Transcript TP 4 : Corrigé

Correction du TP nº4
La diffraction des ondes lumineuses
1
Montage expérimental et mesures
LASER
fente sur support
écran
D
Figure 1 – Montage expérimental permettant l’observation du phénomène de
diffraction d’un faisceau laser par une fente (vue de profil)
Largeur de la fente
a (m)
Largeur de la tache centrale de diffraction
L (m)
40 × 10−6
52 × 10−3
50 × 10−6
35 × 10−3
100 × 10−6
20 × 10−3
120 × 10−6
17 × 10−3
280 × 10−6
7,0 × 10−3
400 × 10−6
4,0 × 10−3
Tableau 1 – Résultats expérimentaux pour une distance entre la fente et l’écran égale à 1,50 m
2
Exploitation des résultats
a) Dans le cadre des petits angles, le demi-angle d’ouverture ϑ de la tache centrale de diffraction a pour
expression :
(1)
ϑ = tan ϑ =
L
2D
On peut ainsi calculer ϑ pour chacune des fentes utilisées (voir tableau 2).
L’évolution de la demi-largeur angulaire de la tache centrale de diffraction en fonction de la largeur de
la fente est représentée sur la figure 2.
La demi-largeur angulaire ϑ semble inversement proportionnelle à la largeur de la fente a.
b) De manière à se ramener à l’exploitation d’un modèle linéaire, on trace l’évolution de la demi-largeur
angulaire ϑ en fonction de l’inverse de la largeur de la fente a. On obtient alors le graphique représenté
sur la figure 3.
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Correction du TP nº4
Largeur de la fente
a (m)
Largeur de la tache centrale de diffraction
L (m)
Demi-angle d’ouverture
ϑ (rad)
40 × 10−6
52 × 10−3
17 × 10−3
50 × 10−6
35 × 10−3
12 × 10−3
−6
100 × 10
20 × 10−3
6,7 × 10−3
120 × 10−6
17 × 10−3
5,7 × 10−3
280 × 10−6
7,0 × 10−3
2,3 × 10−3
400 × 10−6
4,0 × 10−3
1,3 × 10−3
Tableau 2 – Demi-largeur angulaire ϑ de la tache centrale de diffraction pour une distance entre la fente et
l’écran égale à 1,50 m
ϑ (rad)
0.020
+
0.015
+
0.010
+
0.005
+
+
+
0
a × 106 (m)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Figure 2 – Évolution de la demi-largeur angulaire ϑ en fonction de la largeur de la fente a
ϑ (rad)
0.020
+
0.015
+
0.010
+
0.005
+
+
+
0
1
× 103 (m−1 )
a
0
5
10
15
20
25
30
Figure 3 – Évolution de la demi-largeur angulaire ϑ en fonction de l’inverse de la largeur de la fente a
c) L’équation du modèle linéaire proposé par Régressi est la suivante :
1
ϑ = 6,5 × 10−7 ×
a
d) Le coefficient directeur de la droite obtenue est homogène à une longueur et correspond à la longueur
d’onde du laser utilisé, exprimée en mètre.
On peut donc en déduire que la demi-largeur angulaire de la tache centrale de diffraction ϑ, la longueur d’onde λ et la largeur de la fente a sont liées par la relation suivante :
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Correction du TP nº4
λ
a
e) Le pourcentage d’erreur entre la valeur de la longueur d’onde obtenue expérimentalement et celle
annoncée par
du laser a pour expression :
le constructeur
λexp − λ
r=
λ
La valeur obtenue étant très proche de celle de référence (égale aux chiffres significatifs près), on a :
r < 1%
(2)
ϑ=
Les sources d’erreurs sont liées essentiellement aux mesures de la largeur de la tache centrale de diffraction (lecture sur la règle et repérage des minimas d’intensité lumineuse) et de la distance fenteécran.
3
Détermination de la taille d’un objet
3.1 Protocole
Afin de déterminer la largeur d’un cheveu, il faut le placer face au faisceau laser puis mesurer la largeur de
la tache centrale de diffraction.
Attention : veiller à ne pas modifier la distance entre l’objet diffractant et l’écran, sans quoi il sera impossible
d’utiliser le modèle obtenu précédemment ou la courbe d’étalonnage pour déterminer la taille de l’objet diffractant.
La largeur de la tache centrale de diffraction permet par suite de déterminer la valeur du demi-angle
d’ouverture ϑ puis d’utiliser la courbe d’étalonnage de la figure 3 pour déterminer l’inverse de ach puis ach .
On peut aussi combiner les équations (1) et (2) afin d’obtenir directement la taille de l’objet diffractant :
λ
2 λ·D
L
=
⇔ ach =
(3)
ϑ=
2 D ach
L
3.2 Mesures
Les résultats obtenus sont les suivants :
Objet diffractant
Largeur de la tache centrale de diffraction L (m)
cheveu de M. X
2,0 × 10−2
Tableau 3 – Résultats expérimentaux pour une distance entre l’objet diffractant et l’écran égale à 1,50 m
(longueur d’onde du laser utilisé égale à 6,5 × 102 nm)
3.3 Exploitation
Largeur du cheveu de M. X :
2 × 6,5 × 10−7 × 1, 50
ach =
2,0 × 10−2
ach = 9,8 × 10−5 m = 98 µm
Incertitude absolue sur la mesure de la largeur du cheveu :
s
!2
!2
!2
U (λ)
U (L)
U (D)
U (ach ) = ach ·
+
+
λ
L
D
v
u
u
u
2
q
u
u
u
!2  2 × 1 × 10−2 
t
2
−3


3
2 × 10
58


U (ach ) = 9,8 × 10−5 ×
+
+ 

2
−2
6,5 × 10
2,0 × 10
1, 50


U (ach ) = 2 × 10−5 m = 2 × 101 µm
La largeur du cheveu de M. X est donc comprise dans l’intervalle suivant :
ach ∈ [78 µm ; 118 µm]
(avec un niveau de confiance de 95%)
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