Transcript TD_10 - Un cours de physique en spéciale PC

Spéciale PC
Thème TD Physique
Année 20142015
1
TD n° 10.
Étude d'un faisceau laser.
Donné le : 13 / 11 / 14.
Modèle à onde plane.
On modélise dans un premier temps un faisceau laser
par une onde plane progressive sinusoïdale de pulsation ω se propageant dans le vide et dans le sens des z
croissants. Le champ électrique de l'onde en un point
M de côte z est donné par
→
−
−
e x,
E (M, t) = E0 exp [j(kz − ωt)] →
où E0 est un réel positif et j le complexe de module
unité et d'argument +π/2.
On note E(M, t) = E0 exp [j(kz − ωt)].
1°) Donner la relation entre k et ω (relation de dispersion).
→
−
On dénit le vecteur noté Π appelé vecteur de
Poynting qui s'écrit ici
2°)
→
−
1
−
Π = ε0 cE(M, t).E ∗ (M, t)→
ez
2
conjugué de X. Déterminer
où X ∗ désigne le complexe
D→
−E
sa moyenne temporelle Π pour l'onde étudiée.
3°) Trouver la dimension du vecteur de Poynting.
En déduire que la puissance moyenne qui traverse une
surface S perpendiculaire à l'axe Oz s'écrit
Pm
¨ D E
→
−
−
=
Π .dS →
ez
où z0 est une constante positive appelée longueur de
Rayleigh et E 0 un réel positif.
1°) Montrer que le carré du module de E(r, z) peut
s'exprimer sous la forme
2r2
2
|E(r, z)| = A2 (z) exp − 2
w (z)
p
avec w(z) = w0 1 + z 2 /z02 .
Déterminer la constante w0 (w0 > 0) en fonction de
z0 et λ, puis montrer que
A(z).w(z) = E0 w0
2°) Représenter les graphes des fonctions A(z) et w(z)
pour z ∈ R .
3°) Représenter les graphes du module |E(r, z)| du
champ électrique en fonction de r pour z = 0, puis
pour une valeur xée z > 0. Quelle signication physique peut-on donner à w(z) ?
4°) En pratique, l'amplitude complexe du champ électrique est une fonction lentement variable de r et z ,
ce qui signie qu'à l'échelle de la longueur d'onde λ,
les variations de E(r, z) sont négligeables.
a) Prouver que cela revient à écrire
|∂E/∂r| k |E|
En déduire la densité de puissance JL du laser (puissance moyenne par unité de surface).
4°) Un laser YAG-Nd3+ possède une densité de puissance JL = 4, 0 .104 W.cm−2 . Calculer l'amplitude E0
du champ électrique correspondant.
Compte tenu de l'approximation précédente, on
admet que le vecteur de Poynting de l'onde laser
s'écrit ici encore
→
−
1
2−
Π = ε0 c |E(r, z)| →
e z.
2
Déterminer
laE
densité de puissance de cette onde
D→
− J(r, z) = Π .
Étudions la répartition de J(r, z) dans un plan
perpendiculaire à Oz et situé à la cote z et notons
Jmax (z) la valeur maximale de J dans ce plan. Le
rayon R(z) du faisceau laser à la cote z est déni
comme la valeur de r pour laquelle J = Jmax (z)/e2 ,
où e est la base du logarithme népérien.
a) Déterminer l'expression de ce rayon en fonction de
w(z).
b) Montrer que lorsque z z0 le faisceau a la forme
d'un cône de sommet O et de demi-angle au sommet
β , qui sera exprimé en fonction de w0 et z0 puis en
fonction de w0 et λ. l'angle β est appelé la divergence
du faisceau laser.
c) Application numérique : dans le cas d'un laser
YAG-Nd3+ possédant pour caractéristiques : w0 =
0, 5 mm et λ = 1, 06 µm, déterminer z0 et β en radians, puis en minutes d'arc.
Reproduire le même calcul pour un laser CO2 possédant le même w0 mais de longueur d'onde λ =
10, 6 µm. Conclure.
5°)
Modèle du faisceau gaussien.
Une onde plane étant d'extension innie, elle ne peut
représenter le faisceau du laser dont la section S est
en pratique inférieure à 1 mm2 . Dans un modèle plus
réaliste l'onde électromagnétique du laser (se propageant toujours dans le vide dans le sens des z croissants) peut être représentée comme une onde de prol
gaussien, dont le champ électrique en un point M de
coordonnées cylindriques (r, θ, z) peut être mis sous
la forme
→
−
−
E (M, t) = E(r, z) exp [j (kz − ωt)] →
ex
avec k = 2π
λ , où λ est la longueur d'onde. Dans cette
expression, l'amplitude complexe E(r, z) du champ
électrique dépend de r et de z et s'écrit
E(r, z) = E0
jz0
r2
exp −jk
,
z + jz0
2(z + jz0 )
|∂E/∂z| k |E|
b)
S
2
et
1/ 1