Transcript Dr Marie-Hélène SIMONNET-GARCIA JEUDI 26 MARS

Problèmes sur le chapitre 1
1.01.
Dans un plan orienté Oxy, représenter les vecteurs suivants et en calculer les projections.
(A : origine; B : extrémité)

: A (4.5; 4.8); B (! 1.8; 1.6)
V1


π
V2
: V2 = 5 cm ; α = −
3


V3 (glissant) : ligne d’action : 4 x + 3 y − 6 = 0 ;
V3 = 5 cm ;
sens : x croissants

V4
ligne d’action : y = 3 2 x − 3 ;
x A = 3 et x B = 1
Réponses :
1.02.
V1 y = − 3.2
V2 x = + 2.5
V2 y = − 4.33
V3 x = + 3.0
V3 y = − 4.0
V4 x = − 2.0
V4 y = − 3.0

V1 = 7.07 cm

V1 = 6.4

V2 = 5.66

V3 = 3.05

V4 = 201
.

Dans un espace orienté Oxyz, calculer les projections et le module d’un vecteur V dont l’origine
a pour coordonnées A (3; 5; 7) et l’extrémité B (!3; 3; 1)
Réponses :
1.04.
V1 x = − 6.3
Dans un plan orienté Oxy, représenter les vecteurs suivants et en calculer les modules.
(A : origine).




: V1 = 4 1x + 5 1y , appliqué en A (3; 1)
V1

V2
: A (2; !3)
V2 x = − 4
α 2 = + 135°

V3 y = + 3
V3
: A (4; 4)
α 3 = + 80°

V4 (glissant) : ligne d’action : y = − 10 x − 20 ;
V4 x = − 2
Réponses :
1.03.
(Version du 13 août 2014 (14h51))
Vy = − 2
Vx = − 6
Vz = − 6

V = 8.72

Dans un espace orienté Oxyz, calculer les projections d’un vecteur V glissant sur la droite

définie par les deux plans π 1 ≡ x + z − 4 = 0 et π 2 ≡ y = 5 . Le module vaut V = 3 et le vecteur
est dirigé vers les z négatifs.
Réponses :
1.05.
V x = 2.12
Vy = 0
Vz = − 2.12


Dans un espace orienté Oxyz, un vecteur V dont le module V = 12 , a pour ligne d’action une
droite pour laquelle α =
5π
π
et β =
. Quelles sont les projections de ce vecteur sur les 3 axes,
3
12
sachant que le vecteur est orienté dans le sens des z croissants ?
Réponses :
© J-P. Bauche - R. Itterbeek
Vx = 6
V y = 311
.
Vz = 9.92
Mécanique - Vecteurs (exercices sup.)
Page - ex1.1 -
1.06.

Dans un espace orienté Oxyz, un vecteur V appliqué en O a pour ligne d’action la bissectrice du

trièdre de référence. Calculer les angles de cette bissectrice avec les axes et les projections de V
dont le module vaut 10 et le sens est celui des x positifs.
Réponses :
1.07.
 

 
R = 1x + 7 1y ; V1 • V2 = 0 ;



V1 ∧ V2 = 25 1z .



R = − 6 1x + 6.93 1y ;
 
V1 • V2 = − 40 ;



V1 ∧ V2 = 69.3 1z .



 
R = 2.61 1x + 4.60 1y ; V1 • V2 = − 12 ;



V1 ∧ V2 = 20.8 1z .
Calculer la résultante d’un système plan de 3 vecteurs glissants, définis comme suit :


V1 :
V1 = 4.12 ;
ligne d’action : y = 4 x ;
sens : x croissants;


V2 :
ligne d’action : y = 2 x − 3 ;
V2 = 4.47 ;
sens : x décroissants;


V3 :
ligne d’action : y = 5 ;
V3 = 1 ;
sens : x croissants;
Réponse :
1.12.
Vz = 0 .
Mêmes questions qu’au problème 1.09. avec :


V1 = 6 ; α 1 = 19.50° et
V2 = 4 ;


L’angle entre V1 et V2 : 120°
Réponses :
1.11.
Vy = 3 2 ;
Dans un plan orienté Oxy, 2 vecteurs sont donnés par les expressions :


π
et
V1 = 8 ; α 1 =
V2 = 10 ; α 2 = π
3
 
Calculer la résultante, la différence V1 − V2 , le produit scalaire et le produit vectoriel de ces
vecteurs.
Réponses :
1.10.
Vx = − 3 2 ;



Dans un plan orienté Oxy, 2 vecteurs sont donnés par les expressions V1 = 4 1x + 3 1y et



 
V2 = − 3 1x + 4 1y . Calculer le module des vecteurs, leur résultante, le produit scalaire V1 • V2


et le produit vectoriel V1 ∧ V2 .
Réponses :
1.09.
V x = V y = Vz = 5.77 .

Dans un espace orienté Oxyz, un vecteur glissant V a pour ligne d’action la droite définie par
les deux plans π 1 ≡ x + y + z = 5 et π 2 ≡ z = 3 . Son module vaut 6. Il a pour sens celui des y
positifs. Calculer ses projections.
Réponses :
1.08.
α = β = γ = 54.74° ;
 
R=0.
 

Trois vecteurs V1 , V2 et V3 sont définis, dans un espace orienté Oxyz, par leur module et les
angles α, β et γ. Calculer la résultante de ces vecteurs avec ses projections et ses angles avec les
3 axes.
© J-P. Bauche - R. Itterbeek
Mécanique - Vecteurs (exercices sup.)
Page - ex1.2 -

V1 :

V2 :

V3 :

V1 = 7.68 ;

V2 = 6.40 ;

V3 = 8.30 ;
Réponses :
1.13.
α 1 = 67.00°
β 1 = 49.46°
γ 1 = 49.46°
α 2 = 108.21°
β 2 = 159.72°
γ 2 = 8103
. °
α 3 = 103.95°
β 3 = 8311
. °
γ 3 = 164.58°



R = − 1 1x − 2 1z ;
α R = 116.575° ; β R = 90.00° ; γ R = 153.44° .
Calculer le module et les projections des 4 vecteurs définis comme suit :
→

avec : A1 (4; 0; 2) et B1 (1; !5; 5);
V1 = A1 B1




V2 = + 3 1x − 4 1y − 5 1z ;


V3 :
V3 = 6.78 ;
α 3 = 116.26° ; β 3 = 27.75° ; γ 3 = 8152
. °

V4 :
dans Oyz :
A4 (0; 2; 2)

V4 = 10
β4 = 60°
sens : y croissants
Calculer la résultante.
Réponse :
1.14.




R = − 3 1x + 2 1y + 7.66 1z .

Dans un espace orienté Oxyz, le vecteur V1 est appliqué en P (0; 0; 5) avec α 1 = π 2 , β 1 = π 6


et V1 = 6 , il est dirigé dans le sens des z croissants. Le vecteur V2 est un vecteur de position,
→
→

égal à MP avec M (1; 4; 0). Calculer : MP ∧ V1 .
Réponse :
1.15.
 


Trouver tous les vecteurs X tels que V1 • X = p ( V1 et p étant donnés)
Réponse :
1.16.
→




→

MP × V1 = − 38 1x + 3 1y − 5.2 1z et MP × V1 = 38.5 .

 p V1



X =  2 + V2 × V1 où V2 est un vecteur arbitraire quelconque.
V1
Dans une base orthonormée Oxyz, on donne deux vecteurs :


: V1 = 10 ; vecteur glissant, dans le plan z = 2 , sur ligne d’action x − y = 0 , dans le
V1
sens des x négatifs.




(vecteur libre)
V2 = 5 2 1x + 5 2 1y + 21 1z


On demande : le module de V2 ; les angles α, β et γ que fait V2 avec les axes Ox, Oy et Oz;

 

l’angle δ angle entre V1 et V2 ; le produit vectoriel V1 × V2 .
Réponses :
© J-P. Bauche - R. Itterbeek

V2 = 11 ;
α = β = 50° et γ = 65.38° ;
 


V1 × V2 = − 5 42 1x + 5 42 1y .
Mécanique - Vecteurs (exercices sup.)
δ = 155.38° ;
Page - ex1.3 -
1.17.
Dans une base orthonormée Oxyz (graduations en cm), on donne les points A (2; 2; 2), B (2; 3; 5)
et C (4; 3; 2), sur lesquels on construit un parallélogramme. Calculer sa superficie.
Réponse :
1.18.
S = 7 cm 2 .
Dans une base orthonormée Oxyz, on demande de calculer le volume du parallélépipède, tel que
représenté ci!après, construit sur les quatre points O (0; 0; 0), A (2; 2; 0), B (0; 2; 0) et
C (0; 2; 2). (Les axes sont gradués en cm).
fig. 1ex. - 1.18.
Réponse :
1.19.
Trouver l’angle aigu θ formé par les diagonales d’un quadrilatère de sommets (0; 0; 0), (3; 2; 0),
(4; 6; 0) et (1; 3; 0)
Réponse :
1.20.
θ = 82.88° .

La ligne d’action d’un vecteur V de module égal à 500 est définie, dans une base Oxyz, par les

équations π 1 ≡ x + 0.6 y + z = 6 et π 2 ≡ z = 3 . V est orienté vers les y décroissants.
Soit A le point de percée de la ligne d’action dans le plan Oyz; calculer le produit vectoriel
→

OA × V .
Réponses :
1.21.
V = 8 cm 3 .



V = 257 1x − 429 1y ;
→




OA ∧ V = 1287 1x + 771 1y − 1285 1z .
Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que la relation :
→
→
→
 →
 →
 →

 AB × BC × CA = AB ×  BC × CA soit vérifiée.




→
→
AB = CA
Réponse :
→
→
→
→
BC • AB
(Y A, B et C alignés).
BC • CA
1.22.




 

3
Si V = t + 2 t 1x − 3 exp(− 2 t ) 1y + 2 sin(5 t ) 1z trouver V , V et V .
(
Réponses :
© J-P. Bauche - R. Itterbeek
)




V = 3 t 2 + 2 1x + 6 exp( − 2 t ) 1y + 10 cos(5 t ) 1z ;
(
)
Mécanique - Vecteurs (exercices sup.)
Page - ex1.4 -

V =
(3 t
2
+2
) + (6 exp(− 2 t )) + (10 cos(5 t ))
2
2
2
;




V = 6 t 1x − 12 exp(− 2 t ) 1y − 50 sin(5 t ) 1z .
1.23.
Montrer que
 
d V1 • V2
(
) = V • V
1
dt
 
d V1 × V2
(
2
) = V × V
 
+ V1 • V2 .
 
+ V1 × V2 .
1.24.
Montrer que
1.25.
 
d V1 • V2


 



Si V1 = t 1x − sin t 1z et V2 = cos t 1x + sin t 1y + 1z trouver
.
dt
1
dt
2
(
Réponse :
© J-P. Bauche - R. Itterbeek
 
d V1 • V2
(
dt
)
) = − t sin t .
Mécanique - Vecteurs (exercices sup.)
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