Transcript 2. Талесова теорема

KAKO JE TALES POBEDIO PIRAMIDU
UPOZNAJMO KEOPSOVU PIRAMIDU
Na Grčkom, “piramida” znači “ kolačić od
meda “
Nalazi se u Gizi, blizu Kaira ( Egipat )
Predstvalja jedno od sedam Svetskih čuda
Zidana je pre 4500 godina, da bude
grobnica faraona Keopsa i njegove žene.
grobnica
100 000 ljudi je gradilo
piramidu punih 20 godina
•Visoka je 147 metara
•Tokom vremena urušila se za
oko 10 metara
•Do izgradnje Ajfelovog tornja u
Parizu,smatrana je najvišom
građevinom na Svetu
•U piramidu je uzidano 2 300 000 kamenih
blokova od kojih svaki ima masu od 2.5 t
•Od tih blokova bi se mogao sagraditi zid
visine 60cm koji bi dva puta opasao Zemlju
Baza Keopsove piramide je kvadrat čija je
stranica duga 233m,
tako da piramida
pokriva površinu od
skoro 5.3 hektara
To je površina velika kao površina 10
fudbalskih terena.
•Tales je odlučio izmeriti kolika je
visina te piramide!!!
U ono vreme to je bilo
mnogo složenije nego danas.
Uviđate li kolikog je
ogromnog “protivnika”
imao Tales pred sobom ?
Upoznajmo Talesa iz Mileta
•Živeo je od 624. do
542.g.pre nove ere
•Smatra se “ocem grčke
filozofije”
•Jedan je od “Sedam mudraca”
•Matematičar
•Astronom
•Filozof
•Graditelj
•Političar
•Trgovac
•Ugledni građanin
Mileta
MILET
GIZA
Došao je u Egipat da bi izmerio ono
što se
smatralo neizmerljivim !!!
Tales je pomoću užeta izmerio visinu piramide !
Kako ???
Zaključio je :
“Kada dužina moje senke bude jednaka mojoj visini,
tada će i dužina senke piramide biti jednaka visini
piramide!”
Sunčevi zraci su paralelni
piramida
tales
visina
piramide
=
dužina
senke
piramide
talesova
visina
=
dužina
talesove
senke
Ali, dao nam je i “recept”za merenje visine
piramide
u bilo koje doba dana :
-Koliko je puta moja visina veća (ili manja) od
dužine moje senke, toliko puta je i visina piramide
veća (ili manja) od dužine njene senke.
sunčevi zraci su paralelni
piramida
tales
visina
senke
piramide
:
dužina
senke
piramide
=
visina
talesove
senke
:
dužina
talesova
senke
Dakle, ako uzmemo uže dugačko koliko je duga Talesova
senka,i ako pomoću njega izmerimo dužinu piramide,(tj.
vidimo koliko je puta senka piramide duža od Talesove
senke), nakon toga trebamo uzeti uže dugo koliko je Tales
visok, i tačno isti broj puta to uže stane u visinu piramide !
Na taj način je Tales ,samo pomoću užeta izmerio visinu
Keopsove piramide u Gizi.
sunčevi zraci su paralelni
piramida
tales
Ali.....!!!! Nije za Talesa sve bilo tako jednostavno.
Problem koji se pojavio je bio kako izmeriti dužinu
senke piramide ,pošto se jedan njen deo trebao
meriti “unutar” piramide.
Dužina senke piramide
Naravno, Tales je rešio i taj problem, možda
baš ovako.
Kako se pomera senka piramide (zbog pomeranja sunca),
tako se pomera linija (crna isprekidana linija) koja određuje
dužinu senke.
Sunčev zrak
U trenutku kad ta linija bude paralelna sa
ivicom baze,
deo senke koja je unutar piramide
biće dug kao pola ivice baze,
dok,drugi deo lako merimo.
Paralelne !
Tales je morao još mnogo detalja razraditi da bi
tu senku tačno izmerio, te da bi nakon toga iz :
- svoje visine
- dužine svoje senke
- dužine senke piramide
.....izračunao visinu piramide.
I uspeo je !!!
Tako je Tales pobedio velikog “protivnika” .
1 0
:
Iz ovog zanimljivog događaja proizašla je
jedna od najznačajnijih teorema u
matematici –
TALESOVA TEOREMA
TALESOVA TEOREMA
Ako dve prave
presečemo sa dve paralelne prave
onda je :
BD:AB = CE:AC
BD:AD = CE:AE
E
D
BD:CE = AB:AC
BD:CE = AD:AE
A
B
C
p q
Talesovu teoremu možemo rečima iskazati i ovako :
- Ako na krak proizvoljnog ugla nanesemo jednake duži,
i iz njihovih krajeva povučemo paralelne prave koje
seku drugi krak ugla,
tada se i na tom kraku dobijaju međusobno podudarne
duži
p3
p2
OA=AB=BC
p1 p2 p3
p1
C1
B1
A1
OA1=A1B1=B1C1
O
A
B
C
U slučaju da duži iz prethodnog primera nisu podudarne
Talesova teorema se iskazuje ovako :
-Ako se dve prave preseku paralelnim pravama,
onda je razmera ma kojih dveju duži jedne prave
jednak razmeri odgovarajućih duži druge prave.
Pr.:
AB = A1B1
CD
C1D1
AB=BC=CD
D1
A1 B1
A
C1
B
C
D
Napišite u sveske još nekoliko razmera sa slike !!!!!
Rešimo sada jedan zadatak (zapiši u svesku).
Duž AB ,dužine 9cm, podeli na dva dela, tako da
su oni proporcionalni dužima CD =4cm i EF=3cm.
Rješenje
-
iz proizvoljne tačke O nacrtajmo polupravu p1
na polupravu p1 nanesimo duž AB=9cm
iz tačke O nacrtajmo proizvoljnu polupravu p2
na polupravu p2 nanesimo duži CD=4cm i EF=3cm
- kroz krajeve duži EF i AB povucimo polupravu p3
- kroz kraj duži CD povucimo polupravu p4 paralelnu sa p3
-izmerimo x
p4
p2
p3
- Izmerimo y
O
x
y
AB=9cm
Zapišimo izmerene dužine duži x i y.
P1
Uz pomoć Talesove teoreme proverimo :
CD
x
=
y
EF
x
AB
=
CF
CD
Zadatak :
Ako su data dva slična trougla( slika), pomoću Talesove
teoreme odredi stranice a1 i b1 !!!
8cm
a1
12cm
4cm
6cm
b1
hvala