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Electromagnétisme des régimes permanents.
Electrostatique
I - LES EQUATIONS LOCALES DE L’ELECTROSTATIQUE ET
LEURS CONSEQUENCES.
A - Découplage des équations de Maxwell en régime permanent.
Ecrivons les équations de Maxwell en toute généralité.
Définissons les régimes stationnaires (ou permanents ou indépendants du temps) par la nullité de tout les termes
en /t.
On obtient ainsi deux équations en ⃗ seul et deux équations en ⃗⃗ seul (d’où le découplage) et l’apparition de
deux champs disciplinaires distincts : l'électrostatique et la magnétostatique.
Les équations locales du premier ordre de l'électrostatique sont
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗
B - Le théorème de Gauss.
On le déduit du théorème d’Ostrogradsky appliqué à la relation de Maxwell-Gauss.
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est le quotient des charges intérieures par o.
Il est indépendant des charges extérieures.
La démonstration, qui n'utilise que l'équation de Maxwell-Gauss, permet d'affirmer qu'il est valable pour tous les
types de régimes (permanents, ARQS et rapidement variables).
L’utilisation pertinente des symétries et des invariances permet l’obtention des résultats suivants :
Type de symétrie
Surface de Gauss
Plane (x) = (-x)
Cylindrique =(r)
Sphérique =(r)
2rhE(r)
4r2E(r)
x
Expression du flux de E à 2SE(x)
travers la surface de Gauss
Noter que l’usage pertinent des symétries, de l’équation locale de Maxwell-Gauss et des conditions de passage
sont souvent aussi efficaces que le théorème de Gauss.
C - Potentiel scalaire.
1-Définition.
Dans le cadre particulier étudié, le rotationnel du champ électrostatique est nul. ⃗ est alors un champ de
gradient c'est à dire un champ à circulation conservative.
On peut donc écrire ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . V est un potentiel scalaire défini à une constante additive près.
On en déduit l’orthogonalité des lignes de champ permanent et des équipotentielles et le fait que le champ
permanent pointe vers les bas potentiels.
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Le théorème de l’extremum affirme que le potentiel électrostatique ne peut être extrémal en dehors des
charges. C'est une conséquence immédiate du théorème de Gauss.
En multipliant par q l’équation précédente, il vient qE = -grad(qV) : Toute force électrostatique est donc
conservative.
L'énergie potentielle d'une charge électrique q, placée en un point où le potentiel extérieur est V est Ep=qV.
On se rappellera la définition de l’électron-volt : énergie cinétique acquise par un électron accéléré par une
différence de potentiel de 1V et donc 1eV=1.6 10-19 J
2- Equations de Poisson et de Laplace.
L'équation de Poisson est l'équation locale vérifiée par le potentiel électrostatique V(M). L'équation de Laplace
apparaît comme un cas particulier. Il s'agit d'équations aux dérivées partielles d'ordre 2.
En prenant la divergence de ⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, on obtient l’équation de Poisson : V+o = 0.
Elle permet le calcul immédiat de la distribution volumique de charges responsable d'un potentiel électrostatique
connu.
Dans le vide, en dehors des charges, elle se réduit à l’équation de Laplace : V= 0.
En coordonnées cartésiennes, il vient 2V/x2+2V/y2+2V/z2=0.
Les trois dérivées secondes de l’énergie potentielle d’une charge q placée en une position d’équilibre (dérivées
premières nulles) ne peuvent être de même signe. On constate donc qu'il ne peut exister de position d'équilibre
stable pour une charge sur laquelle s’exerce seulement une force électrostatique:
Il est impossible de piéger une particule chargée avec seulement un champ électrostatique E. (théorème d’
Earnshaw).
L’étude d’un problème d’électrostatique revient souvent à résoudre l’équation de Laplace compte tenu de
conditions aux limites caractéristiques du problème.
Il s'agit de trouver la fonction harmonique (c'est à dire de Laplacien nul) compatible avec les conditions aux
limites.
Nous admettrons l'unicité de la solution vérifiant à la fois l'équation de Laplace et les conditions aux limites,
pourvu que ces dernières soient suffisamment bien précisées (Condition de Dirichlet ou Neumann).
Solutions de l'équation de Laplace, c'est à dire expression du potentiel en dehors des sources, dans les cas de
symétrie simples:
Nature des distributions
sources
Invariantes par translation
selon Oy et Oz
Forme du potentiel déduite V(x)
des symétries
Forme du laplacien
d2V(x)/dx2
associé
Cas typique
Condensateur plan
Forme de la solution de
V=0
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V =ax+b
Invariantes par translation
le long de Oz et rotation
autour de Oz
V( r) (r des cylindriques)
Invariantes par rotation
autour de O
(1/r)[r(V/r)]/r
(1/r2)[r2(V/r)]/r
Fil rectiligne
uniformément chargé
Condensateur cylindrique
V= ln(r)+
Charge ponctuelle
Condensateur sphérique
V( r) (r des sphériques)
V = r+
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3 - Solution de l'équation de Laplace pour une distribution de charges d’extension finie avec V= 0 à l’infini.
Déjà vue dans le cadre de l’étude des potentiels retardés. On l’écrit pour les trois cas usuels de distributions.
Volumique
Surfacique
Linéïque
V(M) =  (P)d(P)/(4oPM)
V(M) =  (P)d(P)/(4oPM)
V(M) =  (P)dl(P)/(4oPM)
Le potentiel électrostatique diverge-t-il au sein de distributions de charges ?
Rappelons que les densités de charges sont obtenues par lissage des charges réelles (quasi ponctuelles) dans un
milieu à l’échelle mésoscopique. Les fonctions correspondantes (P), (P) et (P) sont donc bornées et
régulières.
Calculons le potentiel électrostatique au centre d’une boule de rayon a par application de la formule précédente.
On constate que la valeur trouvée tend vers zéro quand le rayon a tend vers zéro.
On en déduit la continuité de V dans une distribution volumique de charges.
Même travail pour une distribution surfacique. Même résultat.
Même travail pour une distribution linéïque. Divergence.
Les intégrales divergent pour des distributions linéïques ou ponctuelles de charges.
Rappelons que le champ électrique, donc électrostatique, présente une discontinuité E2-E1=(/o)n12 à la
traversée d’une distribution surfacique de charges.
Le potentiel, primitive d’une fonction continue par morceaux est continu à la traversée d’une telle distribution.
4 - Loi de Coulomb.
Rappel :
En prenant le gradient en M de la formule précédente pour le potentiel, on obtient l’expression du champ
électrique permanent créé par une distribution chargée et la loi de Coulomb par utilisation de f=qE.
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II - Conducteurs en équilibre électrostatique.
1 - Définition de l’équilibre électrostatique.
Soit un conducteur étudié dans son propre référentiel R (on suppose donc qu’il se comporte comme un solide)
S’il est en équilibre électrostatique, les porteurs de charges qu’il contient sont globalement (statistiquement) au
repos dans R. Ceci se traduit par une densité de courant volumique j(M) nulle en tout point dans le conducteur.
Nous supposons maintenant que la seule cause de mouvement de charges est la présence d’un champ
électrostatique (pas de diffusion, pas de champ électromoteur, pas de gradient de température, influence de la
pesanteur négligée).
⃗ , ⃗ est également nul dans le conducteur.
Conséquence: Comme ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est nulle et que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Dans un CEE, le champ électrique est nul en tout point
Remarquer que cela n’exige nullement que la conductivité statique  soit infinie (il n’est pas nécessaire d’avoir
à faire à un conducteur parfait)
2 - Conséquences immédiates.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ donc V= constante. Le conducteur en équilibre électrostatique est un volume
 ⃗⃗⃗
équipotentiel. Sa surface extérieure est une surface équipotentielle.
Un CEE est un volume équipotentiel. Sa surface est équipotentielle.

⃗
donc  = 0 : tout volume intérieur au conducteur est globalement neutre.
La charge éventuelle d'un CEE est portée uniquement par la surface du conducteur.
 Théorème de Coulomb : c’est un cas particulier de la relation de passage de ⃗ déjà rappelée plus haut.

⃗
⃗
⃗
⃗
Le champ, au voisinage immédiat d'un CEE, est normal au conducteur.
(S'il ne l'était pas, on conçoit volontiers que sa composante tangentielle mettrait les charges en mouvement au
sein du conducteur d’où une incompatibilité avec l’idée d’équilibre.)
Le champ au voisinage immédiat d'un CEE est normal au conducteur. E = no.
Les lignes de champ électrique sont orthogonales à la surface d’un CEE
3 - Applications.
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 Pression électrostatique. P =  /2o (démonstration).
Envisageons un conducteur en équilibre électrostatique.
Considérons alors un petit élément de surface d'aire dS et de charge dS.
Plaçons-nous en un point très proche de sa surface, d’où il est vu sous l’angle solide 2 sr. Il y crée (théorème de
Gauss) un champ ⃗ /2o.
Le champ total étant le double du fait du théorème de Coulomb, le reste de l'univers crée sur lui un champ
identique ⃗ /2o et lui impose donc une force par unité de surface, produit de sa charge par ce champ, égale à
⃗ /2o.
Cette force est donc dirigée vers l'extérieur du conducteur. Elle est normale à ce dernier et tend à le faire gonfler.
La force par unité de surface est par définition la pression électrostatique.
P = /2o
Application à l'étude d'un petit disque posé sur une sphère dont on fait croître le potentiel. Lévitation
électrostatique.
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 Cavité creusée dans le conducteur porté à un potentiel donné et vide de charges.
C’est un volume équipotentiel, car V ne peut présenter d’extremum en dehors des charges.
Il en résulte que le champ y est nul et donc aussi la densité surfacique de charges portée par la surface intérieure
intpar le théorème de Coulomb. Un conducteur creux en équilibre électrostatique ne porte de charges que sur
sa surface extérieure.
L'état de la cavité est indépendant de ce qui se passe à l’extérieur du conducteur : écrans électriques (cage de
Faraday).
4 - Phénomène d'influence.
a - Description du phénomène.
Soit un conducteur C en équilibre électrostatique. Le champ y est nul en tout point.
Approchons une charge électrique q. Temporairement le champ n’est plus nul au sein du conducteur
Si le conducteur C est isolé, il évolue à charge électrique constante. Les charges se déplacent en son sein de
manière à rétablir un état d’équilibre électrostatique. L'approche de la charge a, dans le nouvel état d’équilibre,
modifie la répartition des charges électriques à sa surface soit (P).
Si le conducteur C est lié à la terre, il évolue à potentiel constant, mais sa charge électrique totale peut varier car
des charges ponctuelles sont prélevées ou rendues à la terre. De même, l’approche de la charge q a modifié la
répartition surfacique de charge au sein du conducteur.
Comment charger un conducteur par influence ?
1- le relier à la terre.
2- faire venir ou partir des charges en approchant un objet chargé (sans contact).
3- isoler C de la terre. Il va alors porter une charge invariable.
4- Eloigner l'objet chargé
Expérience : charge d'un électroscope par influence.
b - Théorème des éléments correspondants
Considérons deux conducteurs en équilibre électrostatique et appliquons le théorème de Gauss à un tube de
champ partant de l'un et arrivant sur l'autre fermé par deux calottes internes aux deux conducteurs.
Les aires découpées sur les deux surfaces sont par définition des éléments correspondants.
Comme le flux de E à travers la surface fermée étudiée est nul, on en déduit que
Deux éléments correspondants portent des charges opposées
c - Théorème de superposition. (admis)
Un état d'équilibre d'un ensemble de conducteurs est défini par la donnée de la charge ou du potentiel pour
chacun d'eux. La superposition de deux états d'équilibres est un nouvel état d'équilibre.
d - Théorème d’unicité.
Supposons un état d'équilibre électrostatique pour lequel on a fixé les potentiels des différents conducteurs.
Supposons le potentiel nul à l'infini. Supposons qu'en dehors des conducteurs on ne trouve éventuellement que
des charges ponctuelles (assimilables à des conducteurs sphériques de très faibles rayons).
Nous rappelons que nous avons admis que la fonction V(M) vérifiant à la fois les conditions aux limites citées et
l'équation de Laplace est unique.
Ceci permet de chercher la solution en faisant dès le départ une hypothèse raisonnable. Si la solution trouvée à la
fin vérifie l'équation de Laplace et les conditions aux limites, c'est LA solution du problème.
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III- Condensateurs.
1 - Définition et relation fondamentale Q = CV.
On nomme condensateur de première espèce, un ensemble de deux conducteurs en état d’influence totale.
Ces conducteurs sont nommés armatures du condensateur. On distingue l'armature interne et l'armature externe.
Un condensateur plan est un condensateur de seconde espèce car les deux armatures y jouent le même rôle.
La géométrie du dispositif fait que toute ligne de champ partant de l'armature interne va sur l’autre armature. Le
théorème des éléments correspondant permet d'affirmer que si l'armature interne porte la charge Q, l'armature
externe porte la charge -Q sur sa surface intérieure. La charge q de sa surface extérieure ne dépend que du
potentiel qui lui est imposé.
-Q
Q
q
Notons Q la charge de l’armature interne.
Du fait de la linéarité des équations de l'électrostatique
on peut écrire
Q=Vint+Vext
Les coefficients  et  ne sont dépendants que de la
géométrie du dispositif. Ils ne dépendent pas des
potentiels.
En examinant le cas particulier Vint =Vext , pour lequel le champ est nul dans l'espace inter armature, on déduit du
théorème de Coulomb que Q=0 dans ce cas. Il en résulte la propriété générale =-. La valeur commune de ces
deux constantes est notée C et s'appelle la capacité du condensateur. (unité le farad, symbole F)
On obtient l’usuel Q = CV. Attention au sens précis des notations : Q représente la charge de l'armature interne
et V la ddp entre les deux armatures avec un signe bien précis: V=Vint-Vext.
2 - Calcul des capacités des 4 condensateurs usuels
Une capacité peut être calculée par une méthode énergétique (déjà vu et rappelé plus loin). On choisit ici une
méthode n'impliquant aucune considération énergétique.
On se donne les potentiels des deux armatures. On détermine le potentiel par résolution de l'équation de Laplace
dans l'espace inter armature associée aux conditions aux limites avant de déduire le champ dans le dispositif de
la relation E=-gradV.
Il reste alors à déduire la densité surfacique de charge du théorème de Coulomb et la charge par intégration.
On termine en calculant Q/V.
On peut préférer utiliser le théorème de Gauss pour calculer Q quand E est connu.
a - Condensateur plan idéal.
Calcul de la capacité :
S
e
x
U
L'équation de Laplace donne V = ax+b = Ux/e
Le champ se déduit de E = -gradV = -Ui/e
La densité surfacique de charge se déduit du théorème
de Coulomb  = Uo/e.
La charge s'obtient en multipliant par la surface
Q = UoS/e d'où la capacité C = oS/e
Cette expression, à mémoriser, donne l’unité usuelle de
o : le farad par mètre.
Calcul de la force exercée par une armature sur une autre par la pression électrostatique.
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L'armature du haut subit une force dirigée vers le bas. Comme toutes les forces élémentaires ont la même
direction la force totale est PS = 2S/2o = (Uo/e)2S/2o= (U2oS/2e2 )
b- Condensateur sphérique.
Laplace : V = A/r+B = UR1R2/ r (R2-R1)
E = -gradV = UR1R2ur/ r2 (R2-R1)
R1
R2
Théorème de Gauss :
Q = 4r2Eo=4 UR1R2/(R2-R1)
C = 4R1R2/(R2-R1)
On prend V2 = 0 et V1 = U.
c- Condensateur cylindrique
R1
Laplace : V = ALnr+B = U Ln(R2/R)/Ln(R2/R1)
E = -gradV = Uur/rLn(R2/R1)
Théorème de Gauss :
Q = 2rhEo=2h U/Ln(R2/R1)
R2
C = 2h/Ln(R2/R1)
On prend V2 = 0 et V1 = U.
d- Condensateur diédrique (exercice).
Profondeur h
O
a
Les équipotentielles sont des plans parallèles aux deux
plaques (prendre le plan médiateur et continuer de
proche en proche) donc V = V().
b
div(E)=0 montre que le champ ne dépend que de r et
est porté par u.
Il vaut donc U/rd'où  = U/r puis
dq = Udrdz/r .
Q = UhLn(b/a)/
C = hLn(b/a)/
Calculons le moment résultant des forces subies par une armature.
L'élément de surface ds = drdz subit la force df = 2drdz/2o dont le moment en O est dM = rdf = 2rdrdz/2o.
Le reste du calcul est sans grand intérêt.
III - Energies
1 - Définition
L’énergie emmagasinée dans un condensateur est l’énergie électromagnétique contenue dans l’espace entre les
deux armatures.
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W =  oE d/2
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2 - Expression en fonction de la charge et de la tension
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Remarquons que div(VE) = VdivE +gradV.E = -E
Choisissons une surface fermée constituée d’un tube de champ et de deux éléments correspondants sur les deux
armatures. Calculons la contribution du volume intérieur à l'énergie en utilisant le théorème d'Ostrogradsky.
2
W =  oE d/2 =  -odiv(VE)d/2 =oVE.dS/2
En utilisant alors le théorème de Coulomb et en étant vigilant sur les orientations on obtient .
2
2
W = QV/2 = CV /2 = Q /2C
Identique à l’expression obtenue en électrocinétique par des méthodes élémentaires.
On obtient ainsi une méthode énergétique de détermination des capacités : on identifie CV 2/2 avec l'énergie
2
électrostatique W =  oE d/2. Cette méthode permet de définir et de calculer la capacité d'une ligne
électrique bifilaire dont les conducteurs ne sont pas dans une situation d'influence totale.
3 - Forces et moments subis par les armatures d'un condensateur.
(complément. A considérer comme un exercice)
Une armature de condensateur est un solide unique.
La puissance des efforts subis par ce solide est donc le comoment des torseurs cinématique et des efforts
extérieurs soit P = F.V + 
Envisageons un déplacement élémentaire d’une armature à partir de la situation d’équilibre et à charge constante,
sans intervention d'un quelconque opérateur. L’énergie du dispositif se conserve car nous négligeons tout
phénomène dissipatif.
Il vient dEp = -dEc = -Pdt (puissance des actions, tant intérieures qu’extérieures au système). Il vient donc
-dEp = F.Vdt + dt
Soient X , Y, Z les coordonnées du centre de masse de l'armature et  les angles repérant la position du
solide autour de ce centre de masse.
-dEp = ( Fx.dX + FydY + FzdZ ) + ( xdydz.d
On en déduit immédiatement que les diverses composantes de la force et du moment sont des dérivées partielles
de l’opposé de l'énergie potentielle, dérivées calculées à charge fixée.
De manière synthétique, la force s'exprime par F= -grad(Ep), le gradient étant calculé en considérant la charge
comme une constante. On retrouve aisément le résultat vu plus haut pour un condensateur plan.
Si le déplacement de l'armature du condensateur est effectué à potentiel constant, c'est que le condensateur est
branché à un générateur extérieur. Le bilan d'énergie est alors compliqué par des termes de nature électrique dus
aux échanges avec le générateur.
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IV - Etude des conducteurs ohmiques en régime permanent. Résistance.
1 - Distinction entre régime statique et régime permanent.
En régime statique, toutes les charges électriques sont au repos dans le référentiel de l'étude. Ce problème, déjà
abordé ci-dessus, est repris au paragraphe suivant.
En régime permanent, on peut observer des courants au sein des conducteurs, mais ces derniers doivent être
indépendants du temps.
2 – Champ et potentiel dans un conducteur ohmique homogène en régime permanent.
Envisageons un conducteur ohmique en régime permanent au repos dans le référentiel du laboratoire.
Il est limité par des surfaces équipotentielles d'une part (en vert) et par une surface traversée par une densité de
courant nulle d'autre part (en noir).
Peut-on décrire simplement le champ électrique E et le potentiel électrique V en tout point de ce conducteur ?
Etablissons pour cela les lois locales vérifiées par E.




Comme le régime est permanent, l’équation de Maxwell Faraday donne rot(E)=0.
E est donc à circulation conservative et peut s’écrire E=-gradV.
L'équation locale de conservation de la charge s'écrit divj+/t=0. Comme le régime est permanent,
div j=0 : Le vecteur densité de courant j est à flux conservatif.
Puisque le milieu considéré est ohmique (avec une conductivité indépendante du point considéré), j = E
impose alors div E =0. E est à flux conservatif.
L'équation de Maxwell - Gauss entraîne= 0: la neutralité électrique est localement vérifiée en tout point
du conducteur qui ne peut porter de charges que sur sa surface.
Traitons alors du potentiel :
Il vérifie la loi de Poisson qui, vu la neutralité locale du milieu, devient V= 0 : La loi de Laplace est valable en
tout point d'un tel conducteur.
Un tel conducteur est limité par des surfaces pour lesquelles soit V = constante (condition de Dirichlet) soit En
= -V/n =0 (condition de Neumann).
La solution d'un tel problème est unique et la répartition du potentiel se calcule donc comme dans le vide avec
les mêmes conditions aux limites. E se déduit ensuite de V par E=-gradV
Conclusion :
Le potentiel V dans un conducteur ohmique en régime permanent vérifie les mêmes lois locales que s'il n'y avait
pas de courant. Il peut être calculé en ignorant la présence de ces derniers. En particulier, les équipotentielles
sont les mêmes que dans un volume vide soumis aux mêmes conditions aux limites.
Le champ E est –gradV. Les lignes de champ (et donc de courant) sont orthogonales aux équipotentielles.
3 - Résistance d’un conducteur ohmique.
Considérons un conducteur ohmique limité de part et d'autre par deux surfaces équipotentielles et latéralement
par un tube de champ de j (donc de E du fait de la loi d’Ohm).
Calculons la différence de potentiel entre faisant circuler le champ E sur une ligne de champ joignant les deux
équipotentielles par exemple: V1-V2 =  E.dl
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Calculons l’intensité traversant le conducteur en calculant le flux de j à travers une équipotentielle quelconque:
I =  j.dS. On utilise la loi d’Ohm locale j = E et on obtient la formule donnant R = (V1-V2)/I.
 E.dl
  E.dS
4- Calculs classiques de résistance.
On les mène, à titre d'exercice, en utilisant les formes particulières des solutions de l'équation de Laplace dans
les symétries correspondantes.
Ecoulement
unidirectionnel de charges
le long de Ox
Ecoulement radial de
courant . Symétrie
cylindrique.
Ecoulement radial
Coordonnées sphériques
Equation de Laplace
d2V(x)/dx2 = 0
d2V(r)/dr2
+1/r (dV(r)/dr) = 0
d2V(r)/dr2
+ (2/r) (dV(r)/dr) = 0
Forme des solutions dans
un conducteur donné
V(x) = Ax+B
V(r ) = A ln( r ) +B
V(r ) = A/ r +B
CL de potentiel imposé
V(x=0) = V1
V(x=L) = V2
D’où A
V(r=R1) = V1
V(r=R2) = V2
D’où A
V(r=R1) = V1
V(r=R2) = V2
D’où A
Champ électrique
-dV/dx)i= -A i
Indépendante de x.
-dV/dr)ur=-r)ur
proportionnel à 1/r
-dV/dr)ur=-/r2)ur
proportionnel à 1/r2
Intensité électrique
traversant une surface
équipotentielle
 = E.dS
ES
Indépendant de x.
2rhE(r)
indépendant de r
4r2E(r)
indépendant de r
Résistance électrique
(V1-V2)/I
Rth = L/S
R = ln(R2/R1)/2H
Rth = (R2-R1)/4R1R2
Rappel sur les associations en série ou en parallèle.
Des calculs analogues ont été menés lors de l'étude des résistance thermiques.
Supposons pour finir la présence d'un champ magnétique extérieur uniforme. Les porteurs de charges subissent
alors une force totale f=q(E+vB)-v qui est nulle en régime permanent (accélération nulle des porteurs de
charges). On constate que la présence d'un champ magnétique extérieur modifie les lignes de champ de j qui ne
sont plus parallèles à celles de E. La loi d'Ohm s'écrit j=[]E du fait de l'anisotropie créée par la présence de B.
Dans certaines géométries, le rapport (V1-V2)/I en est affecté: c'est la magnétorésistance.
On peut aussi décrire l'effet Hall.
5- Lien entre capacité et résistance : RC = .
Démonstration : Pour un condensateur dont le diélectrique possède une résistance de fuite R on peut écrire
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D'une part C = Q/U
D'autre part R = U/I.
Il vient donc, en utilisant le théorème de Coulomb au numérateur et la loi d'Ohm locale sous la forme j=E=E/
au dénominateur
RC = Q/I = oE.dS/  E.dS/o

RC =o
On pourra vérifier la validité de cette loi sur les exemples classiques traités plus haut.
On peut maintenant envisager le calcul, pour un câble coaxial infini, de l’inductance propre par unité de
longueur, de la capacité propre par unité de longueur, de la résistance de fuite par unité de longueur et de la
résistance série par unité de longueur. Ces diverses grandeurs trouvent leur application dans l’étude de la ligne
(équation des télégraphistes).
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