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MPSI 2
Structures algébriques
2014/15
Exemples de lois.
Exercice 1.
1. Montrer que l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité forment un sous-groupe
de (U, ×).
x
2. Montrer que x 7→
est un endomorphisme de groupe de R∗ . Déterminer son
|x|
noyau et son image. Même question pour l’application θ 7→ eiθ (de R dans C∗ ).
Exercice 2. On pose G = R \ {2} et on définit sur G la loi suivante :
∀(x, y) ∈ G2 xτ y = xy − 2(x + y) + 6
Exercice 5. On considère l’ensemble constitué des six fonctions de R\{0; 1} dans
lui-même suivantes :
1
x
f1 (x) = x f2 (x) =
f3 (x) =
1−x
x−1
1
x−1
f4 (x) =
f5 (x) = 1 − x f6 (x) =
x
x
Montrer qu’il s’agit d’un groupe pour la composition (écrire sa table). Déterminer
tous ses sous-groupes.
Exercice 6.
bijections.
Montrer que dans un groupe fini les translations à gauche sont des
Exercice 7. Décrire tous les groupes possibles à 1, 2, 3 ou 4 éléments ; on donnera
leur table.
1. Montrer que (G, τ ) est un groupe commutatif.
2. Monter que f : x 7→ x − 2 est un isomorphisme de (G, τ ) sur (R∗ , ×).
3. Pour x ∈ G et n ∈ N on pose : x(n) = xτ x . . . τ x (n fois). Exprimer x(n) en
fonction de x et n.
4. Montrer que (]2, +∞[, τ ) est un sous-groupe de (G, τ ).
Sous-groupes et morphismes particuliers
Exercice 8. Soit G un groupe et a ∈ G. Montrer que l’application x 7→ axa−1
est un isomorphisme de groupes de G dans lui-même.
Exercice 3. On définit sur R la loi ∗ par x ∗ y = x + y − xy. Est-ce une loi de
groupe ? Calculer x ∗ x ∗ · · · ∗ x (n facteurs) en fonction de n et de x.
Exercice 9. Soit (G, ∗) un groupe.
x+y
.
1 + xy
Montrer que (] − 1; 1[, ∗) est un groupe commutatif. Montrer qu’il est isomorphe à
(R, +).
2. Montrer que le commutant de tout élément a d’un groupe G défini par C(a) =
{x ∈ G ; ax = xa} est un sous-groupe de G...
Exercice 4. On considère sur ] − 1; 1[ la loi x ∗ y =
Tables de groupes
Définition On appelle table de groupe le tableau à double entrée comportant
autant de lignes que de colonnes
?
..
.
x
...
y
3. ...ainsi d’ailleurs que le centre de G défini par Z(G) = {a; ∀x ax = xa}. Que se
passe-t-il quand G est abélien ? Et quand G est l’ensemble des fonctions affines
{x 7→ ax + b; (a, b) ∈ R2 } muni de la loi rond ?
Exercice 10. Trouver une CNS pour que la réunion de deux sous-groupes de G
soit un sous-groupe de G.
...
où x et y décrivent G.
x?y
1. Soit H1 et H2 deux sous-groupes de G. Montrer que H1 ∩ H2 est un sous-groupe
de G.
Exercice 11. Soit A une partie G. Montrer que l’intersection de tous les sousgroupes de G contenant A est encore un sous-groupe de G, appelé sous-groupe
de G engendré par A.
Quel est le sous-groupe de de (C, +) engendré par i, j ? et celui de (C∗ , ×) ?
Exercice 12.
de groupe.
Soit G et G0 deux groupes. Munir G × G0 d’une structure naturelle
En vrac.
Exercice 13. Soit (G, ?) un groupe.
1. Soit f : x 7→ x−1 . Trouver une CNS pour que f soit un automorphisme.
2. Soit g : x 7→ x2 . Trouver une CNS pour que g soit un morphisme.
Exercice 14. Soit (G, ?) un groupe vérifiant ∀x ∈ G
x2 = 1.
1. Donner des exemples de tels groupes.
2. Montrer que G est commutatif.
3. Soit H un sous-groupe de G et a ∈ G \ H. Montrer que H ∩ aH = ∅ et
que K = H ∪ aH est un sous-groupe de G.
4. On suppose G fini. Montrer que le cardinal de G est une puissance de 2.
Exercice 15. Montrer qu’il n’existe pas d’isomorphisme entre (Q, +) et (Q∗+ , ∗).
Exercice 16. Montrer que (R, +) et (R∗+ , ∗) sont isomorphes. Et (R, +) et (R∗ , ∗) ?
Exercice 17. Soit G un groupe et a, b deux éléments de G. Montrer l’équivalence
∃n > 1 (ab)n = e ⇐⇒ ∃n > 1 (ba)n = e
Exercice 18. Montrer que l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur R vérifiant
∀x ∈ R f (x + 2π) = f (x) + 2π
et
f 0 (x) > 0
est un sous-groupe de l’ensemble des bijections de R dans R.
Exercice 19. Montrer que l’ensemble des suites réelles, muni de la somme et du
produit terme par terme, est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles ? Parmi
les ensembles suivants, lesquels en sont des sous-groupes ou des sous-anneaux :
1. suites contantes
Exercice 25. Soit A un anneau commutatif non nul. On dit qu’une partie I de
A est un idéal de A quand elle vérifie les deux conditions suivantes :
• (I, +) est un sous-groupe de (A, +)
• ∀a ∈ A ∀x ∈ I
ax ∈ I.
2. suites bornées
1. Montrer que pour tout a ∈ A, la partie aA est un idéal de A.
3. suites monotones
2. Montrer que A est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont {0} et A.
4. suites convergentes
3. Trouver tous les idéaux de Z.
5. suites périodiques
4. On suppose que tous les idéaux de A vérifient xy ∈ I =⇒ x ∈ Iouy ∈ I.
Montrer que A est un corps.
6. suites divergeant vers +∞
Exercice 20. On munit Z2 de l’addition canonique et de la multiplication
(x, y) × (x0 , y 0 ) = (x0 − y 0 , x0 + x0 y)
Montrer que l’on obtient un anneau commutatif intègre, dont on précisera l’élément
neutre. Déterminer tous les éléments inversibles.
Exercice 21. Montrer que tout morphisme de corps est injectif.
Exercice 22. Montrer que tout anneau intègre fini est un corps.
Exercice 23. Soit (A, +, .) un anneau non nul. On dit qu’un élément x est nilpotent quand il existe un entier naturel non nul n tel que xn = 0
1. Donner un exemple non trivial.
2. Un élément de A peut-il être à la fois nilpotent et inversible ?
3. Montrer qu’il peut exister des éléments ni nilpotents ni inversibles.
4. Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible.
5. Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors xy et x + y sont
nilpotents.
Exercice 24. On pose Z[i] = {a + ib ; (a, b) ∈ Z2 }. Montrer que c’est un anneau
intègre et déterminer ses éléments inversibles.
Exercice 26. Formule du multinôme : soit a1 , . . . , ap p éléments d’un anneau
commutatif A. Montrer que
X
n!
(a1 + · · · + ap )n =
αp
1
α1 ! . . . αp !aα
1 . . . ap
α1 + · · · + αp = n
αi > 0
On pourra récurer.