二次方程式の解の存在範囲

問題 𝑥 についての 2 次方程式 𝑥 2 + 2𝑥 − 𝑎 + 7 = 0 ・・・・①、 𝑥 2 + 2 𝑎 − 1 𝑥 + 𝑎 2 − 5𝑎 + 25 = 0 ・・・・② がある。 (1) ①が実数解をもつとき 𝑎 ≥ である。 (2) ①と②の少なくとも一方が実数解をもつとき 𝑎 ≥ (3) ①と②がともに実数解をもたないような自然数 𝑎 の値は である。 個ある。

(1) 実数解をもつ ⇒ 判別式がゼロ以上 2 2 − 4 ∙ 1 ∙ (−𝑎 + 7) ≥ 0 4 + 4𝑎 − 28 ≥ 0 𝑎 ≥ 6 ∴ 6 (2) ①が実数解をもつ条件がわかった。②が実数解を持つ条件も求めてみる。 {2 𝑎 − 1 } 2 − 4 ∙ 1 ∙ (𝑎 2 − 5𝑎 + 25 = 0) ≥ 0 12𝑎 − 96 ≥ 0 𝑎 ≥ 8 ①式も②式も解を持たない ①式だけが解をもつ ①式と②式の両方が解をもつ 6 8 少なくとも一方が解を持つ範囲を聞かれているので どちらか一方、または両方が解を持てばよい。 ∴ 6

(3) ともに実数解を持たないのは 𝑎 ≤ 6 の時。 0 6 自然数（正の整数） よって１，２，３，４，５の５つ ∴ 5