Transcript プレゼン用資料⑤
数 学 の か た ち 第５講 パスカルの三角形 早苗 雅史 [email protected] 数学とソフトウエア www.nikonet.or.jp/spring/sanae/ 1 数列の宝庫 パスカルの三角形 (a b) n の展開式 n 1 ab n2 a2 2ab b2 n3 a 3a b 3ab b n4 a 4a b 6a b 4ab b 3 4 2 3 2 2 2 3 3 4 2 数列の宝庫 パスカルの三角形 1 1 1 1 1 1 1 6 2 3 4 5 1 1 3 6 1 4 10 10 15 20 15 1 5 1 6 1 3 数列の宝庫 パスカルの三角形 自然数 三角数 1 1 四面体数 1 1 1 1 1 6 2 3 4 5 1 1 3 6 1 4 10 10 15 20 15 1 5 1 6 1 4 数列の宝庫 パスカルの三角形 ① フィボナッチ 1 ① ② 数列 ③ 1 1 ⑤ ⑧ 1 2 1 ⑬ 1 1 1 1 4 5 6 3 3 6 1 4 10 10 15 20 15 1 5 1 6 1 5 数列の宝庫 パスカルの三角形 1 20 1 2 21 1 4 22 8 2 1 3 1 16 2 4 1 32 2 5 64 2 6 1 1 6 2 3 4 5 1 1 3 6 1 4 10 10 15 20 15 1 5 1 6 1 1 11 0 11 11 1 121 11 2 1331 11 3 14641 11 4 161051 11 5 1771561 11 6 6 数列の宝庫 パスカルの三角形 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1 7 自然数の余りで作るパスカルの三角形 ２で割った余り（２の剰余系） 自己相似な図形＝フラクタル図形 8 自然数の余りで作るパスカルの三角形 ５で割った余り（５の剰余系） ⇒パスカルの三角形（リンク） 9 シルピンスキーのギャスケット 1．ある点から反時計回りに60°回転して一定距離の前進 2．次に時計回りに60°回転して同じ距離だけ前進 3．最後にまた時計回りに60°回転して同じ距離だけ前進 ⇒パスカルの三角形（リンク） 10 パスカルの三角形 ３次元への拡張 (a b c) n の展開式 n 1 abc n2 a b c 2ab 2bc 2ca n3 n4 2 2 2 a 3 b3 c 3 3a 2 b 3ab 2 3b 2 c 3bc 2 3c 2 a 3ca 2 6abc 4 4 4 3 3 3 a b c 4 a b 4ab 4bc 4b3c 4a3c 4ac3 6a 2b2 6b2c 2 6a 2c 2 12a 2bc 12ab2c 12abc 2 11 パスカルの三角形 ３次元への拡張 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 n=1 n=2 3 3 3 6 3 1 3 3 1 n=3 1 1 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1 n= 5 4 n= 4 12 パスカルの三角形 1 3 1 3 2 3 1 1 6 2 3 2 3 3 1 1 1 （○は n = 2） 4 1 6 3 4 4 3 12 3 1 1 12 6 6 4 3 12 3 6 3 4 （○は n = 3） ３次元への拡張 4 1 10 6 1 5 4 1 1 20 12 5 4 10 6 10 30 30 10 4 12 12 4 5 20 30 20 5 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 （○は n = 4） 13 パスカルの三角形 ３次元への拡張 14 道筋の問題 Ｂ １ ５ １５ ３５ ７０ １２６ ２１０ １ ４ １０ ２０ ３５ ５６ ８４ １ ３ ６ １０ １５ ２１ ２８ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ Ａ １ １ １ １ １ １ 15 道筋の問題 Ｂ １５ ４５ ９０ １５ ３０ ４５ １５ １５ １ ３ ６ １０ １５ １ ２ ３ ４ ５ Ａ １ １ １ １ Ｃ 16 道筋の問題 Ｂ １ ５ １５ ２９ ５２ ９０ １５０ １ ４ １０ １４ ２３ ３８ ６０ １ ３ ６ ４ ９ １５ ２２ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ Ａ １ １ １ １ １ １ 17 道筋の問題 パスカルの三角形 １ ２ １ ４ ５ １ １ ６ ６ １ ４ １０ １０ １６ １ ３ ３ １ １ １ ２０ １ ５ １５ １ ６ １ 18