Transcript 0 - finkeys france

Pricing Avancé pour
Exotiques
FINKEYS FRANCE
Enseignant
Philippe DUCHEMIN, Consultant Formateur . FINKEYS FRANCE
www.finkeys.com (accès au cours)
Consultant : « Product Control »











CNP, choix d’un outil Front to Compta
SOCIETE GENERAL SGCIB - Product Control Group, projet Européen
CNCE: projet ALM, Fermat et calcul des TCI (tx cession interne)
NATIXIS SDR: réconciliation PnL
VINCI Trésorerie: Financial Reporting
CACIB: Fusion des Dérivés de Taux, Structurés de Crédit
XRT Sage, Progiciel pour Trésoriers
ABN AMRO: Validation de la VAR group, Amsterdam
AMS: Consultant en « Risk Management », Londres
CREDIT LYONNAIS: Responsable Middle Office
CSBP: Groupe de Recherche Opératinnelle
Banque :



Crédit Lyonnais Londres, responsable Middle Office
Crédit Lyonnais Paris, Suivi d’Activité: P&L et Risques
Chambre Syndicale des Banques Populaires: Groupe de Recherche Opérationnelle
Formations :



FINKEYS FRANCE
Organismes professionnels: First Finance, Top Finance, Investance, Spring Finance
Centre de Formation Continue de Science Po, Programme CE.com Banque de France
Masters en Finance, Etranger: Alger, Tunis, Casablanca, Lisbonne, Luxembourg, Hanoi
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Programme
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Le modèle binomial mono période
Le modèle binomial multi périodes
Les options digitales
Le modèle BSM
Les options digitales à barrière
Les options barrière
7.
8.
9.
Les options digitales 2 assets
Les « path dependant »: asiatiques et lookback
Les autres autres options: basket, compound
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 01-01 - correction
Calculer
et C, avec les données suivantes:
Marché :
u=2, d=1/2, r=1/4, S0=4
Solution :
C
V1
V1
S1
S1
V1 .dS 0 V1 .uS 0
(1 r ).(S1 S1 )
.S0
FINKEYS FRANCE
4
6
V1 V1
(u d).S0
1 0
(2 0.5).4
V1 .d V1 .u
1x0,5 0x2
(1 r ).(d u) (1,25)x(0,5 2)
0,6666
V0
C
.S0
1
6
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
1
V1
0
0.1666
1/ 2
5 / 4.3 / 2
4
15
V1
2
3
4
15
6
15
0,2666
2
5
0,4
Exercice 01-01 (suite)
Marché : u=2, d=1/2, r=1/4, S0=4
Instrument: V1- = 0 et V1+ =1
Durée de la période: 1 an
Méthode:
Calculer les prix de marché en T1: S1- S1+
Calculer les probabilités risque neutre: p et q
Recalculer les valeurs et C avec la probabilité RN
Calculer la valeur de l’instrument : V0 à partir de p et q
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 01-01 (suite)
Marché : u=2, d=1/2, r=1/4, S0=4
Instrument: V1- = 0 et V1+ =1
Durée de la période: 1 an.
Calculer les probabilités p*, q* et p’,q’
Calculer la valeur de l’instrument sous ces probabilités.
Rappels: Pay-off des options
Options d’achat Call:
pay-off = max (0, S-K)
Options de vente Put:
pay-off = max (0, K-S)
avec K le prix d’exercice
et Change à Terme:
Change à terme (CAT):
pay-off = (S-F)
avec F le cours à terme (forward)
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 01-02
Instrument: S0 = 100 et K = 105
Marché : u=1.1 d=0,95
R=5%
Durée de la période: 6 mois = 0,5 an
Prendre r= 5%/2 = 2.5%
1 - Calculer : V1- et V1+ :
2 - Calculer les probabilités risque neutre:
3 - Calculer les valeurs et C
4 - Calculer la valeur du call avec les probabilités RN
5 – Calculer ces valeurs avec les probabilité (p*,q*) et (p’q’)
6 - Complément: trouver le prix d’exercice K, afin d’obtenir un
7 - Calculer la valeur du put
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
= 0.75
Exercice 01-02 - correction
Instrument: S0 = 100 et K = 105
Marché : u=1.1
d=0,95
R=5%
Durée de la période: 6 mois = 0,5 an
Prendre r= 5%/2 = 2.5%
1 - Calculer : V1- et V1+ :
S1+=1,1.100 = 110, S1-=0,95.100=95
V1+=max(110-105,0)=5 V1-=max(95-105,0)=0
2 - Calculer les probabilités risque neutre: p et q p=0,5 q=0,5
3 - Recalculer les valeurs et C: C=-30,89 =0,3333
4 - Calculer la valeur du call : V0: 2,4390
5 - Calculer V0 sous les probabilité (p*,q*) et (p’q’) = (0,53;0,46) (1/3,2/3)
6 - Complément: trouver le prix d’exercice K, afin d’obtenir un = 0.75: K=98,75
7 - Calculer la valeur du put: 4,8780
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 01-03
Valoriser les options financières: call et put
Données de marché:
u=1.01, d=0.98, R=2%, S0=10
Instrument financier:
Durée de l’option: T = 2 ans
Prix d’exercice: K = 10,2
Calcul des probabilités RN: p et q
Calcul de la valeur des options sous RN
idem avec (p*,q*) et (p’,q’)
Calculer la valeur du change à terme, avec F=K
Complément: quelle est l’option call répliquée avec
Calcul de K
FINKEYS FRANCE
= 8/11
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 02-01 (suite)
Marché : u=2, d=1/2, R=1/4, S=4, N=6
Durée: 1 an, pas de calcul: 2 mois = 1/6 = 0,1666 an
Produire l’arbre binomial des probabilités:
Reprendre le calcul des probabilités RN: p et q
Calcul des probabilités de chaque valeur finale
Vérification sur la somme des probabilités
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 02-01-correction
Marché : u=2, d=1/2, R=1/4, S=4, n=6
Durée: 1 an = 6 périodes
Calcul du taux période
1+r = (1+R)^(1/6) = (1+0,25)^(1/6) = 1,0379 alors r = 3,79%
p= (1,0379 – 0,5) / (2-0,5) = 0,3585 et q=0,6414
Probabilités
1 0,358594
0 0,641406
0 0,000000
0 0,000000
0 0,000000
0 0,000000
0 0,000000
FINKEYS FRANCE
Chemins P finale
0,128590
0,230004
0,411402
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,046111
0,082478
0,147526
0,263876
0,000000
0,000000
0,000000
0,016535
0,029576
0,052902
0,094624
0,169251
0,000000
0,000000
0,005929
0,010606
0,018970
0,033932
0,060693
0,108559
0,000000
0,002126
0,003803
0,006803
0,012168
0,021764
0,038929
0,069630
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
1 0,002126
6 0,022819
15 0,102040
20 0,243354
15 0,326460
6 0,233571
1 0,069630
1,000000
Option – Pay-Off
Pour une option d’achat européenne (CALL): pay-off = max (0,S-K)
Pour une option de vente européenne (PUT): pay-off = max (0,K-S)
Le call revient à prendre la partie supérieure de l’arbre binomial
Le put revient à prendre la partie inférieur de l’arbre binomial
Calcul de l’indice w, à partir duquel la sommation est effectuée
Cet indice w, correspond à la valeur du prix d’exercice K
Il faut trouver le w, tel que ln(Sj) est le plus proche de ln(K)
ln(K ) ln(S) n.ln( d) w. ln(u) ln( d)
w inf
ln(K / S) n.ln( d)
ln(u / d)
w sup
ln(S / K ) n.ln(u)
ln(u / d)
wp inf( w inf )
wc inf( w sup )
avec inf: borne inférieure en nombre entier (fonction « plancher »)
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 02-01 (correction)
Marché : u=2, d=1/2, R=1/4, S=4, n=6
Instrument: Call avec prix d’exercice: K=5
S(6)
6
5
4
3
2
1
0
256
64
16
4
1
0,25
0,0625
PayOff
Call
Nb de
Chemins
Valeur à Pay Off
Probabilité Probabilité t=6
Put
1 0,002126 0,00213
0,5337
0
6 0,003803 0,02282
1,3463
0
15 0,006803 0,10204
1,1224
0
20 0,012168 0,24335
0,0000
1
15 0,021764 0,32646
0,0000
4
6 0,038929 0,23357
0,0000
4,75
1 0,069630 0,06963
0,0000
4,9375
64
1,0000
3,0025
3,0025
64
2,4020
251
59
11
0
0
0
0
chemins:
chemins:
ln(K / S / d^n) / ln(u/d) = 3,08
ln(S . u^n / K) / ln(u/d) = 2,91
FINKEYS FRANCE
donc wp=3
donc wc=2
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Prix des Options Vanilles
Valorisation des options Call et Put par le modèle binomial:
CALL
CALL
CALL
n
(1 r )
n
i wc
PUT
PUT
PUT
n
1
n
K
.p *i .q * n i S
i
(1 r )n i
n
1
(1 r )n i
wp
i 0
i 0
n i n i
.p .q max( S.ui .dn
i
0
n
wc
K,0)
n i n
.p .q
i
n i n i
.p .q max( K S.ui .dn i ,0)
i
n
K wp n i n
i
n i
.p * .q * S
.p .q
n
i
(1 r ) i 0 i
Développons chacun des termes
FINKEYS FRANCE
i
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
i
i
Double Digital Option
Double Digitale (DDO): achat et vente de 2 options cash ou rien avec
la même maturité mais des prix d’exercice différents: K1 et K2, K11<K2.
Pay-off de cette option:
si K1 < S ET si S < K2
pay-off = M
sinon
pay-off = 0
DDO
K1
M.e
rT w 2
.
K2
Digitale Américaine: quelle définition peut-on en donner?
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
i w1
n i n
qp
i
i
Exercice 02-01 (suite)
Marché : u=2, d=1/2, R=1/4, S=4
Instrument: Call avec prix d’exercice: K=5
Calculer la valeur de l’option en séparant la valeur actuelle du sous-jacent et
du prix d’exercice.
Démarche:
Calculer les probabilités selon les 2 modes (formules A et B)
Calculer la valeur de l’option en séparant les 2 termes de l’équation suivante:
On prend 6 périodes, produire l’arbre binomial, calculer le prix du call K=5
Produire les 7 états du prix à t=6
Calculer le pay-off de l’option à t=6
Calculer le nombre de chemins pour chaque état
Calculer la valeur de l’option à échéance puis à l’instant t=0
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 02-02
On conserve les hypothèses précédentes:
Marché : S=100 u=1,10 d=0,95 n=21, R=5%
Instrument: prix d’exercice: K = 105
Durée: T=2 ans
1 – Calculer: le taux d’intérêt de la période, les probabilité RN
2 - Produire l’arbre binomial du sous-jacent
3 - Produire l’arbre binomial des probabilités
4 - Calculer la valeur Wc pour le call et Wp pour le put, avec un K=105
5 - Calculer la valeur du call et du put
6 – Retrouver ces valeurs avec le programme VBA
7 – Donner une expression générale du Call à l’aide de la fonction
loi.binomial d’Excel
8 – Faire varier le nombre de pas: n
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 02-02 - correction
On conserve les hypothèses précédentes:
Marché : u=1,1, d=0,95, R=2%, S=100, n=21
Instrument: Call avec prix d’exercice: K=105
Durée: T=2 ans
1 – Calculer: le taux d’intérêt de la période, les probabilité RN
r=0,1888% p=0,3459 q=0,6541 p*=0,3798 q*=0,6202
2 - Produire l’arbre binomial du sous-jacent
3 - Produire l’arbre binomial des probabilité
4 - Calculer la valeur Wc pour le call et Wp pour le put, avec un K=105
wc=7 et wp=13
5 - Calculer la valeur du call et du put: Call = 12,5586 et Put = 13,4813
6 – Retrouver ces valeurs avec le programme VBA
7 – Donner une expression générale du Call à l’aide de la fonction loi.binomial
d’Excel:=LOI.BINOMIALE(wc;21;q*;1)*S-LOI.BINOMIALE(wc;21;q;1)*K/(1+R)^T
8 – Faire varier le nombre de pas: n
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Loi de Probabilité - Synthèse
Loi de probabilité discrète:
w
( w,n,p)
i 0
Call ( ( w c ,n, q* ).S
Put
Loi de probabilité continue:
n i
.p .(1 p)n
i
i
K
( ( w c ,n, q)
n
(1 r )
K
*
( w p , n, p ).S
( w p , n, p)
n
(1 r )
wp
wc
inf(
ln(K / S / d^ n)
)
ln(u / d)
ln( S.u^ n / K )
inf(
)
ln(u / d)
wp < wc et winf + wsup = n et wp + wc = n-1
FINKEYS FRANCE
N(d)
1
2
d
e
Call N(d1 ).S
x2 / 2
.dx
K
T
N(d2 )
(1 r )
K
N( d1 ).S
N( d2 )
T
(1 r )
Put
d1
d2
ln(S / K ) (rd rf )
T
ln(S / K ) (rd
rf )
T
N(d1)+N(d2) = 1
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
2
T/2
2
T/2
Exercice 03-01 (suite du 02-02)
On conserve les hypothèses de l’exercice 02-02
S=100, u=1,10 d=,95 n=21, R=2%, T=2 ans
Instrument: Call Tout ou Rien avec K=105 et M = 100 euros
Instrument: Asset Tout ou Rien avec K=105
Produire l’arbre binomial, calculer le prix des call et put digital.
Démarche:
- Produire les états du prix à maturité
- Calculer le nombre de chemins pour l’exercice
- Calculer la probabilité d’exercice
- Calculer la valeur du call digital et du put digital correspondant
Même exercice avec n=1000
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 03-01 (suite du 02-02) - Correction
A=LOI.BINOMIALE(13;21;0,6541;1) = 0,4476
S=100, u=1,10 d=,95 n=21, R=5%, T=2 ans
Instrument: Call Tout ou Rien avec K=105 et B=LOI.BINOMIALE(13;21;0,6202;1) = 0,5775
M = 100 euros
C=LOI.BINOMIALE(7;21;0,3459;1) = 0,5524
Instrument: Asset Tout ou Rien avec K=105
1+r = 1,001888
DF = (1+r)^n = 1,0404
p = 0,3459
p* = 0,3798 q = 0,654
w = 7,6802 q* = 0,6202
wp = 13
wc = 7
V1 Call = 13,0660, Call = 12,5586
V1 Put = 14,0260, Put = 13,4813
Relation de Parité : S – K/(1+r)^n
n = 1000
FINKEYS FRANCE
D=LOI.BINOMIALE(7;21;0,3798;1) = 0,4225
call:
B 100 - A . 105 / DF
= 57,7429 – 45,1843 = 12,5586
put:
-(1-B) 100 + (1-A) . 105 / DF
= -42,2571 + 55,7385 = 13,4813
call
21
50
100
200
500
1000
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
put
12,5586
19,2399
27,1016
37,6751
56,3893
72,9909
13,4813
20,1627
28,0243
38,5978
57,3120
73,9136
Exercice 03-02
On utilise les paramètres de marché suivants:
S=100,
=20%, n=1000, R=2%
Calibrer avec le modèle CRR
Calculer un call et un put avec K=120 et T=2 ans
Décomposer en 2 options digitales, avec n=100
Comparer le modèle binomial, le modèle continu, à la méthode monte carlo
Etude des symétries sur ces options.
intervertir: S et K
intervertir: S et 1/S
intervertir: et intervertir (S,K) et (aS, aK)
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 03-02 - Correction
S=100,
T/n
sqrt(T/n)
1+r
r
(1+r)^n
u
d
p
q
p*
q*
w
wc
wp
=20%, n=100, R=2%
0,02
0,14142136
1,000396
0,0396%
1,040400
1,028688
0,972112
0,499931
0,500069
0,514070
0,485930
53,22302
46
53
BSM
binaire cash
binaire titre
total = BSM
call
Quasi MC
binaire cash
binaire titre
total
Binomial
binaire cash
binaire titre
total
put
29,92958
35,87652
5,94694
85,36515
64,12348
21,24167
28,82368
34,67707
5,85339
86,47105
65,00696
21,46409
call
put
27,85848
33,79486
5,93638
Solution avec actualisation exponentielle
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
87,43625
66,16567
21,27058
Exercice 03-02 - Correction
S=100,
T/n
sqrt(T/n)
1+r
r
(1+r)^n
u
d
p
q
p*
q*
w
wc
wp
=20%, n=100, R=2%
0,02
0,14142136
1,000396
0,0396%
1,040400
1,028688
0,972112
0,499931
0,500069
0,514070
0,485930
53,22302
46
53
BSM
binaire cash
binaire titre
total = BSM
call
Quasi MC
binaire cash
binaire titre
total
Binomial
binaire cash
binaire titre
total
put
29,94140
35,87652
5,93512
85,39886
64,12348
21,27538
28,83506
34,69076
5,85570
86,50519
65,03263
21,47257
call
put
27,86948
33,80821
5,93873
Solution avec actualisation actuarielle
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
87,47077
66,19179
21,27898
Exercice 03-02 - Correction
S=100,
T/n
sqrt(T/n)
1+r
r
(1+r)^n
u
d
p
q
p*
q*
w
wc
wp
=20%, n=100, R=2%
0,02
0,14142136
1,000396
0,0396%
1,040400
1,028688
0,972112
0,499931
0,500069
0,514070
0,485930
53,22302
46
53
BSM
binaire cash
binaire titre
total = BSM
call
Quasi MC
binaire cash
binaire titre
total
Binomial
binaire cash
binaire titre
total
put
31,15103
35,87652
4,72549
88,84897
64,12348
24,72549
30,00000
36,09227
6,09227
90,00000
67,65994
22,34006
call
put
28,99541
35,17406
6,17865
Solution sans actualisation = valeur future
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
91,00459
68,86594
22,13865
Triangle de Catalan
Triangle de Catalan, nombre de chemins non négatifs avec « décalage »
Chaque case est la somme du dessus et du gauche
Somme
2
5
14
42
132
429
1430
4862
16796
58786
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Cn k
FINKEYS FRANCE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
5
5
9 14 14
14 28 42
42
20 48 90 132 132
27 75 165 297 429 429
35 110 275 572 1001 1430 1430
44 154 429 1001 2002 3432 4862 4862
54 208 637 1638 3640 7072 11934 16796 16796
(n k )! (n k 1)
.
(k )! (n 1)!
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Option Barrière - Binomial
Exemple avec n=4 et L=premier niveau up
k
comb hit
4
1
1
3
4
4
2
6
4
1
4
1
0
1
0
16
10
1
1
3
3
1
0
8
3
1
1
0
2
« Hit »: 10 sur 16
Premier « hit » à
T= 1/n 8 soit 1 x 23
T= 3/n 2 soit 2 x 21
Total = 10
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Option Barrière - Binomial
Exemple avec n=6 et L= premier niveau up
k
comb hit
6
1
1
5
6
6
4
15
15
3
20
15
2
15
6
1
6
1
0
1
0
64
44
1
1
5
10
10
5
1
3
5
1
3
3
1
2
2
32
8
4
« Hit »: 44 sur 64
Premier « hit » à
T= 1/n 32 soit 1 x 25
T= 3/n 8 soit 1 x 23
T= 3/n 4 soit 2 x 21
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Option Barrière - Binomial
Exemple avec n=6 et L= second niveau up
k
comb hit
6
1
1
5
6
6
4
15
15
3
20
6
2
15
1
1
6
0
0
1
0
64
29
2
1
4
6
4
1
4
6
2
4
2
5
16
8
5
« Hit »: 44 sur 64
Premier « hit » à
T= 2/n 16 soit 1 x 24
T= 4/n 8 soit 1 x 22
T= 6/n 5 soit 5 x 20
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Pricing Binomial – Exo 04-01
Marché : u=2, d=1/2, R=1/4, S=4, n=6
Instrument: Barrière: L=5
Calculer le prix d’un option digitale barrière: UI et OI, par la
méthode expérimentale (méthode 1)
o Génération d’une liste (et non plus d’un arbre), de tous les chemins
possibles
o Calcul de la valeur finale et du maximum
o Calcul du pay-off: identifier les valeurs maximales supérieures à la
barrière pour l’option UI
o Calcul des probabilités finales de chaque chemin en identifiant le
nombre de u et de d
o Calcul de l’espérance:
 Option UI: prendre les chemins qui touchent la barrière
 Option OI: prendre les chemins qui ne touchent pas la barrière
o Actualisation
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
4-01: Binomial à Barrière Digital - Réponses
11
10
S(0) S(1)
9
S(2)
8
S(3)
7
S(4)
6
S(5)
5
S(6)
MAX
4
8
16
32
64
128
4
2
4
8
16
32
64
4
8
4
8
16
32
64
final
0
1
2
3
4
5
6
0
6
256
5
64
4
16
3
4
2
1
1 0,25
0 0,0625
Sum
cumul
FINKEYS FRANCE
UI
hit
256 256,00
u
proba q 0,44370 S at hit
1
6
0,0014 0,00143
256
64,00
1
5
0,0028 0,00283
64
64,00
1
5
0,0028 0,00283
64
256
1
0
0
0
0
0
0
128
0
1
0
0
0
0
0
64
0
5
1
0
0
0
0
32
0
0
5
1
0
0
0
16
0
0
9
5
1
0
0
8
0
0
0
9
5
1
0
4
0
0
0
5
9
5
1
1
1
1
2
6
8
6
14
15
29
15
44
20
64
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
0
6
15
20
15
6
1
64
4-01: Binomial à Barrière Digital - Réponses
11
10
S(0) S(1)
9
S(2)
8
S(3)
7
S(4)
6
S(5)
5
S(6)
MAX
4
8
16
32
64
128
4
2
4
8
16
32
64
4
8
4
8
16
32
64
chemins
S6
s6
UI
hit
256 256,00
hit
proba q 0,44370 S at hit
1
6
0,0014 0,00143
256
64,00
1
5
0,0028 0,00283
64
64,00
1
5
0,0028 0,00283
64
sur S(6)
max
u
valorisation
proba
unit
no hit
proba
cumul
cumul
décalag
e
0 256,00
1
1
1
0 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014
1,0000
1 64,000
6
6
6
0 0,0028 0,0170 0,0170 0,0184
0,9986
2 16,000
15
15
15
0 0,0056 0,0839 0,0839 0,1023
0,9816
3
4,000
20
20
15
5 0,0111 0,2216 0,1662 0,3240
0,8977
4
1,000
15
0
6
9 0,0219 0,3292 0,1317 0,6532
0,6760 0,50498
5
0,250
6
0
1
5 0,0435 0,2608 0,0435 0,9139
0,3468 0,50498
6
0,063
1
0
0
1 0,0861 0,0861 0,0000 1,0000
0,0861 0,50498
64
42
44
FINKEYS FRANCE
-2
0,44370
0,4437
call
0,1023
0,1023
put
0,3414
1,3387
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
4-01: Binomial à Barrière Digital - Réponses
départ
t
1
1
2
2^t
5
3
1
proba produit at hit
32 0,3355 0,33554 0,9967
8 0,0748 0,07481 0,9901
2 0,0167 0,03336 0,9836
44
0,4437
0,43500 0,44131
Calcul de l’option UI « at maturity): 0,43500
Calcul de l’option UI « At Hit »: 0,44131
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
-1
-3
-5
Exercice 04-03 Binomial à Barrière Digital
Marché: =10%, R=2% , S=100
Produit: Barrière UI et UO à L=115, T=2ans
Méthode: arbre binomial avec n=21
Refaire l’exercice précédent, selon les 2 dernières
méthodes (la première méthode n’étant pas applicable
avec n=21)
Question complémentaire: calculer l’option avec L=110.
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 04-03 : Correction
Marché: =10%, R=2% , S=100
Produit: Barrière UI et UO à L=115,
T=2ans, n=21
S21
hit
no hit
21 191,186
1
0
20 179,742
21
0
19 168,984
210
0
18 158,869 1330
0
17 149,360 5985
0
r=0,189%
16 140,420 20349
0
DF=0,9611
15 132,015 54264
0
14 124,113 116280
0
u=1,0313 d=0,9696
13 116,684 203490
0
p=0,5228 q=0,4771
12 109,700 116280 177650
11 103,134 54264 298452
S0=52,30, S21=191,18
10
96,961 20349 332367
L=115 wL= 12,76 wp=12, indice supérieur à 12,5
9
91,157 5985 287945
8
85,701 1330 202160
L’= 86,95 wL’=8,24 wp’=8
7
80,572
210 116070
Chemins: 600370 / 2^21 = 28,63%
6
75,749
21 54243
5
71,215
1 20348
V1 = 0,3553, UI = 0,3415
4
66,952
0 5985
call = B(8,21,q,1)=0,2545
3
62,945
0 1330
0
210
put = B(7,21,p,1)=0,0638 et décalage (p/q)^5 = 1,5803 2 59,177
1
55,635
0
21
V1 = (0,2545 + 0,0638*1,5803)*0,9611=0,3415
0
52,305
0
1
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 04-03 - correction
Marché: =10%, R=2% , S=100
Produit: Barrière UI et UO à L=115,
T=2ans, n=21
Méthode par temps d’arrêt
Temps de passage à la barrière:
Calcul de l'option
départ probabilité
1
0,03908
5
0,00975
20
0,00243
75
0,00061
275
0,00015
1001
0,00004
3640
0,00001
13260
0,00000
48450
0,00000
FINKEYS FRANCE
5 at hit
0,039080 0,990614
0,048747 0,986885
0,048645 0,983170
0,045510 0,979468
0,041630 0,975781
0,037804 0,972107
0,034295 0,968447
0,031168 0,964801
0,028411 0,961169
0,35529
0,34149 0,34719
départ Catalan
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
5
7
9
11
13
15
17
19
21
1
5
20
75
275
1001
3640
13260
48450
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
t:fin 2^t
produit
16
14
12
10
8
6
4
2
0
65536
81920
81920
76800
70400
64064
58240
53040
48450
600370
65536
16384
4096
1024
256
64
16
4
1
Triangle de Catalan
Triangle de Catalan, nombre de chemins non négatifs avec « décalage »
Chaque case est la somme du dessus et du gauche
Somme
2
5
14
42
132
429
1430
4862
16796
58786
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Cn k
FINKEYS FRANCE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
5
5
9 14 14
14 28 42
42
20 48 90 132 132
27 75 165 297 429 429
35 110 275 572 1001 1430 1430
44 154 429 1001 2002 3432 4862 4862
54 208 637 1638 3640 7072 11934 16796 16796
(n k )! (n k 1)
.
(k )! (n 1)!
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 04-03 : Correction
Marché: =10%, R=2% , S=100
Produit: Barrière UI et UO à L=112
T=2ans, n=21
S21
hit
no hit
21 191,186
1
0
20 179,742
21
0
19 168,984
210
0
18 158,869 1330
0
17 149,360 5985
0
r=0,189%
16 140,420 20349
0
DF=0,9611
15 132,015 54264
0
14 124,113 116280
0
u=1,0313 d=0,9696
13 116,684 203490
0
p=0,5228 q=0,4771
12 109,700 203490 90440
11 103,134 116280 236436
S0=52,30, S21=191,18
10
96,961 54264 298452
L=112 wL= 12,34 wp=12, indice inférieur à 12,5
9
91,157 20349 273581
8
85,701 5985 197505
L’= 89,28 wL’=8,24 wp’=8
7
80,572 1330 114950
Chemins: 803860/ 2^21 = 38,33%
6
75,749
210 54054
5
71,215
21 20328
V1 = 0,45537, UI = 0,43768
4
66,952
1
5984
call = B(8,21,q,1)=0,2545
3
62,945
0
1330
0
210
put = B(8,21,p,1)=0,1393 et décalage (p/q)^4 = 1,4421 2 59,177
1
55,635
0
21
V1 = (0,2545 + 0,1393*1,4421)*0,9611=0,43768
0
52,305
0
1
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 04-03 - correction
Marché: =10%, R=2% , S=100
Barrière UI et UO à L=112
Calcul de l'option
départ probabilité
1
0,07474
4
0,01865
14
0,00465
48
0,00116
165
0,00029
572
0,00007
2002
0,00002
7072
0,00000
25194
0,00000
FINKEYS FRANCE
5 at hit
0,074741 0,990614
0,074585 0,986885
0,065125 0,983170
0,055705 0,979468
0,047771 0,975781
0,041315 0,972107
0,036075 0,968447
0,031792 0,964801
0,028256 0,961169
0,45537
0,43768 0,44578
départ Catalan t:fin 2^t
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
4
1
6
4
8
14
10
48
12 165
14 572
16 2002
18 7072
20 25194
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
produit
17 131072 131072
15 32768 131072
13
8192 114688
11
2048 98304
9
512 84480
7
128 73216
5
32 64064
3
8 56576
1
2 50388
803860
Règles d’application
o Cas, barrière > 0.5 : pas de symétrie (pic)
 dans ce cas, pas de symétrie, mais un nombre de chemins
immédiatement décroissant après le maximum
 nombre de chemins pour le call: de 0 à wc
 nombre de chemins pour le put: de 0 à wc-1
 décalage pour le put: n – 2*wc
o Cas, barrière < 0.5 : symétrie totale (palier)
 dans ce cas symétrie, nombre de chemins identiques de chaque
coté de la barrière.
 nombre de chemins pour le call: de 0 à wc
 nombre de chemins pour le put: de 0 à wc
 décalage pour le put: n – 2*wc -1
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 05-02 - correction
X
A
B
C
D
E
F
G
H
Y
0,5
-0,5
0,5
-0,5
0,5
-0,5
0,5
-0,5
0,7
0,7
-0,7
-0,7
0,7
0,7
-0,7
-0,7
RHO
0,8
0,8
0,8
0,8
-0,8
-0,8
-0,8
-0,8
B(X,Y,RHO)
0,63572
0,30562
0,23905
0,18622
0,45240
0,12231
0,05573
0,00290
2
4
1
5
1
Zone 1 = D = 0,18622
Zone 2 = H = 0,00290
Zone 3 = C-D =0,0528
Zone 4 = B-D = 0,1194
Zone 5 = A-B-C+D=0,2773
et 2 [(1)+(2)+(3)+(4)] + (5) = 1
FINKEYS FRANCE
3
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
3
4
2
Options Digitale – «la brique»
Pay-off de cette option avec 2 sous-jacents:
avec K1 < K2 ET K3 < K4:
1 * (K1 < S1 < K2 ET K3 < S2 < K4)
Question: comment produire cette option
en combinant les options précédentes?
Problème de géométrie!
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
S2
K4
S1
K3
K1
K2
Options Digitale – «la brique»
Pay-off de cette option avec 2 sous-jacents:
avec K1<K2 et K3<K4:
1 * (K1 < S1 < K2 ET K3 < S2 < K4)
S2
K4
S1
K3
K1
-
-
K2
+
Brique = M exp(-rt) [ B(d11,d23, ) – B(d12,d23, ) – B(d11,d24, ) + B(d12,d24, ) ]
avec dij = distance avec sous jacent i et strike j
ln(Si
di, j
i
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Kj
T
)
(r
ri ).T
i T
1
2
i
T
Exercice 05-03 Option d’Echange
Marché: X=100,
Marché: X=115,
Et = 0,75
s =10%,
x =20%,
r = 1%
rx=2%
rs=4%
Produit: Option d’Echange avec T=2ans
Utiliser les 3 méthodes pour la valorisation de cette option :
Méthode Analytique : formule de Margrabe (1979)
Méthode: arbre binomial avec n=100
Méthode: Monte Carlo en 2 dimensions avec n=1000
1 - Calcul de la volatilité quotient
2 - Calcul de chaque option digitale
3 - Fabriquer un Monte Carlo à 2 assets corrélés
4 - Compter les cas S>X
5 - Calculer les différentes options digitales: 1 cash, et 2 titres
6 - Utiliser le binomial à 2 dimensions
FINKEYS FRANCE
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
Exercice 05-03 Option d’Echange - correction
Marché: S=100,
Marché: X=115,
Et = 0,75
s =10%,
x =20%,
rs=2%
rx=4%
r=1%
Produit: Option d’Echange avec T=2ans, Call S Put X: max ( S – X , 0)
Analytique:
Volatilité quotient: = 14,1421%, ds=-0.3988, dx=-0.5988
Monte Carlo
X*(S>X)
S*(S>X)
S*(S<X)
X*(S<X)
1*(S>X)
1*(S<X)
« S » =100 . 0,961169. N(-0,398810) = 33,161929
« X » =115 . 0,924556. N(-0,598810) = 29,201865
Call S Put X = 33,1619 – 29,2018 = 3,9600
« X » =115 . 0,924556. N(0,598810) = 77,122099
« S » =100 . 0,961169. N(0,398810) = 62,954949
Put S Call X = 77,1221 – 62,9549 = 14,1671
MonteCarlo: (N=1000 et Halton (3,5) (9,11)
comptage: aléa1>aléa2 sans corrélation: 504
comptage: aléa1>aléa2 avec corrélation: 491
comptage: X>S avec corrélation: 638 (& 362 pour X<S)
drift de S = drifts = (r-rs- 1. 1/2)=(1%-2%-0,1*0,1/2) = -0,015
drift de X = driftx = (r-rx- 2. 2/2)=(1%-4%-0,2*0,2/2) = -0,050
Call= 32,28-27,25=5,0273
Put= 72,75-61,94= 10,8112
Binomial (N=500):
Call= 3,9932
FINKEYS FRANCE
Put= 14,0726
Monte
Carlo
X*(S>X)
S*(S>X)
S*(S<X)
X*(S<X)
1*(S>X)
1*(S<X)
PH DUCHEMIN – 2013/2014
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES
29 480,32
33 587,80
64 440,98
78 686,26
638,00
362,00
taux
27,256216
4,00%
32,283541
2,00%
61,938662
2,00%
72,749867
4,00%
0,625429
1,00%
0,354867
1,00%