Transcript Introduction à la didactique des mathématiques

A propos des P.E.R. : foire aux idées,
foire aux « enseignements »
Maggy Schneider
Université de Liège, Belgique
INRP, Journées « Ampères »,
20 et 21 mai 2010
Pour commencer …
« Un matin Rabbi David parcourut les rues de la
ville en criant : ’’J’ai une réponse, j’ai une
réponse, qui a une question ?’’ »
Histoire juive
La question des questions …
… n’est pas nouvelle
 Histoire juive en exergue d’une conférence de
Bkouche en 82
 « De question en question », série de manuels belges
sous la direction de Rouche, dans les années 90
 « Faire des mathématiques : le plaisir du sens »
(Bkouche, Charlot, Rouche, 1991)
 Les travaux des IREM
Courage des didacticiens (Chevallard, …) qui
adoptent une posture prescriptive au delà d’un
discours descriptif
Un propos sur les P.E.R. fermés
 Le créneau visé : améliorer « l’ordinaire » des
cours de mathématiques en se donnant un
minimum de liberté pour interpréter les
programmes
 Quelques « craintes » sur les dispositifs
didactiques plus inhabituels tels que les P.E.R.
ouverts et codisciplinaires
 Quid d’une ‘solidarité didactique’ au quotidien ?
Ai-je participé à des P.E.R ?
 OUI : réponse qui n’engage pas à grand’chose
en raison de l’actuelle instabilité de ce concept
(Chevallard, 2009, EE de Clermont-Ferrand)
 Quelques « enseignements » à propos de
(? bonnes ?) idées; travaillées en tout cas dans
une perspective de longue durée
Action, réflexion
 Pragmatisme belge : on ne « s’offre pas »
forcément des théories didactiques, certains
diront qu’on ne « s’en encombre pas »
 Nécessité de prendre du recul, en particulier visà-vis de ce « qui n’a pas marché » : rôle des
théories comme réseaux conceptuels favorisant
l’analyse
Quelles théories ?
 TSD et TAD dans leur solidarité et leur complémentarité
 Distinction entre caractère fondamental d’une question
et possibilités de dévolution (1ère rencontre « culturelle
mimétique »)
 Nécessité de plusieurs moments de l’étude et d’une
« boucle » entre la 1ère rencontre et l’évaluation
 Polarisation sur des praxéologies dont les tâches ont un
caractère fondamental
 Au delà du formalisme et du vocabulaire de la TAD :
posture de « dénaturalisation » des pratiques
dominantes et retour à des développements antérieurs
Premier exemple : les vecteurs
Premier exemple : les vecteurs
 Notions de sens, direction et longueur relatives
à un repère
 A-t-on besoin des vecteurs pour s’orienter ?
 Que fera-t-on avec les vecteurs au niveau de
scolarité concerné ? Dans le cours de
mathématique ? Dans d’autres cours ?
 Hiérarchie à établir : faire de la « géométrie
calculatoire »
Premier exemple : les vecteurs
 Calculer les coordonnées
du 4e sommet d’un
parallélogramme
 Stratégie gagnante :
yB - yA = yC - yD et xB xA = xC - xD que l’on
résume par
B - A = C - D.
Premier exemple : les vecteurs
 Calculer les coordonnées
du point C situé par
rapport à deux points A et
B avec lesquels il est
aligné
 En particulier, le milieu C
de AB :
C = (A + B) / 2
Premier exemple : les vecteurs
 Un quadrilatère est un
parallélogramme ssi
ses diagonales se
coupent en leurs
milieux
 Calculs pour aller de
B-A=C-Dà
(A + C) / 2 = (D + B) / 2
et vice versa
Premier exemple : les vecteurs
 La propriété du point
de rencontre des
médianes d’un
triangle
Premier « enseignement »
 Cohérence entre la question (le projet) qui
introduit le chapitre et les tâches à propos
desquelles les élèves seront entraînés et
évalués
 Se méfier du « Mythe du concret » et de l’illusion
du « vécu » des élèves
 Equilibre à trouver dans les relations avec
d’autres disciplines
Deuxième exemple :
les grandeurs inaccessibles
 Evaluer l’aire d’un
terrain triangulaire au
milieu duquel il y a une
mare
 Tracé d’une maquette
sur laquelle les élèves
sont autorisés à
mesurer
 Discours tenu : volonté
de remplacer
progressivement les
mesures sur la
maquette par des
calculs
Deuxième exemple :
les grandeurs inaccessibles
 Discours sur les triangles
semblables et le souhait
de contrôler a priori qu’ils
le sont à partir d’un
minimum d’informations
 Jeu de communication
présenté comme un
artifice didactique :
reconnaître si deux
reproductions
représentent la même
parcelle
Deuxième « enseignement »
 La pertinence de la question mise à l’étude vaut
plus que son originalité
 Les tâches dévolues aux élèves s’intègrent dans
un discours qui situe la portée du projet pour
leur rendre « intelligible » et souligne le
caractère artificiel éventuel de certains
dispositifs didactiques
 La question des grandeurs inaccessibles est
très générative et permet un brassage de
techniques diverses
Troisième exemple : transformations
vs cas d’égalité des triangles
 Questions de professeurs sur l’intérêt d’une approche
par les transformations par opposition à une approche
via les critères d’isométrie et de similitude
 Questions concernant la noosphère. « Très contestés
dans les années 60, les cas d’égalité ont disparu depuis
la réforme. Ce point nous semble un contresens, même
si l’on pense la géométrie en termes de
transformations » (rapport Kahane, 2002)
« PER » pour professeurs sur des questions
épistémologiques et didactiques dans le cadre d’une
formation continuée (Cojerem)
Instrumentalité des inversions
Méthode de transformation par rayons vecteurs
réciproques pour construire un cercle tangent à trois
cercles donnés
Sortir d’une géométrie
La concourance des médianes d’un triangle quelconque
« découle » de celle des hauteurs
Elle peut être démontrée analytiquement en choisissant
les points (0,0), (1,0) et (0,1) comme sommets
Traiter un cas particulier « générique »
au sein d’une même géométrie
Le théorème de Pascal : les paires de côtés opposés
d’un hexagone inscrit à une conique se rencontrent en
des points alignés
Extension du cercle aux coniques par projectivité
Travailler « à une transformation près »
 Construire le plus
court chemin pour
aller de A en B en
passant par d
 Travailler « à une
symétrie orthogonale
près »
Travailler « à une transformation près »
Travailler à « une
homothétie près » ou, par
exemple, « à une
symétrie centrale près »
en se ramenant au
problème du
« parallélogramme
tronqué » (Chevallard et
Matheron)
Soit 0 le point d’intersection
des deux droites. Tracer 0I.
(Robert et Tenaud, 1989)
Les constructions géométriques
 Une classe de problèmes « faisant P.E.R. » : les
« constructions graphiques tronquées » dont la question
génératrice est « Comment réaliser une construction
graphique exacte définie par des éléments dont certains
sont extérieurs à la feuille de dessin ? »
 Mais que faire quand on a suffisamment de papier ?
 Le Cojerem s’est basé sur une question plus générative
encore : « comment construire un objet géométrique
satisfaisant certaines contraintes ? »
Constructions géométriques via la méthode des deux
lieux (Petersen)
Méthode des deux lieux
 Tracer un triangle dont on donne les longueurs des trois
côtés : Placer les 2 sommets A et B et tracer C à
l’intersection de deux cercles de centres respectifs A et
B et dont les rayons égalent deux côtés du triangle
 « D’abord ramener le problème à la construction d’un
seul point. Puis diviser la conditions en deux parties
telles que chacune d’elles fournit un lieu géométrique
pour le point inconnu; chaque lieu étant soit une droite,
soit un cercle » (Polya)
Méthode des deux lieux étendue
à la méthode des figures semblables
 Construire un triangle
dont on connaît le
périmètre et la mesure
des angles
 Travailler à une
« similitude » près en
laissant tomber la
condition relative au
périmètre
Lorsqu’un des lieux cherchés est l’image
d’un autre lieu par une transformation
 Construire un triangle
dont on donne les
longueurs des 3
médianes
 Modèle des 2 lieux,
recherche de 2 lieux pour
E, un lieu étant l’image
d’un lieu de D par une
homothétie
Lorsqu’un des lieux cherchés est l’image
d’un autre lieu par une transformation
Le travail de réflexion sous-jacent
 Prise en compte vs exclusion de l’expérimental et de
l’idée de mouvement en géométrie
 Réflexion sur les limites d’un développement
axiomatique à la manière d’Euclide; réplique rigoureuse
de Hilbert dans laquelle les critères de congruence
restent un élément fondamental
 Rôle des transformations dans les problèmes de
constructions (Petersen)
 Caractérisation des transformations en jeu à partir d’une
définition en termes d’invariants et nécessité de
considérer les transformations comme affectant le plan
entier
Le travail de réflexion sous-jacent
 Rôle des transformations dans la classification des
géométries (programme d’Erlangen de Klein) et
retombées en termes d’économie de pensée à un
certain niveau d’étude
 Etude du caractère transitif du groupe ou caractérisation
des orbites d’ensembles privilégiés : cas d’isométrie et
de similitude de triangles
 Difficultés d’apprentissage des démonstrations basées
sur les invariants des transformations
Les retombées de ce travail de réflexion
 Ecriture d’un P.E.R. de la géométrie au collège et au
début du lycée basée sur des choix « éclairés » pas
toujours politiquement corrects :
 Prendre comme point de départ l’idée des figures superposables
et introduire les transformations comme règles de passage d’une
figure à une autre superposable
 « Redorer le blason » des cas d’égalité et de similitude des
triangles comme première méthode de démonstration
 Redonner vie aux transformations via la méthode des deux lieux
 Professeurs devenus interlocuteurs crédibles
 Guide méthodologique utile à la formation; manuel pour
l’élève qui n’a pas été un succès commercial
Troisième « enseignement »
 Les théories didactiques ne fournissent pas toujours les
idées pour enseigner
 Chaque sujet suppose une réflexion épistémologique et
didactique menée à un haut niveau de co-détermination
didactique : celui du domaine mathématique. Sinon, la
transposition habituelle « naturalisée » fait écran aux
nouvelles idées
 Partage des théories et de la réflexion entre formés et
formateur pour éviter une réception du discours du
formateur sur le mode normatif
 Distinguer temps d’action et temps de formation
Quatrième exemple : les nombres relatifs
« Justifier » les règles de multiplication dans les relatifs
par le souhait d’avoir une seule formule :
P=3t
P=-3t
Quatrième « enseignement » : savoir lire
(entre les lignes) du programme
Programme de 6ème :
Organisation et gestion de données. Fonctions
 La résolution de problèmes de proportionnalité est déjà travaillée
à l’école primaire. […] Elle fait l’objet d’un apprentissage continu
et progressif sur les 4 années du collège. […] A l’école primaire ,
les élèves ont été mis en situation de prendre de l’information à
partir de tableaux, de diagrammes ou de graphiques. Le travail
se poursuit au collège […] en liaison avec d’autres disciplines
 Propriété de linéarité et tableau de proportionnalité en lien avec
un contexte
Quatrième « enseignement » : savoir lire
(entre les lignes) du programme
Programme de 5ème :
Organisation et gestion de données. Fonctions
 La résolution de problèmes a pour objectifs […] d’initier les
élèves au repérage sur une droite graduée ou dans le plan muni
d’un repère, […]
 Compléter un tableau de nombres représentant une situation de
proportionnalité […]
 Il est possible d’envisager, dans une formule, des variations
d’une grandeur en fonction d’une autre grandeur mais toute
définition de la notion de fonction est exclue.
 Utiliser une expression littérale. De nombreux thèmes du
programme, notamment dans le domaine des grandeurs et
mesures, conduisent à utiliser des expressions littérales
(formules)
 Activités graphiques : […] repérage dans le plan à relier avec
des situations de la vie quotidienne. Le vocabulaire n’est pas un
objet d’apprentissage pour lui-même
Quatrième « enseignement » : savoir lire
(entre les lignes) du programme
Programme de 5ème :
Nombres et Calculs
 La notion de nombre relatif est introduite à partir d’un problème
qui en montre la nécessité […] Une relation est faite avec la
possibilité de graduer entièrement la droite, puis de repérer dans
le plan
Programme de 4ème :
Grandeurs et mesures et résolution de problèmes
 Les notions de mouvement uniforme et de vitesse ont été
travaillées en classe de 5ème dans le cadre de la
proportionnalité. La notion de vitesse en tant que grandeur
quotient est abordée pour la 1ère fois en classe de 4ème.
 Grandeurs quotients courantes. Calculer des distances
parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours
en utilisant l’égalité d = vt
En guise de conclusion
Pénurie de propositions qui se situent
dans la « zone proximale de
développement » … des professeurs !