ;
2b
C.I.2. Exprimer ce champ B (r, z) ;
C.I.3. En déduire l’expression du flux Φ à travers une section droite
du circuit magnétique.
F IGURE 6 –
C.II. Principe du disjoncteur différentiel
Un disjoncteur différentiel se compose de deux circuits électriques
couplés par le circuit magnétique précédent. La ligne électrique bifilaire EDF (230 Veff, 50 Hz qui assure le transport aller
et retour du courant) est placée au centre du circuit magnétique précédent. Une autre bobine, assimilable à un circuit
ouvert, comporte N spires enroulées autour du circuit magnétique.
C.II.1. Un usager touche accidentellement un seul des deux fils de la ligne centrale
bifilaire, par exemple le conducteur aller, en même temps que ses pieds sont reliés à la
terre. Il y a alors un courant de fuite : tout le courant véhiculé par le conducteur aller
ne repart pas par le conducteur retour. Pour qu’il n’y ait pas d’accident grave, l’intensité
efficace du courant qui traverse l’usager doit être inférieure à 30 mAeff. Expliquer en
quoi ce dispositif permet-il de détecter une électrocution ?
i aller (t)
Bobine de
N spires de
C.II.2. La bobine précédente alimente un électroaimant qui coupe l’alimentation EDF
sur seuil de tension : Vseuil = 5 Veff. Combien doit-elle comporter de spires pour une
protection de 30 mAeff (courant maximal admissible dans le corps de l’usager !) ?
C.II.3. En pratique, les matériaux magnétiques ne sont généralement pas linéaires,
mais présentent un cycle d’hystérésis B (H ). Pourquoi les constructeurs¯de disjoncteurs
¯
¯ dB ¯
¯ en H = 0,
différentiels recherchent-ils des matériaux magnétiques doux tel que ¯¯
dH ¯
soit maximum ?
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section H(b − a)
i retour (t)
Ligne
bifilaire EDF
F IGURE 7 –
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Problème 2
Sismographe électromagnétique
Un sismographe est un appareil destiné à enregistrer les mouvements du sol associés aux phénomènes sismiques. Ces
mouvements sont très variables en amplitude et en fréquence selon la nature de la source, la distance entre le capteur et
l’épicentre du séisme et la nature de l’onde enregistrée.
Nous allons étudier dans cette partie un sismographe électromagnétique (voir figure 8). Ce type d’appareil ne possède
qu’un seul degré de liberté : il n’enregistre que les vibrations verticales du sol. Pour obtenir le déplacement total, il est
donc nécessaire d’utiliser trois sismographes : un capteur de déplacements verticaux et deux capteurs de déplacements
horizontaux.
Le dispositif étudié est composé :
000000111111
111111
000000
• d’un d’un bâti rigide (R0 ) reposant sur le sol ;
000000111111
111111
000000
• d’un aimant permanent (A) solidaire du bâti et dont la fonction est de créer un champ magnétique radial de norme
constante en tout point de son entrefer cylindrique (la
norme de ce champ sera notée B ) ;
• d’une bobine (b) d’inductance propre L, de résistance R L ,
constituée de spires circulaires jointives de même rayon.
Cette bobine est entièrement plongée dans l’entrefer de l’aimant ; elle est éventuellement parcourue par un courant
d’intensité i dont l’orientation est précisée sur la figure 9 ;
111111
000000
000000
D 111111
000000
111111
000000
000000111111
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
(k,ℓ0 )
(R0 )111111
000000
000000
000000111111
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
C
000000
111111
000000
111111
00000
11111
000000
111111
000000
111111
00000
11111
→
−
000000
111111
000000
111111
g
00000
11111
(S)
000000
111111
000000
111111
z
00000
11111
G
G
000000
111111
000000
111111
00000
11111
000000
111111
000000
111111
00000
11111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
(b)
000000
111111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
000000
111111
(A)
0000
1111
000000
111111
000000
111111
0000
1111
−
→
000000
111111
000000
111111
e
z
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
O1
000000
111111
000000
111111
sol
000000
111111
000000
000000111111
111111
000000
111111
00000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111
• d’un solide (S) solidaire de la bobine et mobile par rapport
z s (t)
au bâti, suspendu en C à un ressort de raideur k et de lon−
e→
z
gueur à vide ℓ0 . L’autre extrémité du ressort est attachée au
O
bâti en D. L’ensemble {solide + bobine} constitue l’équipage
mobile, de masse totale m et de centre d’inertie G.
F IGURE 8 – Sismographe électromagnétique
En l’absence de secousse sismique, le sol définit un référentiel
→
−
galiléen (RT ) que l’on munit du repère vertical (O, e z ) (niveau
de référence). Le passage de l’onde provoque le déplacement du bâti qui repose sur le sol. Ce bâti constitue un second
référentiel qui sera noté (R0 ) et qui possède un mouvement vertical de translation rectiligne par rapport à (RT ).
−
(R0 ) est muni du repère vertical (O 1 , →
e z ) parallèle à celui de (RT ), de telle sorte que la cote de O 1 par rapport à O soit z s (t )
(voir figure 9).
→
−
−
L’accélération de la pesanteur est supposée uniforme : g = −g →
ez .
A. Bobine en circuit ouvert
Dans cette partie, la bobine est en circuit ouvert. L’intensité du courant qui la parcourt est donc nulle.
A.1. Le référentiel (R0 ) est-il galiléen ? Exprimer la vitesse du point
→
−
G notée v G /RT dans le référentiel (RT ) ainsi que son accélération
→
−
a G /RT en fonction des dérivées temporelles de z s et zG .
A.2.
En l’absence d’onde sismique (z s constant), l’équipage
mobile est en équilibre mécanique par rapport à (R0 ). Quelle
est alors la longueur ℓeq du ressort en fonction de k, ℓ0 , m et
g?
→
−
B
i
(A)
−
e→
z
(b)
F IGURE 9 – Entrefer et bobine (orientation)
Les vibrations du sol entraînent un déplacement de l’équipage mobile par rapport à sa position d’équilibre. Les mouvements verticaux étant les seuls étudiés, la cote du centre d’inertie G devient à l’instant t : zG (t ) = z eq + z(t ) (z eq étant la
cote à l’équilibre mécanique). La longueur du ressort est alors ℓ(t ).
A.3. Écrire la relation entre les grandeurs ℓ(t ), ℓeq et z(t ).
A.4. En raisonnant dans le référentiel (Rt ), établir l’équation différentielle à laquelle satisfait z puis la mettre sous la
forme
d2 z s
d2 z
2
z
=
−
+
ω
0
dt 2
dt 2
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en explicitant ω0 en fonction de k et m.
B. Étude du dispositif de détection des vibrations
La bobine est constituée d’un enroulement de fil de longueur totale a. Elle est maintenant parcourue par un courant
électrique d’intensité i .
→
−
B.1. Déterminer la résultante des actions mécaniques exercées sur la bobine par le champ magnétique B de l’aimant.
En déduire que l’équation différentielle établie précédemment doit désormais être remplacée par l’équation
dZ s
d2 z
+ γi + ω20 z = − 2
2
dt
dt
Donner l’expression du coefficient γ en fonction de B , a et m.
La bobine est reliée au circuit électronique représenté ci-dessous
dans lequel l’amplificateur linéaire intégré est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire (voir figure 10).
(Eqd)
B.2. Exprimer la force électromotrice e induite dans la bobine par
le champ magnétique de l’aimant en fonction de B , dz/ dt et a.
B.3. Quelle est l’origine physique du courant électrique qui traverse la bobine ? Établir l’équation électrique qui relie, en régime
quelconque (pas nécessairement sinusoïdal), l’intensité i à e, L, R L
et R.
montage (E)
C
i
(L, RL )
R
uL (t)
111
000
000
111
000
111
u(t)
F IGURE 10 – Montage électronique
Lors du passage d’une onde sismique, le mouvement du bâti est une fonction sinusoïdale du temps de la forme Z s (t ) =
Z0 cos(ωt ). Intéressons-nous au régime sinusoïdal forcé de l’ensemble du dispositif : toutes les grandeurs sont donc des
fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation ω.
Rappelons qu’à toute grandeur sinusoïdale g (t ) = G cos(ωt + ϕ), il est possible d’associer une représentation complexe
g (t ) = Ge j (ωt +ϕ) = Ge j ωt où G = Ge ϕ désigne l’amplitude complexe de g .
Posons en particulier Z s (t ) = Z0 e j ωt et u(t ) = U e j ωt .
B.4. Déterminer la relation entre Z et I , amplitudes complexes de z et i .
La résistance du dispositif R du dispositif électronique étant ajustée de sorte que Lω ≪ (R +R L ), quelle est alors la relation
approchée reliant Z et I ?
Considérons le montage (E) réalisé autour de l’amplificateur linéaire intégré (voir figure 10).
B.5. Quel nom donne-t-on usuellement à ce montage ? Expliciter la relation entre les amplitudes complexes I et U .
B.6. À l’aide de l’équation (Eqd), déterminer l’équation reliant Z et Z0 et en déduire l’expression de la fonction de transfert électromécanique H( j ω) = U /Z0 de ce dispositif, en l’écrivant sous la forme :
H( j ω) = −H0
ω2
ω20 − ω2 + 2 j λω
Quelles sont les expressions du coefficient d’amortissement λ et de H0 ?
Dans toute la suite du problème, les paramètres du sismographe et du montage électronique sont ajustés pour que λ = ω0 .
B.7. Établir les expressions du gain G(ω) = |H( j ω)| et de l’argument ϕ(ω) = arg[H( j ω)] de la fonction de transfert électromécanique. Représenter leur allure en fonction de ω.
B.8. Tracer le diagramme de Bode de H( j ω) (amplitude et phase) en y précisant les asymptotes et les points remarquables.
Quelle est la nature du filtre réalisé par ce dispositif ?
Un sismographe fonction de manière optimale lorsque le quotient U /Z0 entre l’amplitude réelle U de la tension u(t ) et
l’amplitude Z0 du déplacement du sol est une constante indépendante de la fréquence des vibrations.
B.9. Dans ce cas, le sismographe doit-il avoir une pulsation propre ω0 importante ou au contraire peu élevée ?
Comment doit-on choisir la masse m de l’équipage mobile ainsi que la constante de raideur k du ressort ?
B.10. Pour une fréquence propre f 0 = ω0 /2π donnée, quel est le domaine de fréquences pour lequel le comportement
du sismographe diffère de 1% de son comportement optimal ?
B.11. Dans le cas d’un séisme proche, les fréquences de l’onde varient habituellement entre 1 Hz et 10 Hz. En déduire
ÉVALUATIONS - DS 3: Devoir Surveillé n°3
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un ordre de grandeur de f m , valeur maximale de la fréquence propre f 0 permettant d’assurer un fonctionnement idéal.
B.12. Application numérique : le ressort utilisé a une raideur de l’ordre de 5000 N · m−1 . Quelle masse minimale doit
posséder l’équipage mobile pour assurer le bon fonctionnement de l’appareil ?
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Problème 3
Capteur inductif
Un capteur inductif permet de mesurer la distance qui
le sépare d’un ruban magnétique défilant. Il est assimilable à un circuit magnétique (figure 11) constitué d’un
matériau doux feuilleté en forme de U dont la section est
un carré d’aire S 1 = a 2 . Autour du circuit sont bobinés N
enroulements (b) d’un conducteur parcouru par un courant d’intensité I .
La ligne moyenne du circuit magnétique est représentée
en pointillés sur le schéma, elle est de longueur ℓ1 dans
le feuilletage ; la perméabilité magnétique du matériau
doux vaut µ1 = 500µ0 , µ0 étant la perméabilité magnétique du vide.
Ce capteur est placé en regard d’un ruban métallique ferromagnétique de largeur supérieure à a.
Ruban (µ2 )
x
en défilement
circuit magnétique
ℓ1
(b)
≪2
N
i
a
µ1
e
F IGURE 11 –
Il est en défilement continu à une distance x devant le capteur ; son épaisseur est notée e et la perméabilité magnétique
du matériau constitutif vaut µ2 = 700µ0 .
Les lignes de champ sont parfaitement guidées par le circuit magnétique. L’entrefer entre le circuit magnétique et le ruban
est suffisamment petit pour pouvoir négliger les fuites de flux magnétique. Les courants induits qui peuvent circuler dans
le ruban sont négligés.
La longueur du contour d’Ampère moyen Γ adopté se décompose ainsi : ℓ1 dans le capteur, 2x dans l’air et ℓ2 dans le
ruban. Les valeurs de l’excitation magnétique (respectivement du champ magnétique) seront notées H1 (respectivement
B 1 ) dans le capteur, H0 (respectivement B 0 ) dans l’air et H2 (respectivement B 2 ) dans le ruban.
→
−
1. Enoncer le théorème d’AMPERE relatif au vecteur excitation magnétique H .
2. Appliquer ce théorème le long du contour moyen Γ orienté.
3. Ecrire, en justifiant votre raisonnement, le flux Φ du champ magnétique successivement à travers les sections du
−
→ −
→ −
→
capteur, du ruban et de l’air. Le champ magnétique est noté respectivement B 1 , B 2 et B 0 pour chacune de ces régions ; a
et e sont les longueurs permettant de préciser les surfaces des sections qu’ils traversent.
4. Exprimer les relations liant les excitations magnétiques aux champs magnétiques dans les trois parties du dispositif.
Déduire du théorème d’AMPERE l’expression de l’intensité I en fonction du seul champ B 1 , de N , ℓ1 , ℓ2 , a, e, x, µ0 , µ1 et
µ2 .
5. Définir un matériau ferromagnétique ; préciser le phénomène qui le caractérise et citer des exemples.
Quelles sont les spécificités d’un matériau ferromagnétique doux feuilleté ?
6. Déterminer le flux magnétique Φb dans la bobine (b). En déduire l’expression de l’inductance L de cette bobine en
fonction du champ magnétique B 1 , de N , a et I .
Exprimer l’inductance L(x) de la bobine pour une distance x entre le capteur et le ruban, en fonction de N , ℓ1 , ℓ2 , a, e, x,
µ0 , µ1 et µ2 .
La valeur de consigne pour la distance capteur-ruban est fixée égale à x 0 ; toute distance quelconque pourra s’écrire x =
x 0 + ∆x.
7. Montrer que l’inductance L(x) de la bobine peut µs’écrire, en
¶ fonction de l’inductance associée à la distance de consigne
1
L(x 0 ) = L 0 et de l’écart ∆x, sous la forme : L(x) = L 0
.
1 + A∆x
¶
µ
ℓ1 2x 0 aℓ2 −1
+
+
Identifier L 0 , puis écrire A sous la forme : A = Ψ
. Déterminer Ψ.
µ1 µ0
eµ2
Les données relatives au capteur : N = 100, ℓ1 = 12 cm, ℓ2 = 5 cm, a = 3 cm, x 0 = 10 mm, e = 0, 1 mm et µ0 = 4π.10−7 H · m−1 ,
permettent de calculer les grandeurs L 0 = 0, 3 mH et A = 50 m−1 .
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La grandeur définie comme le rapport R de la somme des courants enlacés N I sur le flux du champ magnétique au
NI
travers de la section S d’un tube de champ, porte le nom de réluctance : R =
.
Φ
8. Exprimer cette grandeur R en fonction de ℓ1 , ℓ2 , a, e, x, µ0 , µ1 et µ2 , puis en fonction de N et de L(x). Analyser son
sens physique par analogie électrique. Justifier le titre de cette partie : capteur de proximité à reluctance variable.
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