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Problèmes sur le chapitre 4
(Version du 2 janvier 2015 (11h56))
Centre de gravité
4.01.
Déterminer la position du centre de masse des surfaces ci-dessous (dimensions en mm).
Réponses :
4.02.
en mesurant les coordonnées de G à partir du point A, on trouve :
a) G (50; 68); b) G (41.6; 56.7) ; c) G (46.6; 60.8)
Déterminer par intégration l’ordonnée yG et par
décomposition l’abscisse xG du centre de masse
du triangle quelconque ABC ci-contre.
xG =
Réponses :
4.03.
Calculer la position du centre de masse d’un demi-disque de
rayon a.
OG =
Réponse :
4.04.
c−a
b
; yG = .
3
3
4a
.
3π
Déterminer la position du centre de masse G
d’une surface délimitée par la courbe y = x
et de la droite
2
y=h.
Réponses :
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xG = 0 ; yG =
3
h.
5
Mécanique - Géométries des masses (exercices sup.)
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4.05.
Déterminer la position du centre de masse d’une
demi-sphère homogène de rayon r.
Réponse :
4.06.
xG = 0 ; yG =
4a
.
3π
Déterminer la position de G du volume délimité par le
paraboloïde de révolution x 2 + y 2 = c z et le plan
z=H.
Réponses :
4.08.
3
r.
8
Déterminer la position du centre de masse d’une
x2 y2
demi-ellipse d’équation 2 + 2 = 1 .
b
a
Réponses :
4.07.
OG =
xG = 0 ; yG = 0 ; zG =
2
H.
3
Dans un cube de côté a, on enlève sur une des faces une
a
demi-sphère de rayon r =
avec n ≥ 2 .Le centre de la
n
demi-sphère est au centre de la face. Calculer la position de
G.
Réponse :
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(
)
4
a 6 n − 8π n + 3π
OG =
.
4n
3 n3 − 2 π
(
)
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4.09.
Calculer la position du centre de masse G de la surface
ci-contre, cotée en mm.
Réponses :
AG = 68.5 mm ;
BG = 42.1 mm .
4.10.
Calculer la position du centre de gravité d’un secteur circulaire
(angle au centre α radians) de rayon r.
Réponse :
4.11.
OG =
2 r sin(α 2)
.
3 (α 2)
Déterminer la position du centre de
masse d’une sphère de rayon a = 7 cm ,
de masse volumique ρ 1 = 7 800 kg m 3 ,
attachée à un fil de fer de longueur
l = 1 m , de diamètre d = 2 mm , et de
masse volumique ρ 1 = 7 800 kg m 3 .
Réponse :
4.12.
OG = 10688
.
m.
Déterminer la position du centre de masse d’un
demi-cylindre creux, homogène (“toit de
hangar”).
Réponse :
G se trouve à l’intersection des
deux plans verticaux de
2r
symétrie, à une hauteur
.
π
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4.13.
Déterminer la position du centre de masse d’un cône
creux homogène très mince (“chapeau pointu”).
Réponses :
4.14.
xG = 0 ; yG = 0 ; zG =
h
.
3
Déterminer la position du centre de masse d’un tronc
de cône plein homogène.
Réponses :
xG = 0 ; yG = 0 ;
h24
3 h4
− h13 h2 + 1
4 .
zG = 4
3
3
h2 − h1
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Moment d’inertie
4.15.
Calculer les moments d’inertie Ix, Iy et IO d’un carré
homogène de côté c.
Réponses :
2 c4
c4
Ix = Iy =
; IO =
.
3
3
4.16. Calculer les moments d’inertie Ix, Iy, Iz et IO d’une sphère
pleine homogène de rayon r et de masse m.
Réponses :
Ix = I y = Iz =
IO =
4.17.
2
mr2 ;
5
3
mr2 .
5
Calculer les moments d’inertie Ix, Iy et IO d’une sphère creuse
homogène de rayon r (“coquille sphérique”) et de masse m.
Réponses :
Ix = I y = Iz =
2
mr2 ;
3
IO = m r 2 .
4.18.
Calculer le moment d’inertie d’un cylindre creux (“tuyau”) de rayon r et
de masse m par rapport à une génératrice a.
Réponse :
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Ia = 2 m r 2 .
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4.19.
Déterminer la position des A.C.P.I. d’un demi-disque de rayon r; calculer les moments d’inertie
correspondants.
Réponses :
4.20.
Id =
a b a 2 b2
.
6 a 2 + b2
Déterminer la position des A.C.P.I. d’un
triangle isocèle homogène de base b et de
hauteur h; calculer les moments d’inertie
correspondants.
Réponses :
b h3
;
36
b h3
=
.
48
I ACPI max =
I ACPI min
4.22.
1
π r4
8 
; I ACPI min = π r 4  −
.
8
8 9π 2 
Calculer le moment d’inertie d’une plaque
rectangulaire homogène par rapport à la
diagonale d.
Réponse :
4.21.
I ACPI max =
Calculer la position de G et les moments d’inertie Ix et
Iy du profilé ci-contre.
Réponses :
d = 19.1 mm ;
I x = 609 cm 4 ; I y = 71 cm 4 .
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4.23.
Déterminer la position des A.C.P.I. et les moments d’inertie
correspondants pour la cornière à branches égales de
40 x 40 x 4.
Réponses :
I ACPI max = 73354 mm 4 ;
I ACPI min = 18 786 mm 4 .
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