Transcript MecaChap5(Statique)

Problèmes sur le chapitre 5
(Version du 13 janvier 2015 (10h38))
5.01.
Le calcul des réactions d’appui dans les problèmes schématisés ci-dessous est-il possible par les
équations de la statique. Si oui, écrire ces équations et calculer les réactions de liaison.
5.02.
Un levier BAC (dont nous négligeons le poids) est en

équilibre sous l’action d’une charge f 2 , d’une force

appliquée f 1 et de la réaction à l’appui A.

Que vaut f 1 en fonction des dimensions du levier et
des angles α et β ?
Réponses :
5.03.

 AC cos α
f1 = f 2
.
AB cos β
La dalle rectangulaire ABCD de 48 cm x 24 cm pèse

p = 160 N (poids supposé appliqué en son centre).
Elle est suspendue par 3 câbles verticaux s1, s2, s3.
Calculer les efforts existants dans ces câbles.
Réponses :
© J-P. Bauche - R. Itterbeek


s1 = 80 N ; s2 = 0 N ;

s3 = 80 N .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
Page - ex5.1 -
5.04.
La poutre en “L” ABC ci-contre est
articulée en A et posée sur un appui mobile
en B. Elle est soumise à 3 forces :


f 1 = 750 N ; f 2 = 500 N et

f 3 = 400 N .


Calculer les réactions aux appuis f A et f B .
Réponses :
5.05.

f A = 864 N ;

f B = 768 N .
La plaque rectangulaire ABCD horizontale,
est articulée en A et D (charnières autour de
Ax) et posée en E, milieu de BC . Elle

supporte une force p parallèle à Ayz,
inclinée d’un angle de π 3 sur le plan Axy,
appliquée au centre de la plaque et dirigée
vers le bas.
 

Le calcul de f A , f D et f E est-il possible par
les équations de la statique ? Si oui, écrire
ces équations et calculer les réactions.
Réponses :


fA = fD =

fE =
5.06.
7
p;
8
3
.
4
La plaque rectangulaire horizontale ABCD ,

de 48 cm x 24 cm, d’un poids p = 160 N
est montée sur 2 charnières à axe horizontal
en A et B et posée sur un appui mobile en C.

Elle est soumise à une force f = 240 N
située dans un plan perpendiculaire à AB ,
dirigée vers le bas et faisant un angle de

π 3 avec le plan de la plaque. f est
appliquée en M avec :
c = 8 cm et d = 32 cm .
Calculer les réactions en A, B et C.
Réponses :
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


f A = 154.3 N ; f B = 105.7 N ; f C = 149.0 N .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
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5.07.
Un mât de charge AE doit soulever une
charge maximale de 800 N. Il est maintenu
en B par un câble BC et est articulé en E.
Calculer l’effort maximal dans le câble ainsi
que la réaction d’appui en E.
Réponses :
5.08.
Trois barres d’égale longueur AD = EB = FC sont
assemblées dans un même plan, de façon à ce que
leurs points milieux E, F, D soient les sommets
d’un triangle équilatéral. Cet ensemble est placé
horizontalement, appuyé en A, B et C et soumis à

une force verticale p = 840 N en E. Comment
cette charge se répartit-elle sur les 3 appuis ?
Réponses :
5.09.

f C = 1200 N ;

f E = 1743 N .

f A = 480 N ;


f B = 120 N ; f C = 240 N .
Une poulie de rayon r = 15 cm est fixée en O. Un câble est
enroulé sur cette poulie : l’arc embrassé α vaut 120°. Un brin du

câble est vertical et supporte une charge p = 1000 N . Quelle
force faut-il appliquer à l’autre brin pour obtenir l’équilibre ?
Quelle est la réaction en O, si la poulie pèse 150 N (vecteur
appliqué en O). On néglige le poids du câble et le frottement
entre câble et poulie.
Réponses :


f = 1000 N ; f O = 1863 N .
(inclinée de 27.7° sur la verticale).
5.10.
Une équerre à 90° est constituée de 2 bras métalliques de


poids p et de longueur 2a (le vecteur p est appliqué au
milieu de chaque bras). On la suspend par l’extrémité d’un
bras. Quel angle α ce bras fait-il avec la verticale ? Quelle est
la réaction au point d’attache O ?
Réponses :
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

f O = 2 p ; α = 18.435° .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
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5.11.
La poutre AB de longueur l est articulée en A et

pose en B contre un mur vertical. Son poids p est
appliqué au milieu de AB . La poutre fait un angle


α avec l’horizontale. Calculer f A et f B en
fonction de p, l et α au moyen des équations de la
statique. Vérifier le résultat en appliquant le

théorème des 3 forces. Calculer les valeurs de f A


et f B pour p = 500 N et α = 30 ° .
Réponses :
5.12.


f A = 662 N ; f B = 433 N .
Soit une poutre encastrée en A et soumise à


l’action de deux forces f 1 et f 2 telles que :


f 1 = 200 N et
f 2 = 100 N inclinée de
α = 20 ° par rapport à la verticale.


Calculer la réaction f A et le moment réactif m A en
A.
Réponses :
5.13.

f A = 2958
. N;

m A = 387.9 Nm .
La barre AB , longue de 1.6 m, d’un poids

p = 600 N (appliqué en son milieu) est
maintenue en équilibre par un câble BC , passant
sur la poulie C et supportant une charge

f = 400 N . La poulie C est sur la verticale de
l’articulation A. Calculer le rapport a b des
distances BC = a et CA = b lorsque l’équilibre
est réalisé (le diamètre de la poulie est négligé par
rapport aux autres dimensions).
Réponse :
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a 2f 4
=
= .
b
p
3
Mécanique - Statique (exercices sup.)
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5.14.
a) Une passerelle fonctionnant à la manière d’un pont-levis
est articulée en A et peut prendre appui sur le sol en B. Un
câble accroché en B s’enroule sur une poulie C et soutient un

contrepoids f de 2200 N. Le poids de la passerelle est de
4000 N (point d’application en G). Vérifiez que la passerelle
dans sa position basse exerce un effort sur le sol en B, malgré

l’effet du contrepoids; déterminez cet effort f B .
b) On soulève la passerelle et on constate que dans une
certaine position elle reste en équilibre sous le seul effet du
contrepoids. Déterminez alors la valeur de l’angle α qu’elle
fait avec la direction verticale.
Réponses :

a) f B = 444 N ;
b) α = 67° .
5.15.
Deux sphères lisses de rayon r = 015
. m et d’un poids

p = 1100 N sont placées dans une goulotte de 0.54 m de
largeur l, comme l’indique la figure. Déterminez les réactions
en A, B et C de la goulotte sur les sphères (parois
parfaitement lisses) ainsi que l’effort existant en D entre les
sphères.
Réponses :
5.16.



f A = f B = 1470 N ; f C = 2 200 N ;

f D = 1838 N .
L’arc ACB comporte 3 articulations : en A et B
avec le sol, en C entre les 2 quarts de
circonférence. Sur l’arc AC est appliquée la

charge f 1 de 80000 N et sur l’arc CB la charge

f 2 de 60000 N. Calculer les réactions aux
articulations A et B et la force existant entre les
deux arcs en C.
Réponses :
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
f A = 80 000 N ;

f B = 82 900 N ;

f C = 43300 N .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
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5.17.
Une potence murale est constituée par une poutre AC
de longueur l = 8 m , articulée en une rotule C, et
supportant en A l’action d’un tirant AB (articulé
en A et en B).
Cette poutre sert de chemin de roulement à un

monorail M qui supporte une charge p de 2000 N.
a) Lorsque le monorail est au milieu de la portée
AC , déterminer les réactions d’appui en B et en C;
b) Trouver la position du monorail (déterminée par
la longueur x = CM ) pour que l’effort de réaction
en C soit minimum.
Réponses :


a) f B = f C = 2 000 N ;
b) x = 2 m .
5.18.
Une échelle double comprend deux montants AC
et BC de 3 m de longueur et d’un poids de 60 N
(appliqué au milieu du montant). Les deux
montants sont reliés par une corde horizontale EF
située à 0.8 m du sol de façon que ABC constitue
un triangle équilatéral. Une personne pesant 750 N
est sur cette échelle à une distance AD = 2 m .


Calculer les réactions au sol f A et f B , la force
existant en C et l’effort supporté par la corde. (Le
sol est supposé lisse, c’est-à-dire sans frottements).
Réponses :
5.19.




f A = 560 N ; f B = 310 N ; f C = 342 N ; f corde = 233 N .
La poutre ABE est constituée de 2 éléments
rectilignes AB et BE articulés entre eux. Elle est
maintenue par une articulation en A et 2 appuis
mobiles en C et D. AB pèse 200 N (appliqué au
milieu de AB ) et BE pèse 400 N (appliqué au
milieu de BE ).
AC = 2 3 AB et BD = 2 3 BE . AB est
horizontale; BE fait un angle de π 4 avec
  
l’horizontale. Calculer f A , f C , f D et l’effort entre les 2 poutres en B.
Réponses :
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



f A = 167 N ; f B = 292 N ; f C = 525 N ; f D = 212 N .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
Page - ex5.6 -
5.20.
Un cylindre de rayon r = 015
. m et d’un poids
de 1100 N est maintenu contre une cloison
verticale par une poutre AB articulée en A et
elle-même retenue en B par une corde
horizontale BF . La poutre AB fait un angle
de π 3 avec la cloison verticale et mesure
1.2 m. Son poids est négligeable. Calculer la

réaction f A à l’articulation de la poutre, l’effort
dans la corde BF et les réactions d’appui du
cylindre à la cloison en E et à la poutre en C.
Réponses :
5.21.
Le croquis ci-contre représente une “caisse à
savons” maintenue à l’arrêt dans une rue
inclinée d’un angle α = 30° par rapport à
l’horizontale. Les dimensions de l’engin sont :
e = 180
. m ; h = 0.90 m ; r = 0.30 m . Le poids

total vaut p = 1000 N et est appliqué en G
(intersection des diagonales du rectangle). Un
câble, horizontal, est accroché au niveau de
l’axe de roue, et relié au sol en C. Déterminer
les réactions d’appui des roues au sol, en A et
en B, et la tension dans le câble en C.
Réponses :
5.22.




f A = 1103 N ; f C = 1270 N ; f E = 635 N ; f F = 550 N .



f A = 558 N ; f B = 597 N ; f C = 577 N .
Soit une poutre posée sur trois
appuis A, B et C, et articulée en D.
Elle est soumise à deux charges


p1 = 1000 N et p2 = 2 000 N
comme représenté ci-contre.
Déterminer les réactions aux
appuis, ainsi que l’effort dans la
rotule D.
Réponses :
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
f A = 1118 N ;



f B = 1616 N ; f C = 616 N ; f D = 1118 N .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
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5.23.
Un poids

q est suspendu à un petit anneau C par deux
cordes AC et BC . La corde AC est attachée en A,
tandis que la corde BC passe en B sur une poulie sans

frottement et porte un poids p .


Si p = q = 100 N et α = 70 ° , déterminer la valeur
de l’angle β à l’équilibre, ainsi que la réaction d’appui
en A.
Réponses :
5.24.
Pour soulever une caisse de 1000 N, on utilise un palan à corde
réalisé selon le dessin ci-contre : la corde est attachée au centre
O de la poulie inférieure; elle passe ensuite sur la poulie A avant
de revenir sur l’extérieur de la poulie O. Calculer la grandeur et

la direction de la force f C appliquée à l’extrémité de la corde.
Réponses :
5.25.

α = 32.30 ° ; f C = 426 N .
Un dispositif de pesée comprend deux leviers
horizontaux AB et CD , articulés en M et C, et
reliés par une barre articulée BN . La charge à

peser f 1 est suspendue en A. L’équilibre, avec
les 2 leviers horizontaux, est réalisé au moyen

du curseur p que l’on déplace sur le levier

CD . Trouver la relation entre x et f 1 , en

fonction de p et des dimensions.
Réponse :
5.26.

β = 40 ° ; f A = 68.4 N .

a c f1
x=
 .
b p
Deux barres prismatiques minces AC et BC ,
chacune de longueur l = 15
. m et de poids

p = 200 N sont articulées en C. Elles sont
posées sur un support DE de 0.6 m de largeur
(appuis sans frottement). Calculer l’angle α que
chaque barre fait avec l’horizontale lorsque la
verticale de C passe par le milieu de DE (Le

poids p est appliqué au milieu de chaque
barre). Calculer la force existant en C. Il n’y a
pas de frottement.
Réponses :
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
α = 42.6 ° ; f C = 184 N .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
Page - ex5.8 -
5.27.

On désire soulever une charge q avec
le dispositif constitué par deux
coulisseaux s’appuyant sur deux
glissières rectangulaires et reliés par
une bielle. Que vaut l’effort

horizontal f pour assurer l’équilibre
(application du théorème des travaux
virtuels). Le poids propre des organes
est négligeable. Appliquer le résultat
aux valeurs :

q = 1000 N et α = 80° .
Réponse :
5.28.
Le câble ACB est attaché en A et en B à deux parois
verticales. Il supporte, par l’intermédiaire de la poulie C, une

charge q de 2000 N. La longueur du câble est de 7 m.
Déterminer à quelle distance d de la paroi de gauche, la
poulie se stabilisera en équilibre et quelle sera, à ce moment,
la tension dans le câble.
Réponses :
5.29.

f = 176.32 N .

= 1429 N .
d = 142
. m ; f cable

 
Trouver pour la presse ci-contre la relation entre f 1 , f 2




et p à l’équilibre f 1 = f 2 = f . On donne
AC = CE = ED = DB = a ainsi que les angles α et β.
On néglige le poids des barres.
Réponse :
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
p =

2 f
cot β − cot α
.
Mécanique - Statique (exercices sup.)
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5.30.
Un mât est appuyé en B sur un sol horizontal. Il est
soumis à son sommet A à 2 forces


f 1 = f 2 = 100 N situées dans un plan horizontal,
à 60° l’une de l’autre. Le mât est haubané par un câble
AC fixé en C et formant un angle de 30° avec lemât.

Le hauban est dans le plan bissecteur de f 1 et f 2 .
Calculer, lorsque le mât, de poids négligeable, est en

équilibre, l’effort f C dans le hauban et la force de
compression dans le mât.
Réponses :
5.31.


f B = 300 N ; f C = 347 N .
Un trépied, à montants OA , OB , OC de longueurs
égales l et articulés entre eux en O, est appuyé sur un
sol horizontal de manière que ABC soit un triangle
équilatéral de côté égal à l 3 2 . Une charge

p = 30 N est suspendue verticalement en O. Les
montants sont reliés par trois cordes AB , BC et AC
les empêchant de glisser (sol considéré sans
frottement). Le système étant en équilibre, calculer les

forces de compression dans les 3 montants et l’effort f t
dans la corde.
Réponses :
5.32.



f A = f B = f C = 115
. N;

f t = 3.33 N .

Pour soulever une charge p de 50000 N, on monte un
trépied ABC , dont les montants OA , OB , OC
mesurent 4 m. Ces montants symétriques sont fixés au
sol, avec lequel ils font un angle de π 3 . Au sommet
O, est fixée une poulie servant de relais entre la charge

p et un treuil T. Le câble OT est supposé dans le
plan du montant OC ; il fait un angle de π 3 avec le
plan horizontal.
Calculer les efforts dans les montants lorsque la
charge est suspendue, en équilibre.
Réponses :
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

f A = f B = 52 583 N ;

f C = 2 583 N .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
Page - ex5.10 -
5.33.
La poutre AB est sollicitée par une charge répartie
dont le diagramme est trapézoïdal, avec :


p A = 1500 N m et p B = 4 500 N m .


Déterminer les réactions d’appuis f A et f B .
Réponses :
5.34.


Calculer les réactions d’appuis f A et f B dues à une
charge répartie de façon parabolique avec

p max = 4 500 N m .
Réponses :
5.35.


f A = 1500 N ; f B = 4 500 N .
Calculer l’épaisseur a du barrage en béton de forme
rectangulaire pour qu’il ne puisse pas pivoter autour
du point A sous l’effet des pressions hydrostatiques
lors d’un trop plein ( d = b = 4 m ).
Notes :
Masse volumique du béton ρ béton = 24 000 N m 3 ;

2
Pression hydrostatique p = 9 810 × h N m , h étant

la profondeur où règne p .
Réponse :
5.36.


f A = 7 500 N ; f B = 10500 N .
a = 148
. m.

Déterminer quelle force f faisant un angle α avec

l’horizontale, il faut appliquer à une charge p
reposant sur un plan horizontal, pour la déplacer. Le
coefficient de frottement est μs. Après avoir établi la


formule générale, calculer f pour p = 100 N ,
α = π 6 et μ s = 0.6 .
Réponses :
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
f =

μs p
; f = 52 N .
cos α + μ s sin α
Mécanique - Statique (exercices sup.)
Page - ex5.11 -
5.37.
Une échelle placée contre un mur fait un angle de π 3 avec

l’horizontale. Elle pèse p = 60 N , mesure 3 m de haut et
supporte une personne de 700 N à une distance BC = 2 m du
sol. Montrer que le problème de la recherche des réactions
d’appui est insoluble, si on ne tient pas compte du frottement.


Calculer f A et f B sans frottement, mais en supposant l’échelle
retenue par une corde BD .
Réponses :
5.38.
Une échelle AB de longueur l est posée sur le sol en B et contre
un mur vertical en A. Le coefficient de frottement de l’échelle
contre le mur et le sol est μs. Déterminer la limite supérieure de

l’angle α pour qu’une personne chargée, représentée par la force f
puisse se déplacer jusqu’au sommet de l’échelle sans que celleci glisse.
Réponse :
5.39.


f A = 287 N ; f B = 760 N ;

f BD = 287 N .
α ≤ arctan μ s = ϕ 0 .
Une potence est destinée à supporter une

charge p dont la position est réglable
via une rainure horizontale (distance l
variable). Le bras horizontal est maintenu
en place grâce à deux piges A et B qui
s’appuient avec frottement sur la colonne
verticale. Le poids de la potence est
négligé devant celui de la charge à lever.
Le coefficient de frottement en A et B
vaut μ s = 0.2 . Pour quelle(s) position(s)
de la charge (repérée(s) par l) y a-t-il
toujours équilibre, sans risque de voir le
bras glisser ?
Données : a = 20 mm ; h = 50 mm .
Réponse :
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l min =
h
a
− .
2 μs 2
Mécanique - Statique (exercices sup.)
Page - ex5.12 -
5.40.
Une barre AB de longueur 2a, inclinée d’un angle α
sur l’horizontale, est maintenue en équilibre par deux

appuis C et B distants de b. Le poids p de la barre est
appliqué au milieu de AB . La distance b est plus
petite que a. Le coefficient de frottement entre barre et
appuis est μs. Déterminer l’angle limite αlim d’équilibre
de la barre en fonction de μs et des dimensions.
Réponse :
5.41.
b

(sin α − μ s cosα ) .
f =p
(cos β + μ s sin β )

Une tige homogène de poids p et de longueur l
s’appuie en A et B sur la paroi intérieure et sur le
rebord d’un tube à axe vertical. La tige fait un angle de
π 4 avec l’axe du tube. Le coefficient d’adhérence μs
aux deux contacts tige-cylindre vaut 0.15. Le diamètre
intérieur du tube est d = 80 mm ; entre quelles limites
doit être comprise la longueur l de la tige pour qu’elle
puisse être en équilibre ?
Réponse :
5.43.
( 2 a − b) .

Un bloc de poids p est maintenu sur un plan, incliné
d’un angle α par rapport à l’horizontale, par un câble
un angle β avec le plan incliné.
AB . Le câble fait

Calculer l’effort f dans ce câble, en fonction de p, α,
β et μs, coefficient de frottement entre bloc et plan.
Réponse :
5.42.
tan α lim = μ s
354 < l < 668 mm .
Dans l’ensemble ci-contre, le bloc p est maintenu en
équilibre par les efforts de frottement existant, d’une
part, entre p et q, et, d’autre part, entre p et le plan
incliné.
Déterminer la valeur minimale du poids du bloc q qui

rend cet équilibre possible, en fonction de p , de α et
des coefficients de frottement μs 0 et μs 1. Appliquer les
résultats obtenus avec les valeurs numériques
suivantes :

p = 200 N ; α = 35 ° , μ s0 = 0.4 et μ s1 = 0.2 .
Réponse :
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
q min = 100 N .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
Page - ex5.13 -
5.44.
Une pince pantographe est utilisée pour la manutention de
tôles. L’ensemble pince + tôle est soulevé par un câble
accroché en H; l’effort de levage est transmis à deux
biellettes HD et HE , articulées sur les deux bras DCB
et ECA , eux-mêmes articulées en C; les points D, C et E
sont sur une même horizontale. Le système est
parfaitement symétrique par rapport à un axe vertical. Le
poids de la pince est négligé; celui de la tôle à transporter

est p = 1000 N . Le coefficient d’adhérence en A et B
vaut μ s = 015
. ; h = 0.3 m . Que vaut l pour éviter tout
glissement et chute de la tôle ?
Réponse :
5.45.
l ≥ 2 m.
Un demi-cylindre de rayon r = 250 mm , est posé sur
un plan horizontal. Le coefficient de frottement au
contact du demi-cylindre avec le sol est μ s = 0.30 .
On attache en O une corde sur laquelle on exerce un

effort f horizontal (sa ligne d’action restant ainsi
toujours à une distance r du sol). On constate que le
corps roule d’abord puis se met à glisser. Préciser la
position prise par le corps lorsqu’il est prêt à glisser
(détermination de l’angle α).

Note : le poids p du demi-cylindre est appliqué en G,
tel que OG = 106 mm .
Réponse :
5.46.
α =π 4.

Un cylindre poli de poids p = 1000 N et de rayon
r = 1 m est supporté par deux demi-cylindres de même

rayon r et de p 2 poids.
Soit μ s = 0.38 le coefficient de frottement entre faces
planes des demi-cylindres et plan horizontal.
En supposant négligeables les frottements de contact
entre surfaces cylindriques, déterminer l’écart b
maximum pour lequel l’équilibre statique peut être
maintenu.
Réponse :
© J-P. Bauche - R. Itterbeek
bmax = 2.42 m .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
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5.47.
Deux tiges AB et BC ont même longueur l = 0.40 m


et même poids p1 = p2 = 10 N . La tige AB est
articulée en A et en B; la tige BC est articulée en B,
et repose avec frottement sur la paroi verticale, en C.
On constate que si θ dépasse 10°, les tiges ne sont plus
en équilibre (l’extrémité C glissant vers le bas, le long
de la paroi). Calculer le coefficient d’adhérence μs
existant au point C.
Réponse :
© J-P. Bauche - R. Itterbeek
μ s = 0.35 .
Mécanique - Statique (exercices sup.)
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