Transcript ω π2 Ω 2π Corrigé 1-a) sMAX correspond à cos(ωt) = 1 et cos(Ωt

MULTIP05
Pour transmettre une onde sonore (un signal informatif supposé sinusoïdal de pulsation ω), on module l’amplitude d’une porteuse de
pulsation Ω très supérieure à ω.
1) Le signal modulé obtenu est mis sous la forme usuelle s(t) = s0[1 + mcos(ωt)]cos(Ωt) dans laquelle m est un réel positif, appelé taux de
modulation. L’image électrique de ce signal pourra être obtenue sous forme d’une tension (on écrira alors s(t) = v(t) grandeur exprimée en volt) ou
sous forme d’une intensité (on écrira alors s(t) = i(t) grandeur exprimée en ampère).
FIG. 1 - Signaux obtenus avec différents taux de modulation
a) Soient sMAX et sMIN les valeurs maximale et minimale de l’amplitude de s(t). En faisant apparaître clairement sMAX et sMIN sur
l’une ou l’autre des figures précédentes (qui sera reproduite sur la copie), exprimer le taux de modulation m en fonction de sMAX et sMIN.
b) Calculer les taux de modulation correspondant aux deux graphes proposés.
c) Représenter le signal modulé dans le cas m = 1
Fabrication d’un signal modulé en amplitude
Pour réaliser l’émission, nous allons utiliser un courant électrique modulé en amplitude, d’intensité i(t) = I0[1 + mcos(ωt)]cos(Ωt), où
Ω >> ω.
L’intensité électrique délivrée par la source de courant circule dans un
dipôle oscillant, l’émetteur, qui réalise l’émission. L’ensemble est représenté sur
la figure 2.
Nous ne nous intéresserons pas à l’émetteur, mais seulement à la
source de courant, que nous allons tenter de fabriquer.
2) Représenter, en le justifiant, le spectre fréquentiel de l’intensité
délivrée par la source (on notera
f =
ω
2π
et
F=
Ω
).
2π
FIG. 2 - Schéma de l'émetteur
3) En déduire que la source de courant peut être théoriquement
fabriquée à l’aide de trois sources de courant sinusoïdales idéales, associées de
façon très simple. Préciser :
les expressions complètes (amplitude et pulsation) des intensités i1(t), i2(t) et i3(t) délivrées par chacune des sources ;
le montage réel de la source équivalente.
Corrigé
1-a) sMAX correspond à cos(ωt) = 1 et
cos(Ωt) = +1 alors que sMIN correspond à cos(ωt) = -1
et cos(Ωt) = +1 si (1 – m) > 0 (cas (a)) ou cos(Ωt) = –
1 si (1 – m) < 0 (cas (b)).
cas (a) : on a sMAX = s0(1 + m) et
s
−s
sMIN = s0(1 – m) d’où m = MAX MIN . On vérifie que
sMAX + sMIN
m < 1 dans ce cas
sMAX
sMAX
sMIN
sMIN
cas (b) : on a sMAX = s0(1 + m) et sMIN = –s0(1 – m) d’où m =
sMAX + sMIN
. On vérifie que
sMAX − sMIN
m > 1 dans ce cas.
b) cas (a) : on lit sur le graphe sMAX = 1,5 et sMIN = 0,5 donc
m = 0,5.
cas (b) : on lit sur le graphe sMAX = 3 et sMIN = 1 donc m = 2.
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se
t
c) Si m = 1, on a sMIN = 0 donc l’allure du signal modulé est la suivante :
2)
On
linéarise
l’expression
de
i(t)
en
i
m
m
I0
i (t ) = I 0 cos(Ωt ) + cos (Ω + ω )t + cos (Ω − ω )t . On en déduit le spectre
2
2
m
ci-contre, dans le cas où m < 1 :
I0
2
3) Pour obtenir le signal i(t), il suffit de faire la somme, en un nœud,
des trois courants sinusoïdaux de fréquence F, F + f et F – f délivrés par des
sources idéales de courant. Ces sources sont donc associées en parallèle.
LM
N
b
gOPQ
b
g
R|i (t ) = I cos(Ωt )
|| 1
S|i (t ) = 2 mI cosb(Ω + ω)t g
||i (t ) = 1 mI cosb(Ω − ω)t g
T 2
1
0
2
0
3
0
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i1(t)
i2(t)
i(t)
i3(t)
F–f
F
F+f