Transcript Horaire - Journée de pharmacothérapie

Econométrie et applications
Ecole des Ponts – ParisTech
Département Sciences Economiques Gestion Finance
Nicolas Jacquemet
([email protected])
Université Paris 1 & Ecole d’Economie de Paris
N. Jacquemet (EEP – Université Paris 1)
Econométrie et applications
ENPC – ParisTech
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Généralisations des moindres carrés : Précision
1
Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Estimation du modèle non-sphérique
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Econométrie et applications
CJ-Chap 6
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Modèle à probabilité linéaire
Soit une variable expliquée discrète : Y ∈ {0, 1} ;
Modèle causal linéaire : Y = Xb + u, E(u|X ) = 0 ;
Estimation :
Pour chaque individu i, soit Pi la probabilité que Yi = 1
E(ui |X )
= 0 = Pi (ui |Yi = 1, X ) + (1 − Pi )(ui |Yi = 0, X )
= Pi (1 − Xi b) + (1 − Pi )(−Xi b) ⇒ Pi = Xi b
V (ui |X )
= E(ui2 |X ) = Pi (ui2 |Yi = 1, X ) + (1 − Pi )(ui2 |Yi = 0, X )
= Xi b(1 − Xi b)2 + (1 − Xi b)(−Xi b)2 = Xi b(1 − Xi b)
Problème 1 : variance des résidus non-scalaires unité
V (ui |X ) = f (Xi ) 6= σ 2 I ;
(Problème 2 : 0 ≤ Xi b ≤ 1)
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Résidus non-sphériques
Si le résidu est normal et que V (u|X ) = σ 2 IN alors
2
P
f (Y |X ) = √1 N exp(− (Y −Xb)
)
2
2σ
σ
2π
(
)
f (Y |X ) = α0 est l’équation d’une boule, centrée sur Xb ;
Les résidus sont sphériques.
“Résidus non-sphériques” = Matrice de variance-covariance non
scalaire unité :
Remise en cause de l’une des hypothèses de précision :




E(uu ) = σ Ω = σ 


0
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2
2
σ12
..
.
..
.
σN1
σ12
..
.
..
.
σN2
···
..
.
..
.
···
Econométrie et applications
σ1N
..
.
..
.
σN2




 6= σ 2 IN .


CJ-Chap 6
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Modèle à résidus non-sphériques
Propriétés de l’estimateur des MCO
bMCO ) = b ;
Tant que H2MCO est valide, l’estimateur est sans biais E(b
0
−1 0
0
0
−1
b
V (bMCO | X ) = E| X [(X X ) X u][u X (X X ) ] =
(X 0 X )−1 X 0 ΩX (X 0 X )−1 .
⇒ Toutes les statistiques de test fondées sur σ 2 (X 0 X )−1 sont affectées
(Student, Fisher).
Hypothèses
du Théorème de Gauss-Markov ne sont pas
respectées par le PGD.
Il existe un estimateur linéaire et sans biais, dont la variance est
⇒ L’estimateur des MCO n’est pas BLUE.
inférieure.
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Causes I
MCO
H3
Hétéroscédasticité – V (ui ) = σi 6= V (uj ).
I LLUSTRATION – Le modèle (univarié) à coefficients aléatoires
Coefficients aléatoires : le paramètre b qui détermine la relation
vraie entre x et y est une variable aléatoire.
Distribution de b : hétérogénéité de la relation causale
PGD yi = a + xi bi + vi , bi = b + vbi , Hypothèses :

 E (vi |X ) = 0
E (vi vj |X) = 0 pour i 6= j

E vi2 |X = σv2

 E (vbi |X ) = 0
E (vbi vbj |X
) = 0 pour i 6= j

E vbi2 |X = σb2
+ Termes d’erreurs indépendants : E (vbi vj |X ) = 0 ∀i, j
Forme réduite :
yi
=
a + xi bi + vi = a + xi (b + vbi ) + vi = a + xi b + xi vbi + vi
⇒
yi = a + xi b + ui où ui = xi vbi + vi
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Causes II
Propriétés du terme d’erreur :
E (ui |X )
E (ui uj |X )
= E (xi vbi + vi |X ) = xi E (vbi |X ) + E (vi |X ) = 0
= E[(xi vbi + vi ) (xj vbj + vj ) |X ]
= xi xj E (vbi vbj |X ) + xi E (vbi vj |X )
+xj E (vi vbj |X ) + E (vi vj |X )
E ui2 |X
=
0 ∀i 6= j
=
2
E (xi vbi + vi ) |X = E
=
xi2 σb2 + σv2
xi2 vbi2 + 2xi vbi vi + vi2 |X
Et donc : V (u |X ) = Diag σv2 + xi2 σb2 =
6 σ 2 IN
Matrice diagonale, mais les éléments diagonaux ne sont pas
constants : fonctions de xi .
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Causes III
MCO
H4
Autocorrélation – E(ui uj ) 6= 0.
I LLUSTRATION – Le processus MA(1)
Séries temporelles : yt = Xt b + ut
Observations séparées par des dates ⇔ relation temporelle entre les
éléments inobservés.
Modélisation : MA, AR, ARMA, . . .
Processus moyenne mobile (Mobile Average) – MA(1)
ut = εt + ρεt−1 , sous les hypothèses :
E (εt |X ) = 0, E (εt εt 0 |X ) = 0 pour t 6= t 0 et E ε2t |X = σε2 .
Propriétés du terme d’erreur
E(ut2 |X )
=
E(εt + ρεt−1 )2 = E(ε2t + 2ρεt εt−1 + ρ2 ε2t−1 )
=
σε2 (1 + ρ2 )
E (ut ut−1 |X )
=
E (εt + ρεt−1 ) (εt−1 + ρεt−2 ) = σε2 ρ
E (ut ut 0 |X )
=
0 ∀t 0 : t − t 0 > 1
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Causes IV
Echantillon de taille T :





2
Ω(ρ) = V (u |X ) = σε 



1 + ρ2
ρ
0
..
.
0
ρ
..
.
..
.
..
.
···
0
..
.
..
.
0
···
..
.
..
.
..
.
ρ
0
..
.
0
ρ 1 + ρ2





 6= σ 2 IT




Egalité des termes de la diagonale, mais corrélations entre les
périodes d’observation.
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Conséquences : Inférence “naive” dans un modèle
hétéroscédastique I
Simulation de données produites par le PGD vrai : y = b0 + b1 x + u,
b0 = b1 = 0 et u = v σ(x) :
M
σ(x)
√
1 + x2
Spécification
D
E
√
1 + x2
2
1/ 1 + x
exp
5
Simulation de 100 000 échantillons ⇒ moyenne des estimations
ponctuelles ; écart-type estimé des résidus et p-value (H0 : b1 = 0)
bMCO
empiriques de b
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Résidus non-sphériques
Conséquences : Inférence “naive” dans un modèle
hétéroscédastique II
Spécification
50
M
50
D
50
E
500
M
500
D
500
E
8000
M
8000
D
8000
E
bMCO
b
-0.0005
-0.0002
0.0002
0.0004
0.0001
0.0006
0.0001
0.0000
0.0001
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Vrai
σ(x)
0.2812
0.0882
0.4631
0.0894
0.0264
0.1747
0.0223
0.0065
0.0439
Variance homoscédastique
σ
bMCO
D10
D5
D1
0.2023 26.2 24.4 16.5
0.1193 8.7
3.0
1.1
0.2484 39.9 31.2 22.8
0.0633 24.5 16.6 6.8
0.0364 2.4
0.7
0.0
0.0811 37.1 28.6 16.0
0.0158 24.4 16.5 6.8
0.0091 2.3
0.7
0.0
0.0203 41.1 32.7 19.8
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Estimation du modèle non-sphérique
Moindre Carrés Généralisés
Idée :
Estimateur des MCO est BLUE si E(uu 0 ) = σ 2 IN .
⇒ Transformer le modèle d’origine pour respecter cette condition.
Sphéricisation
Matrice de sphéricisation de Ω : S (Ω−1/2 ) telle que SΩS 0 = I.
On peut montrer qu’une matrice de sphéricisation existe pour toute
matrice symétrique ⇔ Vrai pour toute matrice de variance-covariance
Modèle sphéricisé :
e =X
eb + u
e
Ω−1/2 Y = Ω−1/2 Xb + Ω−1/2 u ⇔ Y
Propriétés du modèle sphéricisé :
e | X ) = E(Ω−1/2 u | X ) = Ω−1/2 E(u | X ) = 0
E(u
0
0
eu
e0 | X ) = E(Ω−1/2 uu 0 Ω−1/2 | X ) = Ω−1/2 σ 2 ΩΩ−1/2 = σ 2 IN .
E(u
Le modèle sphéricisé respecte toutes les propriétés des MCO.
L’estimateur des MCG (du modèle d’origine) est l’estimateur des
MCO du modèle sphéricisé :
bMCG = (X 0 Ω−1/20 Ω−1/2 X )−1 X 0 Ω−1/20 Ω−1/2 Y = (X 0 Ω−1 X )−1 X 0 Ω−1 Y
b
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Estimation du modèle non-sphérique
Estimation : Moindre Carrés Quasi-Généralisés
Par définition, le modèle sphéricisé respecte HMCO
bb
MCG est l’estimateur BLUE du paramètre b du modèle d’origine.
! La matrice Ω est inconnue. . .
Estimateur des Moindres Carrés Quasi-Généralisés
b un estimateur de Ω. L’estimateur des MCQG est l’estimateur
Soit Ω
b:
des MCO du modèle sphéricisé par Ω
bMCQG = (X 0 Ω
b −1 X )−1 X 0 Ω
b −1 Y
b
Les méthodes de correction diffèrent par l’estimateur utilisé.
En pratique :
i supposer une forme pour Ω ;
b
ii trouver un estimateur de Ω,
bMCQG .
iii étudier les propriétés induites de b
bMCQG dépendent des propriétés de Ω.
b
Les propriétés de b
Dispersion de l’estimateur, tests sur la valeur des coefficients, . . .
+ Tests de Ω contre IN .
! Espérance de l’estimateur
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Estimation du modèle non-sphérique
Estimation robuste I
MCQG : affecte l’identification pour résoudre un pb de précision.
Estimation robuste : estimer la variance vraie de l’estimateur :
bMCO | X ) = (X 0 X )−1 X 0 ΩX (X 0 X )−1
V (b
bMCO | X ) = (X 0 X )−1 X 0 Ω̂X (X 0 X )−1
⇒ V̂ (b
b affectent uniquement la précision
“Robuste” : les propriétés de Ω
Exemple : correction de l’hétéroscédasticité par la matrice de
White.
N
P 2 0 0 −1
bi xi xi (X X ) ;
V̂ (βbMCO ) = (X 0 X )−1
u
i=1
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Estimation du modèle non-sphérique
Estimation robuste II
Estimation robuste sur données simulées
Spécification
b
bMCO
Vrai
σ
Variance homoscédastique
σ
b MCO
D10
D5
D1
σ
bWhite
Variance robuste
D10
D5
D1
50
50
50
M
D
E
-0.0005
-0.0002
0.0002
0.2812
0.0882
0.4631
0.2023
0.1193
0.2484
26.2
8.7
39.9
24.4
3.0
31.2
16.5
1.1
22.8
0.0692
0.0011
0.1153
15.0
10.9
15.7
9.1
5.7
9.3
3.1
1.4
3.0
500
500
500
M
D
E
0.0004
0.0001
0.0006
0.0894
0.0264
0.1747
0.0633
0.0364
0.0811
24.5
2.4
37.1
16.6
0.7
28.6
6.8
0.0
16.0
0.0887
0.0264
0.1702
10.6
10.0
10.4
5.4
5.0
5.1
1.2
1.0
1.0
8000
8000
8000
M
D
E
0.0001
0.0000
0.0001
0.0223
0.0065
0.0439
0.0158
0.0091
0.0203
24.4
2.3
41.1
16.5
0.7
32.7
6.8
0.0
19.8
0.0223
0.0066
0.0439
10.0
9.9
9.7
4.9
4.9
4.7
1.0
1.0
0.8
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Estimation du modèle non-sphérique
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Econométrie et applications
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Généralisations des moindres carrés : Précision
Estimation du modèle non-sphérique
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