Transcript ⃗u⋅⃗v=∥⃗u∥(∥⃗v∥cos(⃗u,⃗v)) - LIRIS

Master Imagina
Plan


Transformations, visualisation


G. Gesquière
quelques rappels de maths ;
transformations de l’espace ;
projections ;
visualisation ;
[email protected]
Extraits du cours de Romain Raffin; [email protected]
I. Quelques rappels de maths / Vecteur
Application du produit scalaire dans le plan
⃗⋅⃗
⃗∥(∥v
⃗∥cos(⃗
⃗ ))
u
v =∥u
u,v
-> calcul de l’angle entre 2 vecteurs
I. Quelques rappels de maths / Vecteur
Définition du produit vectoriel de deux vecteurs
Dans un repère orthonormé, le produit vectoriel associe deux vecteurs
à un vecteur résultat :
[
u y ×v z −u z ×v y
u ∧v = u z ×v x −u x ×v z
u x ×v y −u y ×v x
]
->le vecteur résultat est orthogonal aux deux premiers (utile pour les
repères, les normales, ...)
 ∧v
u

u
Rappel du plan





quelques rappels de maths ;
transformations de l’espace ;
projections ;
Visualisation ;
parties cachées.
v
II. Transformations / Survol en 2D
1) Survol en 2D
 du point
Translation de vecteur v
II. Transformations / Survol en 2D
Rotation de centre O et d’angle t :
:P
P ' =P v
P ' =R t⋅P
II. Transformations / Survol en 2D
Homothétie de centre O et de rapport k :
P '=k⋅P
k=2/  2
II. Transformations / Coordonnées homogènes
Passage en coordonnées homogènes
[][
]
xh
x =x h /w h
x
y
y  h avec y =y h /w h
zh
z
z =z h /w h
wh
[ ] [ ][]
[ ] [ ][]
[ ] [ ][]
x'
Translation P ' =P  T  y '
z'
w'
1
0
=
0
P'
0
0
1
0
0
x'
Mise à l’échelle P ' =S⋅P  y '
z'
w'
x'
Réflexion P ' =M⋅P  y '
z'
w'
=
P'
=
P'
0 Tx
x
0 Ty
× y
1 Tz
z
0 1 T w
Sx 0 0
0 Sy 0
0 0 Sz
0 0 0
P
0
x
0
× y
0
z
1S w
1 0 0 0
x
0 −1 0 0
× y
0 0 1 0
z
0 0 0 1M w
P
(par rapport à y)
P
II. Transformations / Compositions
II. Transformations / Compositions
Pb de commutativité des transformations ? l’ordre est-il
important ?
II. Transformations / Compositions
Exemples d’utilisation (1) : principe de modélisation
Pb de commutativité ?
Rotation puis translation
Translation puis rotation
Rotation puis scaling
Scaling puis rotation

T

T

T

T
II. Transformations / Compositions
Plan

Exemples d’utilisation (2) : principe de visualisation


arbre graphique ou graphe de scène
CSG (Constructive Solid Geometry)



objets de départ
soustraction
intersection
union

quelques rappels de maths ;
transformations de l’espace ;
projections ;
visualisation ;
parties cachées.
III. Projections / parallèle
III. Projections / parallèle
b) oblique
Rz
volume de vue en projection parallèle
Pour se ramener à un volume de vue canonique, on effectue une
rotation du repère.
4 
45°
cavalière
cabinet
Maxo=Morth, x⋅R z⋅R y⋅R x⋅T
III. Projections / perspective
Coordonnées du point projeté en fonction de celles du point
source, projection du point M sur le plan near :
[ ]
xM
xM '
zm /near
yM
yM' =
zM '
zm /near
near
[]
III. Projections / perspective
III. Projections / perspective
Matrice en coordonnées homogènes de la projection
[][
1
x'
0
y' =
0
z'
w ' P' 0
0
1
0
0
0
1
1
0
near
][]
0
x
0
y
0 ×
z
0
wP
T
Volume de vue en projection perspective
Pour se ramener à un volume de vue canonique, on effectue une
rotation et une translation du repère.
Plan
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



quelques rappels de maths ;
transformations de l’espace ;
projections ;
visualisation ;
parties cachées.