Transcript TD 9 Exercice 1 : Exercice 3. Exercice 4. Exercice 5

Université Pierre et Marie Curie
Année 2013-2014
LM 371, Algèbre 1
2◦ semestre
TD 9
Exercice 1 :
Soient G un groupe ni, H un sous-groupe de G et E = {gHg −1 | g ∈ G} l'ensemble des conjugués de H . Soit
p un nombre premier tel que [G : H] < p.
1. Montrer que |E| < p.
2. Soit S un p-Sylow de G. On fait agir S sur E par conjugaison.
Montrer que les orbites des éléments de E sont triviales.
3. Soient g ∈ G et K = gHg −1 . Montrer que KS est un sous-groupe de G et que K est un sous-groupe
distingué de KS .
T
4. Montrer que KS = K . En déduire que S ⊂
gHg −1 .
g∈G
Indication : Utiliser le deuxième théorème d'isomorphisme
.
Exercice 2.Groupes d'ordre pq
Soient p et q deux nombres premiers tels que p < q , et soit G un groupe d'ordre pq .
1. Montrer que si p ne divise pas q − 1, alors G est cyclique.
On suppose désormais que p divise q − 1.
2. Montrer que Aut(Z/qZ) est isomorphe à Z/(q − 1)Z. En déduire qu'il existe p homomorphismes de Z/pZ
dans Aut(Z/qZ).
3. Montrer que G est soit cyclique soit un produit semi-direct Z/qZ o Z/pZ.
4. Soient φ et ψ deux homomorphismes non triviaux de Z/pZ dans Aut(Z/qZ). Montrer qu'il existe α ∈
Aut(Z/pZ) tel que ψ = φ ◦ α. En déduire que tous les produits semi-directs de 3) sont isomorphes.
5. Application : Soit q > 2 premier. Montrer qu'un groupe d'ordre 2q est soit isomorphe à Z/2qZ, soit
isomorphe au groupe diédral Dq .
Exercice 3.
Soit p un nombre premier. Montrer que si S est un p-Sylow d'un groupe ni G, alors
NG (NG (S)) = NG (S).
Exercice 4.
Combien d'éléments d'ordre 7 y a-t-il dans un groupe simple d'ordre 168 ?
Exercice 5.
Montrer qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 300.
Indication : On pourra étudier l'action de
G
sur
G/NG (S)
où
S
.
est un 5-Sylow
Exercice 6.
Soient p > q > r trois nombres premiers, et soit G un groupe d'ordre pqr.
Montrer que G n'est pas simple.
Exercice 7.
Soit r > 1 un entier. Montrer qu'un groupe simple d'ordre > r! ne peut pas avoir un sous-groupe d'indice r.
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Exercice 8. Il n'existe pas de groupe simple non abélien d'ordre < 60.
1. Rappeler pourquoi un groupe d'ordre pn , avce p premier et n > 1, n'est pas simple.
2. Soit G un groupe d'ordre pn q avec p et q deux nombres premiers distincts et n > 1.
(a) Si p > q , montrer que G n'est pas simple.
(b) Si pn ne divise pas (q − 1)!, montrer que G n'est pas simple.
3. Montrer que tout groupe d'ordre 36, 40 ou 56, n'est pas simple.
4. Montrer alors qu'il n'existe pas de groupe simple non abélien d'ordre < 60.
Exercice 9. Simplicité de A5 .
1. Donner les ordres possibles des éléments du groupe alterné A5 , et pour chaque ordre d, indiquer le nombre
d'éléments de A5 d'ordre d.
2. Montrer que pour d = 2 et d = 3, les éléments d'ordre d sont conjugués, et que les sous-groupes d'ordre 5
sont conjugués (conjugaison dans A5 ).
3. Déduire une preuve de la simplicité de A5 .
Si
H.
H 6= {e}
est un sous-groupe distingué de
A5 ,
raisonner sur les éléments d'ordre 2, 3 et 5 contenus dans
Exercice 10.
Soit G un groupe simple de cardinal 60. On va montrer que G est isomorphe à A5 .
1. Trouver le nombre de 5-Sylow de G. Déduire un morphisme injectif α : G → S6 .
2. Soit H = α(G). Montrer que H ⊂ A6 .
3. Montrer que l'action de A6 par translation à gauche sur l'ensemble A6 /H dénit un isomorphisme
ϕ : A6 → A6 .
4. Montrer que ϕ(H) est le xateur de H , et conclure.
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