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アルゴリズムと
データ構造
第9回
再帰的アルゴリズム
先週の復習
探索
 線形探索

 番兵による線形探索
2分探索
 ハッシュ法

 ハッシュ法によるデータの格納・探索
 衝突を処理する方法

チェイン法
再ハッシュ(rehashing)

オープンアドレス法
ランダムに処理する方法
先週の演習問題
バケット数5のハッシュ表を考える．ハッシュ関数
h(x)= x mod 5 を用いて,空のハッシュ表に数値データ
x ={23, 48, 35, 4, 10}を格納する場合について以
下の問に答えよ．
（問1） チェイン法を用いてデータを格納した場合，ハッシュ表はどうなるか？
図を描け．
（問2） オープンアドレス法（再ハッシュ）を用いてデータを格納した場合，ハッ
シュ表はどうなるか？図を描け．
答え
(問1)解答 (チェイン法)
23 mod 5 = 3
48 mod 5 = 3
35 mod 5 = 0
4 mod 5 = 4
10 mod 5 = 0
ポインタの配列
table[0]
連結リスト
10
35
table[1]
バケット数 5の
ハッシュ表
NULLの
ところは斜線
table[2]
table[3]
48
table[4]
4
23
(問1)なぜ先頭に挿入するの？
挿入位置の計算O(1)
table
f
[0]
c
[1]
[2]
a
先頭への挿入なら一定時間でできる
g
b
挿入位置の計算O(n)
末尾はどこ？
table
[0]
c
a
g
b
[1]
[2]
f
(問2)解答オープンアドレス法


ハッシュ関数 h(x)= x mod 5
再ハッシュ hi (x)= (h(x)+i) mod 5
h(23) = 23 mod 5 = 3
h(48) = 48 mod 5 = 3
再 h1(48)=(h(48)+1) mod 5 = 4 mod 5 = 4
h(35) = 35 mod 5 = 0
h( 4) = 4 mod 5 = 4
再 h1(4)= (h(4)+1) mod 5 = 5 mod 5 = 0
再 h2(4)= (h(4)+2) mod 5 = 6 mod 5 = 1
h(10) = 10 mod 5 = 0
再 h1(10)= (h(10)+1) mod 5 = 1 mod 5 = 1
再 h2(10)= (h(10)+2) mod 5 = 2 mod 5 = 2
バケット数 5の
ハッシュ表
配列
table[0]
35
table[1]
4
table[2]
10
table[3]
23
table[4]
48
第9回
再帰的アルゴリズム
再帰の基本

再帰（recursive）とは
ある事象が，自分自身を含んでいたり，それを用いて定義さ
れていること。

自然数の定義
（a）１は自然数である。
（b） ある自然数の直後の整数は自然数である。
このような定義を再帰的定義（recursive definition）といいます。

再帰関数呼び出し
 関数が自分自身をさらに呼び出す

実際は自分自身と同じ関数を「別途」呼び出す
再帰の例：階乗値
 数学的帰納法で定義されるような問題は，再帰的となります。

階乗n!の定義
(a) 0! = 1
(b) n! = n × (n – 1)! (n > 0)
int factorial(int n) {
if (n > 0)
return (n * factorial(n – 1));
else
return (1);
}
10! = 10* 9!
9! = 9 * 8!
/* 再帰的関数呼び出し */
再帰の例：階乗値

再帰関数呼び出しの流れ
int factorial(int n3210 ) {
if (n > 0)
2 1));
1
0
return ( 123n * factorial(n –
else
return (1);
}
factorial(3)
6
3 * factorial(2)
2
2 * factorial(1)
1
1 * factorial(0)
1
直接的な再帰と間接的な再帰
直接的な再帰：
自分と同じ関数を呼び出す。
関数Ａ
Ａ（・・）
関数Ａ
Ａ（・・）
間接的な再帰：
別の関数を呼出し，
その関数が自分と同じ関数を呼び出す。
関数Ａ
Ｂ（・・）
関数Ａ
Ａ（・・）
関数Ｂ
Ａ（・・）
再帰の例：ユークリッドの互除法

2数の最大公約数（greatest common divisor）
 2数を辺とする長方形を、あまりが出ないよう正方形
で埋め尽くす問題

例：12と33
12
33
12
9
9
12
3
3 3 3
再帰の例：ユークリッドの互除法

Ｅｕｃｌｉｄ（Ｅｕｋｌｅｉｄｅｓ）
ユークリッド（エウクレィデス）
（紀元前３００年ごろ）
最大公約数を求める手順
(a) 大きい方の数を小さい方の数で割ったあまりを
求める
(b) あまりが0になるまで、小さい方の数を大きい方
の数、あまりを小さい方の数として繰り返す

数学的手順
12
 最大公約数gcd(x,
12
33
12
9
9
y)は、yが0ならx、そうでなけ
ればgcd(y, x % y）
3
3 3 3
再帰の例：ユークリッドの互除法
最大公約数gcd(x, y)は、yが0ならx、そうでなければgcd(y, x % y）

関数実装例
int gcd(int x, int y) {
if (y == 0)
return (x);
else
return (gcd(y, x % y));
}
/* 再帰的関数呼び出し */
再帰呼出しを使うことのメリット
•記述が簡潔になる
•理解しやすくなる
•アルゴリズムの正しさの証明がしやすくなる
•計算量の解析が容易になる
再帰的アルゴリズムの作り方
数学的帰納法で証明を書くつもりで！
1. 解くべき問題を、同じ問題でよりサイズの小さな問題を解くことに帰着させる。
（漸化式を立てる）
例） mとn(m≧n)の最大公約数は、nとm%nの最大公約数と同じ。
gcd(m,n)=gcd(n,m%n) for n>0
2. 最小サイズの問題の解を示す。
例) mとn(m≧n)の最大公約数は、m%n=0のときn
int gcd(int x, int y) {
if (y == 0)
return (x);
else 最小サイズの問題
return (gcd(y, x % y));
より小さな問題
}
再帰アルゴリズムの解析

解析用関数
int recur(int n) {
if (n > 0) {
recur(n – 1);
printf(“%d\n”, n);
recur(n – 2);
}
関数内で2度再帰呼び出し：真に(genuinely)再帰的な関数
再帰アルゴリズムの解析

トップダウン法（top-down method）
呼び出し側から始めて段階的に詳細へと調べていく解析手法

トップダウン解析（n=4の場合）
recur(3)
recur(2)
recur(1)
recur(0)
1
2
recur(-1)
recur(0)
3
4
recur(2)
recur(1)
recur(1)
recur(0)
1
recur(-1)
recur(0)
1
2
recur(0)
recur(-1)
再帰アルゴリズムの解析

ボトムアップ（bottom-up method）解析（n=4の場合）
recur(-1) : （何もしない）
recur(0) : （何もしない）
recur(1) : recur(0) 1 recur(-1) →
1
recur(2) : recur(1) 2 recur(0)
→
1
2
recur(3) : recur(2) 3 recur(1)
→
1
2
3
1
recur(4) : recur(3) 4 recur(2)
→
1
2
3
1
4
1
2
再帰を使うべきか

再帰の問題点
 関数呼び出しの状態を保存しておくため、膨大な
メモリが必要
 関数呼び出しのオーバーヘッドなどで、計算時間
が増大する可能性大

再帰にすべきかどうか
 非再帰で実現できるなら非再帰を用いるべき
 非再帰では複雑になりすぎるなら再帰を用いる
何でも再帰呼出しにすれば良いという訳では・・・
gcd(int m,int n)
再帰呼出しを
{
使わないと
if( n=0 ) return m;
else
return gcd(n,m%n);
}
関数の最初または最後に
１回だけ再帰呼出しされる場合
ループを用いて比較的容易に
かける場合が多い
gcd(int m,int n)
{
int a[2]={m,n}, i=1,j;
while(a[i]!=0) {
j=(i+1)%2;
a[j]=a[j]%a[i];
i=j;
}
return a[(i+1)%2];
}
×記述は少し複雑
○メモリ使用量は少ない
(スタック領域の使用量が少ない)
○計算時間も短い
(関数呼出し、復帰処理がない)
再帰呼出しの時間計算量
再帰的アルゴリズムの時間計算量＝
再帰呼出しの時間計算量 ＋ 再帰呼出し以外の時間計算量
(例）
プログラム
factorial(n)の実行時間をT(n)とおくと
int factorial(int n) {
if(n==1) return 1;
再帰呼出しfactorial(n-1)の時間計算量=T(n-1)
else
return n*factorial(n-1);
}
再帰呼出し以外の時間計算量≦C (定数)
よって
T(n)≦T(n-1) + C, T(1)≦C
T(n-1)≦C(n-1)
したがって T(n)≦Cn=O(n)
再帰関数の応用例
ハノイの塔
8王妃問題
ハノイの塔
（towers of Hanoi）
ハノイの塔は、フランスの数学者E・リュカ(Edouard Lucas)が
1883年に考えたものである。リュカは、インドに次のような伝
説があると説明している。
ブラフマーの塔
インドのガンジス河の畔のベナレス（ヴァラナシ）に世界の中心を表すという聖堂が
ある。そこには3本の大理石の柱（ダイヤモンドの針との説もあり）が立てられてお
り、そのうちの1本には、当初64枚の黄金の円盤が大きい円盤から順に重ねられ
ていたという。バラモン僧たちはそこで、一日中円盤を別の柱に移し替える作業を
行っている。そして、全ての円盤の移し替えが終わったときに、この世は崩壊し終
焉を迎えると言われている。
もちろんこれはリュカの作り話であるが、64枚の円盤を移動させるには、最低でも
18,446,744,073,709,551,615回かかり、1枚移動させるのに1秒かかったとして、約
5,845億年かかる（なお、ビッグバンは今から約137億年前の発生とされている）。
ハノイの塔とは
重なった円盤を３本柱の間で移動する問題（３枚の場合）
（より小さい円盤が必ず上にくるように重ねる）
１
２
３
 固定された3本の柱のうちの１本に、下へ行くほど半径の
大きい円盤
 以下のルールで別の1本に円盤をすべて移動



1回に動かせる円盤は1枚
半径の小さい円盤の上に半径の大きい円盤は重ねられない
棒以外の部分には円盤は置けない
ハノイの塔

移動例（3枚の場合）
円盤の移動回数： ３
６
４
１
２
５
７
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1
開始軸
中間軸
目的軸
ハノイの塔

ハノイの塔の解法
底の円盤を除いた円盤グループを開始軸から
中間軸に移動
2. 底の円盤を開始軸から目的軸に移動
3. 円盤グループを中間軸から目的軸に移動
 1.と3.で再帰呼び出し
1.
ハノイの塔

関数実装例
void hanoi(int no, int x, int y) {
if (no > 1)
hanoi (no - 1, ｘ, 6 - x - y);
printf(“[%d]を軸%dから軸%dへ移動\n”, no, x, y);
if (no > 1)
hanoi (no - 1, 6 - x - y, y);
}
・1 : 開始軸、2 : 中間軸、3 : 目的軸
8王妃問題とは
 8x8のチェス盤に、8個の王妃を互いに取られないように配置

王妃は縦横斜めいずれのライン上のコマも取ることができる
縦横斜めいずれの
ラインにも別の王妃がないように
配置しなければならない

例
8王妃問題

王妃の配置
 何も考えないと、64x63x62x61x60x59x58x57
= 178,462,987,637,760通り
 各列に王妃を1個のみ配置と限定すると、
8x8x8x8x8x8x8x8 = 16,777,216通り
 各行にも王妃を1個のみ配置と限定すると・・・簡
単には計算できない
王妃の配置



flagを導入し、すでに配置されている行のflagを立てておく
flagの立っている行には配置作業を行わない
必要のない枝分かれを抑制して、不要な組み合わせの列挙を省略：分
枝限定法
N-王妃問題を解くためのデータ構造
次の四つの配列で表現：
配列１： 各行に王妃が配置済みか
flag_a[row]
その行に王妃がいるときにFALSE、いないときにTRUE
配列２： 右上がり（／）方向に王妃が配置済みか
flag_ｂ[col+row]
配列３： 右下がり（
）方向に王妃が配置済みか
flag_ｃ[col-row+N-1]
配列４： 各列の王妃の位置
pos[col]
注意点：
１. 南西斜め筋はcol+rowが一定！
2. 南東斜め筋はcol-rowが一定！
分枝限定法よる解法
考え方：
とりあえず、置いてみる。
行き詰ったら、前に戻って、
別の選択肢でやってみる。
Step 1. 配列：
pos[col]=row
に、とりあえず王妃を置いてみる。
pos[0]=0
効き筋を埋める
次の候補は
A, B, C
Step ２： とりあえずA
pos[1]=2
に置いてみる
効き筋チェック
次の候補はD
Step ３：pos[2]=4
に置いてみる
効き筋チェック
この場合にはうまくいっていますが、次の候補がなければキャンセル
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8王妃問題を解くプログラム
バックトラック
まとめ
再帰の基本
再帰関数呼び出し
再帰呼出しを使うことのメリット
再帰的アルゴリズムの作り方
再帰呼出しの時間計算量
再帰関数の応用例
ハノイの塔
8王妃問題
演習問題
名前と学籍番号をご記入のうえ、解答用紙（A4）を提出する
提出先：
工学部電子情報実験研究棟５階
NO.5506室のドアのポストに入れてください
締め切り時間：
来週月曜日（6月１6日） 午前９時まで