Transcript Filtrage linéaire

Filtrage linéaire
Yves Goussard
GBM6103A
10 septembre 2014
Yves Goussard (GBM6103A)
Filtrage linéaire
10 septembre 2014
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Traitement de signaux biomédicaux
·
Mesure
Trac´e
Stockage
´
Echantillonnage
Quantification
Analyse
Transformation
Extraction
d’informations
Repr´esentation
Fr´equence
Filtrage
Mod´elisation
Estimation
·
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Filtrage linéaire
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Notion de filtre invariant
x
y
filtre h
signal d’entr´ee
·
signal de sortie
·
Principale caractéristique : reproductibilité
Exemples d’utilisation
Modélisation de systèmes biologiques
membranes cellulaires
fonctions physiologiques
Traitement de signaux
retrait de composantes nuisibles (secteur)
« débruitage »
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Filtrage linéaire
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Plan
1
Cadre
2
Rappels sur la transformée en z
3
Filtres linéaires invariants
Définition et caractérisation
Propriétés
4
Filtres rationnels, filtres dynamiques
5
Exemples
6
Synthèse de filtres
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Cadre de travail
Cadre adopté
Signaux et filtres à temps discret
Temps et fréquences réduites : Te = 1, νe = 1, utilisation de n et νr
Filtres invariants
Filtres linéaires
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Transformée en z
Définition et interprétation
Utilité
Représentation et caractérisation des filtres
Complémentarité et liens avec la transformée de Fourier
Définition
TF :
TZ :
X
X (νr ) =
xn e −2iπnνr
n∈Z
X
X (z) =
xn z −n
z ∈C
n∈Z
Interprétation de la transformée en z
Somme de deux séries entières
Convergence sur un anneau du plan complexe
Analytique sur sa région de convergence
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Transformée en z
Principales propriétés
Lien entre transformée de Fourier et transformée en z
La TF existe ⇐⇒ le cercle unité est inclus dans la RC de la TZ
X (νr ) = X (z)|z=e 2i πνr
Principales propriétés
Équivalence entre xn , X (z) et X (νr ) ; νr ∈ [−1/2 , 1/2[ (analyticité
de X (z))
I
Inversion : xn = X (z) z n−1 dz
Propriétés analogues à celles de la TF à temps discret
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Filtres linéaires invariants
Définition et caractérisation
Définitions équivalentes
Le système :
1
vérifie le principe de superposition
2
a une relation entrée-sortie exprimable comme un produit de
convolution
3
admet les fonctions exponentielles comme fonctions propres
Caractérisations équivalentes
h(n)
Réponse impulsionnelle
H(z)
Fonction de transfert
H(νr )
Réponse fréquentielle
Relation entrée sortie
Dans les domaines transformés :
Y (z) = H(z)X (z)
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Y (νr ) = H(νr )X (νr )
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Catégories de filtres
Exemple : types classiques de filtres
(b) Filtre passe-haut
1
0.8
0.8
|H(nu)|^2
|H(nu)|^2
(a) Filtre passe-bas
1
0.6
0.4
0.2
0.4
0.2
0
0
0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
frequence reduite
0.5
0
1
0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.3
0.4
frequence reduite
(d) Filtre coupe-bande
1
|H(nu)|^2
|H(nu)|^2
(c) Filtre passe-bande
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
frequence reduite
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0.5
0
Filtrage linéaire
0.1
0.2
0.3
0.4
frequence reduite
0.5
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Propriétés importantes
Stabilité
Exemple instabilité
Essentielle dans la pratique (voir illustration transparent suivant et
démonstration demo_stabilite.m)
Définitions
équivalentes :
X
|h(n)| converge
H(νr ) existe
H(z) définie sur le cercle unité
n∈Z
Causalité
Illustration : voir démonstration demo_causalite.m
Définition :
∀n < 0 ; h(n) = 0
Importance pratique : dépend du type d’application
Paramétrisation de filtres ayant de bonnes propriétés
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Importance de la stabilité
Exemple de comportement instable
Signal d'entree
4
(a)
amplitude
2
0
-2
-4
0
50
100
150
nombre d'echantillons
200
250
200
250
Signal de sortie
10
(b)
amplitude
5
0
-5
-10
0
50
100
150
nombre d'echantillons
Propriétés des filtres
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Filtres rationnels (1)
Approche
Filtre défini par une P
équation aux différences
:
PQ
P
a
y
=
b
q=0 q xn−q
p=0 p n−p
{ap ; bq } paramétrisent le filtre
Intérêt : partie récurrente −→ RI infinie
Caractérisation du filtre par sa fonction de transfert
Fonction de transfert d’un filtre rationnel
PQ
q=0 bq z
−q
H(z) = PP
p=0 ap z
−p
Spécification de la fonction de transfert
La forme analytique ne suffit pas à la définir complètement
Il faut aussi préciser la région de convergence
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Filtres rationnels (2)
Propriétés importantes de H(z)
Pôles : points singuliers de H(z)
Zéros : points singuliers de 1/H(z)
H(z) doit être mis sous forme irréductible
Pôles et stabilité
Si un filtre rationnel est causal
stabilité ⇐⇒ pôles à l’intérieur du cercle unité
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Filtres dynamiques
Définition
Filtre qui est à la fois
Rationnel
Causal
Stable
Types de filtres dynamiques
Filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF)
Filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII)
Filtres tout pôles (FTP) ; forme récurrente complète
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Exemple de filtre rationnel
Fenêtre rectangulaire
Reponse impulsionnelle
Reponse frequentielle
15
1
10
amplitude
amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
5
0
0
-0.2
-10
-5
-0.5
-5
0
5
10
nombre d'echantillons
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Filtrage linéaire
0
frequence reduite
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0.5
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Exemple de filtre dynamique
Filtre tout pôles du 1er ordre
Spectre d’un FTP d’ordre 1
2
10
fréq. de coupure
1
amplitude
10
0
10
−1
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
fréquence reduite
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Synthèse de filtres
Introduction
Position du problème
Réalisation d’une fonction particulière. Exemples :
Filtrage anti-repliement
Débruitage
Objectifs de la section
Présentation générale (peu de technique)
Mise en évidence de certaines limites
Approche générale
Caractérisation du filtre par le module de sa réponse fréquentielle
Autres caractéristiques (phase, rebonds temporels,...) ?
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Synthèse de filtres
Importance de la phase
Signal d’entrée
amplitude
2
1
0
−1
−2
0
50
100
150
nombre d’échantillons
200
250
200
250
Signal de sortie
amplitude
2
1
0
−1
−2
0
50
100
RI du filtre
Module de la RF
0
−0.5
Phase de la RF
1.5
4
1
2
amplitude
amplitude
amplitude
1
0.5
150
nombre d’échantillons
0.5
0
0
10
20
30
nombre d’échantillons
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−0.5
0
−2
0
0.25
fréquence réduite
Filtrage linéaire
0.5
−4
0
0.25
fréquence réduite
0.5
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Synthèse de filtres
Rebonds temporels
(a)
amplitude
Signal d'entree
1
0.5
0
(b)
amplitude
-0.5
0
amplitude
20
30
40
50
60
nombre d'echantillons
Signal de sortie, phase non nulle
70
80
90
10
20
30
70
80
90
10
20
30
70
80
90
1
0.5
0
-0.5
0
(c)
10
40
50
60
nombre d'echantillons
Signal de sortie, phase nulle
1
0.5
0
-0.5
0
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40
50
60
nombre d'echantillons
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Synthèse de filtres
Techniques élémentaires
Association de filtres tout pôles (ou de leurs inverses)
Suppression de fréquences particulières :
H(νr ) = H(z)|z=e 2i πνr
H(νr ) = 0 pour νr = ±ν0
Illustration en TP !
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Synthèse de filtres
Approche systématique
Gabarit sur |H(νr )|
Choix d’un type de filtre
Types classiques de filtres
Détermination analytique ou numérique des coefficients du filtre, en
s’appuyant sur les filtres à temps continu
Méthodes disponibles dans de nombreux logiciels scientifiques
Exemple simple en TP !
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Synthèse de filtres
Types classiques de filtres
(b) Filtre Chebychev type I
1
0.8
0.8
|H(nu)|^2
|H(nu)|^2
(a) Filtre Butterworth
1
0.6
0.4
0.2
0.4
0.2
0
0
0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
frequence reduite
0.5
0
1
1
0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.3
0.4
frequence reduite
0.5
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
(d) Filtre elliptique
|H(nu)|^2
|H(nu)|^2
(c) Filtre Chebychev type II
0
0.1
0.2
0.3
0.4
frequence reduite
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
frequence reduite
0.5
Synthèse de filtres
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