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TD 6
Magnétostatique
MP*
❏ 1. Cavité dans un cylindre.
N fils infinis tous parcourus par un courant d’intensité i sont réunis sous la forme d’un
cylindre de rayon R avec une densité n = N/πR2 de fils par unité de surface.
1. Montrer que le champ 𝐵(M) en un point M intérieur à ce cylindre peut s’exprimer
vectoriellement en fonction de µ0, i, 𝑢 z et 𝑂𝑀.
2. On enlève quelques fils du conducteur précédent qui présente alors une cavité
cylindrique « décentrée» dont l’axe (O1z1) est parallèle à (Oz). Dans le reste du cylindre
initial la densité de fil vaut toujours n. Déterminer le champ magnétique dans la cavité.
❏ 2. Tore à section carrée.
On considère un tore constitué de spires carrées de côté a, le centre de chaque spire étant à la distance b du
centre du tore. Le nombre N de spires est très grand et chacune est parcourue par un courant d’intensité i.
1. Déterminer le champ magnétique 𝐵 créé en tout point de l’espace par le tore.
2. Déterminer l’expression du flux Φ du champ magnétique 𝐵 à travers une spire.
❏ 3. Bus de données.
Le bus de données d’un ordinateur est un ruban, de largeur a, constitué de N fils rectilignes, jointifs et
coplanaires. Ces fils sont parcourus par un courant de même intensité.
1. En assimilant le bus à une répartition continue de courant dans son plan Oxy, Ox étant défini par la
direction des fils, exprimer le champ magnétique en un point M situé au voisinage de ce plan.
2-. Calculer le champ magnétique crée, à 2mm, par un bus de données parcouru par un courant de 1mA,
sachant que a =3,25 cm et N = 64.
❏ 4. Faisceau électronique.
Un faisceau cylindrique monocinétique d’électrons, de rayon R = 100 µm, supposé illimité, transporte un
courant d’intensité I = 50 mA. On suppose que la charge volumique ρe est homogène. L’énergie cinétique
des électrons est Ec = 1 keV.
1. Calculer la vitesse des électrons ainsi que ρe.
2. Exprimer le champ magnétique 𝐵 dans tout l’espace.
3. Déterminer le champ électrostatique 𝐸 produit par le faisceau.
4. Existe-t-il une relation simple entre 𝐸 et 𝐵.
5. Trouver la force qui s’exerce sur les électrons du faisceau. Ce dernier reste-t-il cylindrique ?
❏ 5. Bobines de Holtzhelm
Deux spires circulaires coaxiales de rayon R et dont les centres sont distants de R sont parcourues par des
courants +I et -I.
1- Commenter la carte des lignes de champ. Donner la valeur de 𝐵(𝑂)et interpréter.
2- Au voisinage de O on écrit au premier ordre:
Bx(x,y,z) = a1x + a2y + a3z ; By(x,y,z) = b1x + b2y + b3z ; Bz(x,y,z) = c1x + c2y + c3z
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Justifier par des considérations de symétrie que a2 et a3 sont nuls, puis que b1 et b3 sont nuls et enfin que c1 et
c2 sont nuls. En déduire que la norme de 𝐵 est minimale en O
❏ 6. Effet Hall dans un conducteur de section rectangulaire
Soit un barreau conducteur rectiligne de plus grande dimension suivant (Ox) et de section droite
rectangulaire de côté a et b, parcouru par un courant continu d’intensité I crée par un champ électrostatique
𝐸 = 𝐸! 𝑒! . On suppose que tous les porteurs de charge libres sont du même type. On note 𝑉 leur vitesse
d’ensemble, n leur densité volumique et q leur charge individuelle. Initialement le vecteur densité volumique
de courant est selon 𝑒! et s’écrit 𝚥 = 𝑛𝑞𝑉 = 𝑛𝑞𝑉𝑒! . A l’instant t = 0, ce conducteur est plongé dans un
champ magnétique 𝐵 = 𝐵𝑒! uniforme et statique.
1- Montrer qu’à partir de t =0 le barreau est siège d’un régime transitoire se caractérisant par l’apparition
d’une différence de potentiel et d’un champ électrostatique entre 2 des faces du conducteur que l’on
précisera. Montrer qu’alors une composante transversale suivant Oz vient se superposer à la densité
volumique de courant longitudinale. Tracer l’allure des lignes de champ du vecteur 𝚥.
2- A quelle condition le régime transitoire prend-t-il fin ? Quelle est alors la forme des lignes de champ du
vecteur 𝚥 ? Le régime permanent étant atteint, le champ électrostatique (dit champ de Hall noté 𝐸! en
fonction de la constante de Hall AH = 1/nq (en m3.C-1), de 𝚥 et de 𝐵. Exprimer de même, la différence de
potentiel (dite ddp de Hall notée UH) entre les deux faces du conducteur identifiées à la question précédente
en fonction de la constante de Hall, de l’intensité I, de la norme de 𝐵 et de la distance entre les faces
concernées. Discuter son signe en fonction du signe des porteurs de charge.
3- Un capteur à effet Hall est composé d’une pastille semi-conductrice de surface a = 1mm2 et d’épaisseur
b≈0,1mm, composée d’antimoniure d’indium (InSb), dans laquelle circule un courant permanent de l’ordre
de 1A. Un voltmètre permet de mesurer la ddp de Hall apparaissant en présence d’un champ magnétique.
Sachant que dans un semi-conducteur la densité de porteurs de charge est n ≈ 1022 m-3 alors qu’elle est de
1028 m-3 dans un bon conducteur tel que le cuivre, discuter l’intérêt d’utiliser InSb pour la fabrication d’une
sonde à effet Hall dont on décrira brièvement le fonctionnement.
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