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2011年1月28日
第4章 空間解析
8. 空間補間(応用)
井上 亮
[email protected]
地理情報科学教育用スライド ©井上亮
ここで学ぶこと
• 空間補間(空間内挿)
– 最近隣の観測点の値を利用した補間
– 近隣の観測点の値の平均を利用した補間
• 近隣点の観測値の単純平均
• 三角網分割(Triangulation)を用いた加重平均
• 逆距離による加重平均(IDW)
– 放射基底関数(Radial-basis function)を利用した補間
・スプライン補間
– バリオグラムを利用した補間(クリギング)
について学びます.
地理情報科学教育用スライド ©井上亮
空間補間とは
限られた地点(観測点)において観測された
空間的事象の値から,観測されていない
任意地点(補間点)における値を推定すること.
(例)アメダスの気温から,自宅の気温を知りたい.
観測点A
18℃
?℃
観測点C
19℃
観測点B
20℃
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観測点D
22℃
空間補間を行う上での前提
前提
空間補間を行う対象の空間情報には,
空間的自己相関が存在する
→ 「距離の近い点は,類似性が高い」
より近い点における情報が
空間補間を行う時により参考になる
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最近隣点データを利用した空間補間
最近隣点法:最も近い観測点の値を用いて
補間点における補間値とする方法.
4章3の「ボロノイ分割」を活用して領域分割しておけば,簡単に
任意地点の補間値を知ることができる.
観測点B: zb
観測点A: za
za
zb
zc
観測点C: zc
zd
観測点D: zd
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最近隣点データを利用した空間補間
<性質> ボロノイ領域の境界で補間値は不連続.
この辺りでは
(za+ zc)/2
ぐらいが
補間値として
自然では?
za
zb
zc
zd
複数の観測点の情報を平均して
空間補間したほうがよいだろう.
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近隣点の単純平均
• n番目までの近隣観測点の平均値で空間補間
例えば,2番目に近い点までの情報を用いるとすると…
最も近い点 B
2番目に近い点 A
B
B-A
A-B
B-D
A
B-C
A-C
C-A
C
D-B
C-B
D
C-D
D-C
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近隣点の単純平均
<性質>
観測点の近傍の補間点でも観測値と異なる値に
なってしまう. →単純平均による内挿には限界
(za+ zb)/2
(zb+ zc)/2
A
B
(zb+ zd)/2
(za+ zc)/2
(zc+ zd)/2
C
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D
三角網分割を用いた加重平均
• 補間点の”近隣”の3観測点を用いて線形補間.
観測点を母点として作成された
不整形三角網(TIN: Triangular Irregular Network)で領域を分割,
三角形毎に異なる線形の式で補間する.
1
B
zb
α
A
za
補間値 z*=za+α (zb-za)+β(zc-za)
β
1
C
zc
D
zd
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三角網分割を用いた加重平均
空間補間を行うのに,どちらの三角網がふさわしいか?
B
zb
A
za
C
zc
B
zb
A
za
D
zd
• 三角網は最小角最大の基準で作られた
Delaunay三角形分割で作成
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C
zc
D
zd
三角網分割を用いた加重平均
補間点の座標(x, y)→補間値 z*を求める
補間点を含む三角形
頂点座標(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)
頂点での値 z1, z2, z3
頂点と補間点が(x, y, z)空間において同一平面上にあることから
x  x2
y  y2 z *  z 2
平面線形方程式 x0  x2 y0  y2 z0  z2  0 を解けばz*が求まる
x1  x2 y1  y2 z1  z2
<性質>
• 観測点では観測値に一致
• 三角形の境界部分でも連続
• 三角形毎に異なる線形式で補間するため,
三角形の境界ではスムーズにならない(1階微分は不連続)
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逆距離を用いた加重平均
逆距離加重平均法 (IDW: Inverse Distance Weighted Average)
補間点から観測点までの距離に関する重みを付けて,
加重平均する方法.
(例) 距離2の逆数で重み付け
補間値z*=
zada-2 +zbdb-2 +zcdc-2 +zddd-2
da-2 +db-2 +dc-2 +dd-2
B
A
db
da
dd
dc
C
観測点までの距離の逆数(逆距離)を
重み付けした加重平均を用いることにより,
近くの観測値を大きく評価した補間が可能.
D
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逆距離を用いた加重平均
位置ベクトルsiの観測点iにおける観測値ziを用いて (ただしi=1…N)
位置ベクトルsの点の補間値 z*を求める
N
z* 
 w  d  s, si   zi
i 1
N
 w  d  s, s  
i 1
i
ただし,
d  s, si  :補間点と観測点kの距離
w

:重みの関数
通常 d  , e  d が用いられる
<性質>
• 観測点では観測値に一致
• 観測点以外では1階微分も連続
• 観測点では1階微分は不連続
• 適切な重みを定める基準が存在しない
(距離減衰パラメータαの設定で補間値が大きく変わる)
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放射基底関数を利用した補間
放射基底関数(Radial-basis function)とは
中心 c からのユークリッド距離のみに依存する関数
  s, c     s  c

放射基底関数の足し合わせ
N
z  s    
i  s  si
i 1

で位置ベクトルsiの観測点iで得られた観測値ziを用いて表現し,
観測点以外における補間値を算出する.
放射基底関数の1つである,スプライン関数を使った補間法を紹介
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スプライン関数による補間
「スプライン関数」とは
連続条件を満たすように多項式を接続した区分多項式
m次のスプライン曲線は1, …, m-1次微分が連続であり
観測点上のスプライン関数の値が観測点の値と
等しいという特性
de Boorの方法
矩形領域・格子上に配置された
観測点におけるデータに対する双3次スプライン内挿
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スプライン関数による補間
yJ
矩形領域R: x0≦x≦xI; y0≦y≦yJ
格子点(xi, yj)の観測値 zij =f(xi, yj)
(i = 0, 1,…, I; j = 0, 1,…, J)
y0
x0
xI
格子点(xi, yj)の観測値 zij =f(xi, yj)
領域の境界点における法線方向の1次微分係数
pij = fx(xi, yj) (i = 0, I; j = 0, 1,…, J)
qij = fy(xi, yj) (i = 0, 1,…, I; j = 0, J)
領域Rijの4頂点での2次微分係数
rij = fxy(xi, yj) (i = 0, I; j = 0, J)
が与えられている時,
これらを満たす双3次スプライン関数S(x, y)は
ただ一つだけ存在することが証明されている.
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スプライン関数による補間
まずpij, qij, rijを2I + J - 5個の線形系によって決定
• j = 0, 1,…, J に関して
 x

xi
xi 1 pi 1, j  2  xi 1  xi  pij  xi pi 1, j  3  i 1  fi 1, j  fij  
f

f
 ij i1, j 

x

x
i 1
 i

• j = 0, J に関して
 x

xi
xi 1ri 1, j  2  xi 1  xi  rij  xi ri 1, j  3  i 1  qi 1, j  qij  
qij  qi 1, j 

xi 1
 xi

• i = 0, 1,…, I に関して
 y j 1

y j
y j 1qi , j 1  2  y j 1  y j  qij  y j qi , j 1  3 
f

f

f

f
 i, j 1 ij  y  ij i, j 1 
 y j

j 1
• i = 0, I に関して
 y j 1

y j
y j 1ri , j 1  2  y j 1  y j  rij  y j ri , j 1  3 
p

p

p

p
 i, j 1 ij  y  ij i, j 1 
 y j

j 1
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スプライン関数による補間
yj
双3次スプライン多項式
領域Rij
yj-1
xi-1
Sij ( x, y) 
xi
係数γij,mnは
  x  x   y  y 
3
m , n 0
m
ij ,mn
Γij  A(xi1)KijA(y j1)
i 1
n
j 1
で求められる
xi 1  xi  xi 1 , yi 1  yi  yi 1
 00  01

 11
Γ ij   10
 20  21

 30  31
 02
 12
 22
 32
 03 
0
0
0 
 fi 1, j 1 qi 1, j 1
 1
p
 0

ri 1, j 1
 13 
1
0
0
i 1, j 1



, A ( h) 
,K 
qi , j 1
 3 / h 2 2 / h 3 / h 2 1/ h  ij  fi , j 1
 23 



2
2
2 
ri , j 1
 33 
2
/
h
1/
h

2
/
h
1/
h
 pi , j 1


補間点(x, y)の補間値z*の算出
補間点が含まれる領域Rijを探してi, jを決定→z* = Sij(x, y)
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fi 1, j
pi 1, j
fi , j
pi , j
qi 1, j 
ri 1, j 
qi , j 

ri , j 
バリオグラムを利用(クリギング)
• 空間的自己相関を距離の関数としてモデル化した
バリオグラム(あるいは,コバリオグラム(共分散関数))を
利用した空間補間法.(モデル化の前提は4章7を参照 )
• 基本的には観測点からの距離に応じて
観測点の値を加重平均する方法.
他の補間法に比べて,
補間値の統計的な性質が明快,かつ,
統計的に優れた性質を持つ.
• 普遍クリギング(Universal kriging)を用いると
観測値以外の属性情報を利用した空間補間が可能.
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普遍クリギングによる空間補間
補間対象の変数を被説明変数,観測点の属性を説明変
数とした線形回帰モデルをたてる.
ただし,線形回帰モデルだけでは,
補間対象の変数を十分に表現ができない.
→ 線形回帰モデルの攪乱項に空間的自己相関あり.
(例)補間対象の変数:気温
観測点の属性:標高
考慮されていない要因:観測時の風向き,植生,土地被覆
そこで,線形回帰モデルの攪乱項の空間的自己相関に
対して二次定常性を仮定し,共分散関数を用いて構造
化する.
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普遍クリギングによる空間補間
観測点のモデル
y = Xβ + u
E  u   0, E  uu   V
 C  0  C  d12 

C  d21  C  0 
V 


 C d  C d 
n1
n2

C  d1n  

C  d2n  


C  0  
y: 被説明変数ベクトル(内挿対象),X: 説明変数行列,
β: パラメータ,u: 攪乱項ベクトル,V: 攪乱項の分散共分散行列,
C: 共分散関数,dij: 観測点ij間の距離
一般化最小二乗法(GLS: Generalized Least Squares)より,
パラメータの推定値は
ˆβ   XV-1X1 XV-1y
GLS
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普遍クリギングによる空間補間
補間点のモデル
yi = xi β + ui E  ui   0, E ui2    i2 , E ui u   c
c   C  di1  C  di 2 
C  din  
yi: 補間点の値(確率変数),xi: 補間点の説明変数ベクトル,
ui:補間点の攪乱項,σi2: 攪乱項の分散,
c:補間点と観測点の攪乱項の共分散ベクトル
このとき,補間点iの被説明変数の線形推定量
yˆ i  ay
を求める.
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普遍クリギングによる空間補間
望ましい補間値の推定量は,不偏性(期待値が真の
値と等しい)を持ち,かつ,分散が最小
min  y2ˆi = E

 yˆi  yi  yˆi  yi 
 s.t. E  yˆ  y   0
i
i
を解くと,補間値が得られる.

yˆi  xiβˆ GLS + cV-1 y  Xβˆ GLS

<性質>
• Vやcで表される攪乱項の空間的自己相関の構造が
真であれば,最良線形不偏予測量
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参考文献
市田浩三 et al.:スプライン関数とその応用,教育出版,
pp.62-74, 1979.
高阪宏行:地理情報技術ハンドブック, 朝倉書店,
pp.27-58, 2002.
張 長平:地理情報システムを用いた空間データ分析,
古今書院, pp.119-144, 2001.
間瀬 茂・武田 純:空間データモデリング, 共立出版,
pp.135-166, 2001.
Cressie, N. A. C.:Statistics for Spatial Data, John Wiley &
Sons, pp.151-162, 1993.
Weibel, R. et al.:GIS原典 地理情報システムの原理と応
用 [Ⅰ], 古今書院,pp.293-298, 1998.
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