Transcript 短距離斥力を含む Y c N 2体束縛状態

短距離斥力を含む𝑌𝑐 𝑁2体束縛状態
前田沙織 𝐴 , 横田朗 𝐴 , 肥山詠美子 𝐵 , 岡眞 𝐴 ,
東工大理工 𝐴
理研仁科セ 𝐵
Y. R. Liu 𝐶
山東大学 𝐶
目次

イントロダクション・先行研究

Quark Cluster Model repulsion

計算結果、考察

まとめ・展望
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
2
イントロダクション

𝑌𝑁 相互作用については実験データが集まりつつあるが、実験データがわずかなチャー
ムバリオンは、𝑌𝑐 𝑁２体Binding Energyもまだはっきりわかっていない
理論計算方面でのアプローチをしたい

方法（先行研究）:One Boson Exchange Potential
[Y.R.Liu, M.Oka, Phys. Rev. D 85, 014015 (2012)]
ヘビークォークバリオンとメソンの有効ラグラジアン
を用いて、𝜋, 𝜎, 𝜌, 𝜔中間子交換力を計算し、バリオン
とメソンの結合頂点にはform factorを入れてバリオン
間力の短距離部分をカットする。ヘビーバリオンの
channel結合を考慮して、変分法(GEM)を用いて２体散
乱を解く。
Input:cutoff(Λ 𝑐𝑜𝑚 , 𝛼)
𝐽𝑃 = 0+ 3𝑐ℎ𝑎𝑛𝑛𝑒𝑙 , 1+ (7𝑐ℎ𝑎𝑛𝑛𝑒𝑙)
Common cutoff:Λ 𝑐𝑜𝑚
全メソンに同じcutoffを適用
Scaled cutoff:Λ 𝑠𝑐𝑎 = 𝑚𝑚𝑒𝑠𝑜𝑛 + Λ 𝑄𝐶𝐷 × 𝛼
𝑌𝑐 (𝑝′ )
Λ2 − 𝑚2
𝐹 𝑞 = 2
Λ − 𝑞2
𝑌𝑐 (𝑝)
メソンの質量に応じて別々のcutoffを適用
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
3
Channel Coupling
チャームバリオンはΛ 𝑐 、Σ𝑐 間の質量差が大きい
が、Σ𝑐 、Σ𝑐∗ 間については差が小さい。
64[𝑀𝑒𝑉]
12
6
よって、状態数が多く束縛しやすいΣ𝑐∗ 𝑁も考慮
に入れたchannel couplingを計算するのが望ま
しい。
(c,u,u)(c,u,d)
(c,d,d)
Σ𝑐 2454
(c,u,u)(c,u,d)
(c,d,d)
168
[𝑀𝑒𝑉]
2
全角運動量、パリティを変えない範囲の
channel couplingは以下のようになる。
6
(c,u,d)
1
2
3
𝐽 𝑃 = 0+
Λ𝑐 𝑁( 1𝑆0 )
Σ𝑐 𝑁( 1𝑆0 )
Σ𝑐∗ 𝑁( 5𝐷0 )
𝐽 𝑃 = 1+
Λ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐∗ 𝑁( 3𝑆1 ) Λ𝑐 𝑁( 3𝐷1 ) Σ𝑐 𝑁( 3𝐷1 ) Σ𝑐∗ 𝑁( 3𝐷1 ) Σ𝑐∗ 𝑁( 5𝐷1 )
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
5
Λ 𝑐 2286
Channels
RCNP研究会 2013 7/27
4
Σ𝑐∗ 2518
7
4
Gaussian Expansion Method
[E. Hiyama, Y. Kino, and M. Kamimura,
Prog. Part. Nucl. Phys., 51, 223-307, (2003)]
ハミルトニアンの行列要素と対角化、固有値と波動関数導出の評価を、Gaussianの
重ねあわせによる基底関数を用いた変分法で計算を行う。
𝐻 − 𝐸 𝜓𝑙𝑚 𝑟 = 0
𝑛𝑚𝑎𝑥
𝐺
𝐺
𝑐𝑛𝑙 𝜙𝑛𝑙𝑚
(𝑟) = 𝜙𝑛𝑙
𝑟 𝑌𝑙𝑚 𝑟
𝜓𝑙𝑚 𝑟 =
𝑛=1
3
𝑁𝑛𝑙 = (
2𝑙+2 (2𝜈𝑛 )𝑙+2
𝑛𝑚𝑎𝑥
𝜋 2𝑙 + 1 ‼
1
)2
𝜈𝑛 =
𝐺
𝜙𝑛𝑙
𝑟 = 𝑁𝑛𝑙 𝑟 𝑙 𝑒 −𝜈𝑛 𝑟
1
𝑟𝑛 2
𝑟𝑛 = 𝑟1 𝑎𝑛−1
𝐺
𝜙𝑛𝑙𝑚
[𝐻 − 𝐸] 𝜓𝑙𝑚 = 0
𝐺
𝐺
{ 𝜙𝑛𝑙𝑚
𝐻 𝜙𝑛𝐺 + 𝐸 𝜙𝑛𝑙𝑚
𝜙𝑛𝐺 } = 0
𝑛=1
𝑛𝑚𝑎𝑥
𝐻𝑛𝑛′ − 𝐸𝑁𝑛𝑛′ 𝑐𝑛′𝑙 = 0
𝑛=1
任意パラメーター：𝑛𝑚𝑎𝑥 , 𝑟1 , 𝑟𝑚𝑎𝑥 = 𝑟1 𝑎𝑛𝑚𝑎𝑥 −1 , 𝑙
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
5
2
先行研究の結果
𝐽𝑃 = 0+ common cutoff
V𝜌
束縛エネルギー
V
V𝜋
𝜎
ポテンシャルの期待値
Cutoff は、遠距離力の短距離の振る舞いを制限する外部パラメーター
であり、近距離については不定性が大きい
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚

→では近距離を記述するにはどうするべきか？
Cutoffが800MeVを超えると緩く束縛し始
める

Cutoffが大きいほど、𝜮𝒄 𝑵、𝜮∗𝒄 𝑵のchannel
Λ𝑐 𝑁
couplingの効果が大きくなる

運動エネルギーと同程度𝜎ポテンシャルが
強く、次いで𝜋, 𝜌も引力を持つ
Channel毎の確率
テンソル力が大きく関連している
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
Σ𝑐 𝑁
Σ𝑐∗ 𝑁
6
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
Quark Cluster Model repulsion
[M.Oka, Nuclear Physics A 881 (2012) 6–13]

Quark Cluster Model
バリオンを3 quark clusterとみなして考えるモデル。
b
clusterが重なるほど近距離であるときに、6 quark状態となり
quark exchangeが起こる。
r
QCMで与えられるバリオン間短距離相互作用に対しGaussian
で近似を行い、相互作用レンジはバリオン中のquark波動関
数の広がりbで与えられると仮定する。
𝑉𝑄𝐶𝑀 =
𝑟2
−
𝑉0 𝑒 𝑏2
𝑏:バリオンの中のquarkの閉じ込め半径
モデルにquark exchangeを含むため、スピン、電荷、粒子を
変えるchannel coupling が重要となる。
（𝑉0 :channel coupling 行列）
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
7
Quark Cluster Model repulsion
[M.Oka, Nuclear Physics A 881 (2012) 6–13]
𝑉𝑄𝐶𝑀 𝑅 = 0 = 𝑉0
𝑉0 がわかればよい。6 quark状態の波動関数は同じ軌道であり、
3 quark状態（バリオン）も同様であるため、求めたい𝑉0 は
𝑉0 = (0𝑠)6 𝐻 (0𝑠)6 − 2 (0𝑠)3 𝐻 (0𝑠)3
から導出できる。ここでquark exchangeに関するハミルトニアンHは
𝐻 = 𝐾 + 𝑉𝑆𝐼 + 𝑉𝑆𝐷
𝜆𝑐𝑖 𝜆𝑗𝑐
𝑉𝑆𝐼 = 𝑣0
𝑖<𝑗
(𝜆𝑐𝑖 ∙ 𝜆𝑗𝑐 )(𝜎𝑖 ∙ 𝜎𝑗 )
𝑉𝑆𝐷 = 𝑣𝑠
𝑖<𝑗
𝑣𝑠 =
𝑚Δ − 𝑚𝑁 300
=
[𝑀𝑒𝑉]
16
16
となるが、K, 𝑉𝑆𝐼 の項は (0𝑠)6 𝐻 (0𝑠)6 − 2 0𝑠
3
𝐻 0𝑠
3
= 0となるので
𝑉𝑆𝐷 を求めればよい。
−
𝑖<𝑗
4
(𝜆𝑐𝑖 ∙ 𝜆𝑗𝑐 )(𝜎𝑖 ∙ 𝜎𝑗 ) = 𝒪𝐶𝑀𝐼 = 8𝑁 + 𝑆 𝑆 + 1 + 2𝐶2 𝑆𝑈 3
3
1
𝐶2 𝑆𝑈(𝑔) =
2
RCNP研究会 2013 7/27
𝑖
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
𝑐
− 4𝐶2 𝑆𝑈 6
𝑁2
𝑓𝑖 𝑓𝑖 − 2𝑖 + 𝑔 + 1 −
𝑔
8
𝑐𝑠
Quark Cluster Model repulsion
[M.Oka, Nuclear Physics A 881 (2012) 6–13]
実際には、 spin operatorには質量項がかかる
𝜎𝑞
𝜎𝑞 →
𝑚𝑞
よってCharm quarkは重いため、spin operatorは考えず無視することができる。
𝑚𝑢 , 𝑚𝑑 ~300𝑀𝑒𝑉 < 𝑚𝑠 ~500𝑀𝑒𝑉 < 𝑚𝑐 ~1.5𝐺𝑒𝑉
𝜎𝑞
~0
𝑚𝑞
以上の計算より、𝑌𝑐 𝑁系での𝑉0 は以下のようになる。
𝐽 𝑃 = 0+
𝚲𝒄 𝑵 → 𝚲𝒄 𝑵
𝚺𝒄 𝑵 → 𝚺 𝒄 𝑵
𝑉0 [𝑀𝑒𝑉]
300
100
𝐽 𝑃 = 𝟏+
𝚲𝒄 𝑵 → 𝚲𝒄 𝑵
𝚺𝒄 𝑵 → 𝚺𝒄 𝑵
𝚺𝒄∗ 𝑵 → 𝚺𝒄∗ 𝑵
𝚺𝒄 𝑵 → 𝚺𝒄∗ 𝑵
𝑉0 [𝑀𝑒𝑉]
300
166.67
108
−24
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
9
Formulation

Interaction : OBEP + QCM repulsion

Input:cutoff(Λ𝑐𝑜𝑚 [𝑀𝑒𝑉]),𝑏 = 0.6,0.5 [𝑓𝑚]

Channel:𝐽𝑃 = 0+ 3𝑐ℎ𝑎𝑛𝑛𝑒𝑙 , 1+ (7𝑐ℎ𝑎𝑛𝑛𝑒𝑙)
Channels
1
2
3
4
5
6
7
𝐽 𝑃 = 0+
Λ𝑐 𝑁( 1𝑆0 )
Σ𝑐 𝑁( 1𝑆0 )
Σ𝑐∗ 𝑁( 5𝐷0 )
𝐽 𝑃 = 1+
Λ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐∗ 𝑁( 3𝑆1 ) Λ𝑐 𝑁( 3𝐷1 ) Σ𝑐 𝑁( 3𝐷1 ) Σ𝑐∗ 𝑁( 3𝐷1 ) Σ𝑐∗ 𝑁( 5𝐷1 )
目的
• Binding energy, Binding energyのポテンシャルごとの
内訳, Channel Probability, 波動関数をそれぞれ比較
し、repulsive interactionの効果を考察する
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
10
Result of 𝐽𝑃 = 0+ (with common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚 )

Binding Energy, Probability
Λ𝑐 𝑁
Σ𝑐 𝑁
束縛エネルギー
Channel毎の確率
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
•
•
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
Repulsion により束縛エネルギーが小さくなっているが、一方で
cutoff 依存性が依然高い
𝚲𝒄 𝑵に強いrepulsion がかかっているため𝚲𝒄 𝑵channel は弱くなり、
代わりにΣ𝒄 𝑵channel の効果が強くなる
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
11
Σ𝑐∗ 𝑵
Result of 𝐽𝑃 = 0+ (with common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚 )

ポテンシャルごとの期待値
•
V𝑄𝐶𝑀
V𝜌
V𝜋
V𝜎
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
•
OBEPのみのときと同
様、運動エネルギー
と同程度の引力を持
つ𝜎とテンソル力が大
きい𝜋, 𝜌のポテンシャ
ル部分によって束縛
している。
一方、repulsionによ
る効果は運動エネル
ギーの半分以下の大
きさであり、かなり
弱い斥力となってい
る
12
Result of 𝐽𝑃 = 0+ (with common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚 )

Wave function (Λ𝑐𝑜𝑚 = 1.05𝐺𝑒𝑉)
•
No repulsion
B.E.:83.78[𝑀𝑒𝑉]
+ Repulsion
B.E.:9.91[𝑀𝑒𝑉]
Λ𝑐 𝑁
Σ𝑐 𝑁
Σ𝑐∗ 𝑵
•
Λ 𝑐 𝑁channel が、
Binding energyが小さ
くなることで強く抑
えられている
他の波動関数につい
ては値は小さくなっ
ているが、threshold
がΛ 𝑐 𝑁に対して大き
いため、外に広がる
波動関数にはならな
い
Common
cutoff
radius
𝑟 Λ𝑐𝑜𝑚
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
13
Result of 𝐽𝑃 = 1+ (with common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚 )

Binding Energy, Probability
Σ𝑐 𝑁( 3D1 )
Λ 𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐∗ 𝑁( 3𝑆1 )
Λ 𝑐 𝑁( 3𝐷1 )
Σ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐∗ 𝑁( 5𝐷1 )
束縛エネルギー
Channel毎の確率
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
•
•
•
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
𝐽𝑃 = 0+ と同様、repulsionにより束縛エネルギーは弱くなる
𝚲𝒄 𝑵( 3𝑆1 )channel は弱くなり、対照的にΣ𝒄 𝑵( 3𝑆1 )channel の効果は
𝚲𝒄 𝑵( 3𝑆1 )を上回るほど強くなる
Σ𝒄 𝑵( 3𝑆1 )以外にも、Σ𝒄 𝑵( 3𝐷1 )、Σ𝑐∗ 𝑵( 3𝑆1 )、Σ𝑐∗ 𝑁( 5𝐷1 )、𝚲𝒄 𝑵( 3𝐷1 )
も強くなっているが、Σ𝑐∗ 𝑵channelについては最終的に他のchannel
の効果によって小さくなっている
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
14
Result of 𝐽𝑃 = 1+ (with common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚 )

ポテンシャルごとの期待値
•
V𝑄𝐶𝑀
•
V𝜋
V𝜌
基本的には𝐽𝑃 = 0+ の
場合と同様、𝜎, 𝜋, 𝜌の
引力で束縛している
Repulsive potentialの
期待値は𝐽𝑃 = 0+ の場
合と比較するとわず
かに小さくなってい
る
V𝜎
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
15
Result of 𝐽𝑃 = 1+ (with common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚 )

Wave function (Λ𝑐𝑜𝑚 = 1.05𝐺𝑒𝑉)
•
No repulsion
B.E.:73.51[𝑀𝑒𝑉]
+ Repulsion
B.E.:5.53[𝑀𝑒𝑉]
Λ 𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
•
Σ𝑐∗ 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
•
radius 𝑟
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
Σ𝑐 𝑁 3D1 , Σ𝑐∗ 𝑁 5𝐷1 ,
Λ 𝑐 𝑁 3𝐷1 , Σ𝑐∗ 𝑁( 3𝐷1 )
channelについては波
動関数が微小である
ため省略する
Λ 𝑐 𝑁( 3𝑆1 ), Σ𝑐∗ 𝑁( 3𝑆1 ),
Σ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )の順で波動
関数が強く、D波の効
果はその後に入る
𝐽𝑃 = 0+ と同様、
Λ 𝑐 𝑁( 3𝑆1 )channelが
Binding energyが小さ
くなることで強く抑
えられている
16
まとめ

repulsive potentialを入れた場合、 Λ𝑐𝑜𝑚 = 1.0𝐺𝑒𝑉近傍で
𝑌𝑐 𝑁2体系が束縛する

𝑌𝑐 𝑁2体系における𝛴𝑐 𝑁、𝛴𝑐∗ 𝑁 channel couplingの重要性が
repulsive potentialによりさらに示された

強いrepulsionを入れたΛ𝑐 𝑁は波動関数が遠くまで広がってい
るが、他のchannelについては広がる効果が見られない。

QCMから得られる斥力が比較的弱いため、cutoff依存性はま
だ強い。
同じ方法によるNN系の計算を行い、cutoff
を決めるなどにより、模型の予言力を高め
る必要がある。
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
17
問題解決に向けて

[MeV]
NN binding energy (1+ :Deuteron)
1
3
𝑆0 : ~0 𝑀𝑒𝑉
𝑆1 − 3𝐷1 : 2.22 𝑀𝑒𝑉

Interaction : OBEP + QCM repulsion

Input:cutoff(Λ𝑐𝑜𝑚 [𝑀𝑒𝑉]),𝑏 = 0.6 [𝑓𝑚]

Channel:𝐽𝑃
=
0+
1𝑐ℎ𝑎𝑛𝑛𝑒𝑙
Channels
1
𝐽 𝑃 = 1+
3
0
𝑆0 : 0 𝑀𝑒𝑉
3
𝑆1 − 3𝐷1
2.2 𝑀𝑒𝑉
, 1+ (2𝑐ℎ𝑎𝑛𝑛𝑒𝑙𝑠)
1
𝐽 𝑃 = 0+
1
2
𝑆0
𝑆1
3
𝐷1
目的
• 同様のモデルでNNを計算することにより実験値を再現
するパラメーターを決定し、そのパラメーターを用い
て再計算を行うことで𝑌𝑐 𝑁の相互作用を考察する
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
18
Back up
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
19
YcN One Boson Exchange Potential
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
20
先行研究の結果
𝐽𝑃 = 1+ common cutoff
束縛エネルギー
V𝜌
ポテンシャルの期待値
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚

V𝜎
V𝜋
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
𝐽𝑃 = 0+ と同様の振る舞いを見せる
Λ 𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
21
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
Result of 𝐽𝑃 = 0+ (with scaled cutoff 𝛼)

Binding Energy, Probability
束縛エネルギー
Channel毎の確率
cutoff parameter 𝛼
•
•
cutoff parameter 𝛼
Scaled cutoff:Λ 𝑠𝑐𝑎 = 𝑚𝑚𝑒𝑠𝑜𝑛 + Λ 𝑄𝐶𝐷 × 𝛼 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡: 𝛼
Common cutoffに比べて確率が急激に変わる
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
22
Result of 𝐽𝑃 = 0+ (with scaled cutoff 𝛼)

ポテンシャルごとの期待値
•
V𝑄𝐶𝑀
•
V𝜋
V𝜌
質量の軽い𝜋に対する
cutoffが小さくなるた
め、V𝜋 が斥力となっ
ている
𝜎より𝜌が重いため
cutoffが大きくなり、
𝛼が大きいところでV𝜌
がV𝜎 よりも大きく
なっている
V𝜎
cutoff parameter 𝛼
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
23
Result of 𝐽𝑃 = 1+ (with scaled cutoff 𝛼)

Binding Energy, Probability
Λ 𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
Σ𝑐 𝑁( 3𝑆1 )
束縛エネルギー
Channel毎の確率
cutoff parameter 𝛼
•
•
cutoff parameter 𝛼
𝐽𝑃 = 0+ と同様、repulsionにより束縛エネルギーは弱くなる
Common cutoffで見られたΣ𝒄 𝑵( 3𝑆1 )と𝚲𝒄 𝑵( 3𝑆1 )の確率の逆転は
Scaled cutoffでは見られない
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
24
Result of 𝐽𝑃 = 1+ (with scaled cutoff 𝛼)

ポテンシャルごとの期待値
•
基本的な振る舞いは
𝐽𝑃 = 0+ と同様
V𝑄𝐶𝑀
V𝜋
V𝜌
V𝜎
cutoff parameter 𝛼
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
25
Result of 𝐽𝑃 = 0+ (with 𝑏 = 0.5, Λ𝑐𝑜𝑚 )

Probability,ポテンシャルごとの期待値
V𝑄𝐶𝑀
V𝜌
Channel毎の確率
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
•
V𝜎
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
𝑏 = 0.6のときとほぼ同様の振る舞いを示す
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
26
V𝜋
Result of 𝐽𝑃 = 1+ (with 𝑏 = 0.5, Λ𝑐𝑜𝑚 )

Probability,ポテンシャルごとの期待値
V𝑄𝐶𝑀
V𝜌
V𝜎
Channel毎の確率
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
•
Common cutoff Λ𝑐𝑜𝑚
𝑏 = 0.6のときとほぼ同様の振る舞いを示す
RCNP研究会 2013 7/27
前田沙織 /Tokyo Institute of Technology
27
V𝜋