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Dynamique des Solides
Chap.1:
2011-2012
Chapitre1
CARACTERISTIQUES
D’INERTIE DES SOLIDES
La géométrie des masses permet de déterminer les centres de gravité et la matrice
d'inertie d'un solide, notions utilisées dans les chapitres suivants.
I. CENTRE DE GRAVITE : ...................................................................................................... 2
II.
Moment d’inertie –Matrice d’inertie : ................................................................................. 5
III.
Exercices : ......................................................................................................................... 10
ISET De Sousse
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Dynamique des Solides
Chapitre1
I. CENTRE DE GRAVITE :
1. Systèmes de solides ponctuels :


Soit une distribution de masse Pi , mi , le centre de gravité G est défini par le barycentre des n
points Pi affectés des coefficients égaux aux masses mi.
n
M OG  mi OPi
i 1
n
m GP  0
i
i
i 1
2. Corps matériels homogènes :
2.1. Définition :
On appelle centre d’inertie d’un système matériel (E) le point unique G défini par la relation :

E
GM dm  0
2.2. Propriétés :
Soit O un point quelconque :
 GM dm = 
E
E
(GO  OM )dm
0 = GO dm + OM dm


E
d’où
E
m OG =  OM dm
E
 x
 xG 
 
 
On pose OG   yG  et OM   y 
z
z 
 
 G
m xG
=
 x dm
m yG
=
 y dm
m zG
=
 z dm
E
E
E
Remarque :
Si le solide possède un axe de symétrie alors le centre d’inertie appartient à cet axe.
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Chapitre1
2.3. Exemples :
2.3.1.
Cône de révolution :
Déterminer le centre d’inertie d’un cône de révolution de
z
rayon R ,de hauteur h , plein et homogène ?
R
Le volume V du cône V 1R2h
r
3
zG = 1  z dv
V E
r
dz
h
z
dvr dz
y
2
tg  R  r  r R z ;
h z
h
R
Finalement zG = 1  2 z3 dz
V E h
2.3.2.
2
zG = 3 h
4

Demi-cerceau :
xP R Cos

P
 yP R Sin
Or L R




L xG  xPdl  2 R Cos R d R2 2 Cos d  2 R2
L
2




2
L yG  yPdl  2 R Sin R d R2 2 Sin d  0
L
2
2
xG  2R


OG  
 yG  0

D’ou
3. Théorèmes de GULDIN :
3.1. Centre d’inertie d’une courbe plane :
m OG = OM dm avec mL
L
Avec  : masse linéique  dmdL
L OG = OM dL
L
sur l’axe x
 xddL
On sait que S 
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S
2
0
L xG =
 x dL
E
d  xdL2  xdL
L
L
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Chapitre1
S  2 L xG
Finalement
3.2. Exemples :
y
3.2.1. Demi-cerceau :
Déterminer le centre d’inertie d’un demi-cercle
R
(S)
de rayon R ?
x
xG
E La longueur du demi-cercle : L  R
xG
La surface générée du demi-cercle : S  4R 2
Appliquant le théorème de GULDIN  xG 
2R

3.2.2. Surface conique :
z
Déterminer l’air d’une surface conique (S) de
R
hauteur h et de rayon R ?
La longueur : L 
(S)
R 2  h2
xG
L
R
2
Le centre d’inertie : xG 
h
G
y
La section : S  2LxG
Finalement S   R R 2  h 2
x
3.3. Centre d’inertie d’une surface plane :
m OG =
OM dm
S
z
avec mS
V 
 : Masse surfacique
dmdS
S OG =
x
dS
xG G
OM dS
S
 x dS

V  xddS  d  xdS 2  xdS
Soit la direction x : S xG =
2
Le volume
V
0
y
S
S
S
x
V  2  S xG
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Chapitre1
3.4. Exemples :
3.4.1.
Demi-disque :
y
Déterminer la position du centre de gravité G d’une plaque demicirculaire de rayon R ?
L'axe
Ox
(S)
coupe
la
plaque
en
deux
morceaux
x
identiques
Le volume V  4R3
3
La surface S  R2
2
finalement
xG  4R
3
3.4.2. Tore :
y
Déterminer le volume d’un tore V  de
rayons r et R ?
La surface S R2
R
r
Le volume V 2r 2R
V  2 2 r 2 R
II. Moment d’inertie –Matrice d’inertie :
z
1. Définition :
:-
Etant donné un solide (S) de masse m.
dm
(S)
H
On appelle moment d’inertie du solide (S) par rapport à un
A
point A, la quantité positive :
I A S   S AM
2
dm
y

- On appelle moment d’inertie du solide (S) par rapport à un
axe   , la quantité positive :
x
I S    HM


M
S
2
dm
La dimension d’un moment d’inertie étant le produit d’une masse par le carré d’une distance, on
définit pour un solide ( S ), le rayon de giration R par :
I S   m R
2

4. Expressions analytiques dans un repère orthonormé :


Un point M d’un solide ( S ) ayant pour coordonnées x, y,z dans le repère O,x, y,z :
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
Chapitre1
Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport au point O est donné par :
I S     x
2
O
S

 y2  z2 dm
    

Les moments d’inertie d’un solide (S) par rapport aux axes : O, x , O, y , O, z sont
donnés par :
I  S   y z  dm
2
O, x
2
S
I  S   x z  dm
2
O, y
2
S
I  S   x  y  dm
2
O, z
2
S
5. Théorème de Hygens :
I S    HM
A
2
S
dm
z
HM HK KM
I AS SHK dm + SKM
2
(E) G.
dm + 2 HKKM dm
2
A
S
2
S
S
y
S
(car HKKG )
S
HKGM dm = 0
H
x
HK KM dm = HK KGdm + HKGM dm
HKKGdm = 0

S
S
S
K
d
M
S
I S HK dm + KM dm + 2HKKM dm
2
dV
(
GM dm0 : Centre
S
d’inertie)
KM dmI S 
2
G
S
I S  =
2
HK dmmd 2
A
S
2
I S  = I S  + md
A
G
6. Matrice d’inertie :
6.1. Définition :
On pose : OM xx y y zz
La matrice d’inertie d’un solide quelconque (S) s’écrit sous la forme :
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 y2  z 2 dm  xydm
 xzdm 



  xydm

2  z 2 dm


x
yzdm
I O,S   



  xzdm  yzdm
2  y 2 dm

x


 
x, y,z 
Par suite en écrira cette matrice sous la forme :


 A F E 
I O,S F B D
E D C 

x, y,z 
6.2. Méthodes pratique de détermination de la matrice d’inertie :
-
Le solide ( S ) possède un plan de symétrie passant par O :



Le plan O,x, y est un plan de symétrie  DE0

 A

I O , S     F

 0






0
B
D

0 

 D

C
  x , y , z 



Le plan O, x, z est un plan de symétrie  D  F  0
0
B
0

 E

0 

C
  x , y , z 


Le solide (S) possède deux plans de symétrie  D  E  F  0

 A

I O , S    0

0

-
0


 A

I O , S    0

 E


B
Le plan O, y, z est un plan de symétrie  F  E  0

 A

I O , S    0

 0



0 

0 

C
  x , y , z 
F
0
B
0

0

0

C
  x , y , z 


Le solide (S) possède un axe de symétrie passant par O :

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 
L’axe O, z est un axe de symétrie  A=B
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
 A

I O , S    .

 .

Chapitre1

. 

. 

C
  x , y , z 
.
A
.

 


L’axe O, y est un axe de symétrie  A = C

 A

I O , S    .

 .


. 

. 

A
  x , y , z 
.
B
.

 


L’axe O, x est un axe de symétrie  B = C

 A

I O , S    .

 .



. 

. 

C
  x , y , z 
.
C
.


Le solide (S) possède deux axes de symétrie orthogonaux passant par O :  A=B=C

 A

I O , S    .

 .


. 

. 

A
  x , y , z 
.
A
.


6.3. Exercices :
6.3.1.
Cylindre :
Déterminer la matrice d’inertie d’un cylindre (S)

(m )
z
homogène de masse (m) en son centre d’inertie G dans
R

la base B x, y, z ?
(Voir figure ci-contre)
h
O
y
(S)
Réponse :
x

 A

La matrice d’inertie a la forme suivante :
I O , S    0

0

C
 x  y  dm   r
2
S
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2
S
2
0
A
0

0 

0 

C
  x , y , z 


dm Et comme m   V   R2  h  dm   dV   r d dr dz
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C
h
2
h
2
2
  
0
A C 
2
R
0

 r dr d dz Finalement :
3
z2 dm  C 
2
6.3.2.
h
2
h
2
2
R
0
0
  
Cm
Chapitre1
R2
2
r  z2 dr d dz
 R2 h2 
A m  
 4 12 

Tige rectiligne :
Déterminer la matrice d’inertie d’une tige rectiligne
z
(S) de longueur L, homogène de masse (m) en son
 
centre d’inertie G dans la base b x, y, z ?
L
2
y
L
2
Réponse :
 mL2
0
 12

mL2
I G,S  0 12
0
 0


La matrice d’inertie est :
6.3.3.

0

0

0

x, y, z 
Parallélépipède rectangle :
Déterminer la matrice d’inertie du parallélépipède rectangle (S) homogène de masse m en son centre
 
d’inertie G dans la base b x, y, z ? (Voir figure ci-contre)
Réponse :
La matrice d’inertie du parallélépipède rectangle est :
m 2 2
 b c
12
I G, S    0

0



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
0

m 2 2
a c
12
0




0

m 2 2
a b 
12
  x, y , z 
0





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Chapitre1
III. Exercices :
EXERCICE 1:
Soit une plaque demi-circulaire de rayon R .
L'axe Ox coupe la plaque en deux morceaux identiques
a) Déterminer la position de son centre de gravité G
b) Déterminer sa matrice d'inertie au point O
c) En déduire sa matrice d'inertie au point G
EXERCICE 2:
Soit un solide constitué d'un disque (D) de masse M
et de rayon R et d'une tige (T) de même masse M
de longueur 2L soudée au centre O du disque (D).
a) Déterminer la matrice d'inertie du solide ( S ) au point O
b) En déduire sa matrice d'inertie à l'autre extrémité A de la tige (T)
EXERCICE 3:
Un cadre rectangulaire ( S ) est constitué de quatre
tiges rectilignes homogènes : AB et CD de masse
linéique r et de longueur 2a .
AD et BC de même masse linéique de longueur 2b .
a) Déterminer la matrice d'inertie du cadre (S) en son centre O
On ajoute une masse ponctuel m au point B
b) Calculer la nouvelle matrice du cadre ( S ) chargé en B exprimée au point O
c) Calculer le moment d'inertie du cadre par rapport à la droite DOB
EXERCICE 4:
Soit une plaque de forme triangle rectangle de base b et de hauteur h .
1) En utilisant le théorème de GULDIN, déterminez les coordonnées
de G , centre de gravité de la plaque.
2) Déterminer sa matrice d'inertie en O
3) En déduire sa matrice d'inertie en G
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