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画像処理工学
2011年1月12日
担当教員 北川 輝彦
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
点処理：point operation
局所処理：local operation
大局処理：global operation
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
幾何学的変換：画像内の画素を再配置
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
幾何学的変換：画像内の画素を再配置
・線形幾何変換処理
・非線形幾何変換処理
の2種類に大別
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
幾何学的変換：画像内の画素を再配置
・線形幾何変換処理
・非線形幾何変換処理
の2種類に大別
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
線形幾何変換処理
・ 平行移動
・ 回転
・ 拡大・縮小
アフィン(affine)変換処理とも呼ばれる
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
非線形幾何変換処理
柔軟な変形処理
ワーピング変換と呼ばれる
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
幾何学的変換処理
元の空間座標(xI, yI) から
出力画像の空間座標(xO, yO)
へ画素階調値を移動
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
幾何学的変換処理
(xO, yO) = M [(xI, yI)]
(4.31)
順方向写像
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
幾何学的変換処理
(xI, yI) = M-1 [(xO, yO)]
(4.32)
逆(方向)写像
4.6 幾何学的変換処理
4.6 単一画像入力･大局処理：
幾何学的変換処理
幾何学的変換処理
元の空間座標(xI, yI) から
出力画像の空間座標(xO, yO)
へ画素階調値を移動
(xO, yO) = M [(xI, yI)]
(4.31)
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
4.6.1 線形幾何変換
・ 上下左右への平行移動
・ 回転
・ 拡大・縮小
画像は歪まない。
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
(1) 平行移動、回転、拡大・縮小
平行移動の変換式：
順方向： xO = xI + Tx, yO = yI + Ty
逆方向： xI = xo - Tx, yI = yo - Ty
Tx, Ty：x方向, y方向の移動量
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
(1) 平行移動、回転、拡大・縮小
回転の変換式：
順方向： xO = xI cosθ+ yI sinθ,
yO = - xI sinθ+ yI cosθ
逆方向： xI = xO cosθ- yO sinθ,
yI = xO sinθ+ yO cosθ
θ：原点(0,0)について反時計方向の回転角
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
(1) 平行移動、回転、拡大・縮小
拡大・縮小の変換式：
順方向： xO = xI Sx, yO = yI Sy
逆方向： xI = xo / Sx, yI = yo / Sy
Sx, Sy：x方向, y方向の拡大・縮小率
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
(1) 平行移動、回転、拡大・縮小をまとめる
移動、回転、拡大・縮小の変換式：
順方向： xO = Sx xI cosθ+ yI sinθ+ Tx
yO = - xI sinθ+ SyyI cosθ+ Ty
Tx, Ty：x方向, y方向の移動量
θ：原点(0,0)について反時計方向の回転角
Sx, Sy：x方向, y方向の拡大・縮小率
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
(1) 平行移動、回転、拡大・縮小をまとめる
移動、回転、拡大・縮小の変換式(一般化)：
順方向： xO = a2 xI + a1yI+ a0
yO = b2 xI + b1yI+ b0
a0, a1, a2, b0, b1, b2：定数
アフィン変換：上記の数式で表される線形変換法
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
アフィン変換の例
行列計算に変換式を適用：
コンピュータ演算で容易に計算可能
x, y:変換前座標、 x’, y’:変換後の座標
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
アフィン変換の例
行列計算に変換式を適用：
コンピュータ演算で容易に計算可能
x, y:変換前座標、 x’, y’:変換後の座標
原画像
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
アフィン変換の例
拡大、縮小演算：
原画像
x, y:変換前座標、 x’, y’:変換後の座標
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
アフィン変換の例
拡大、縮小演算：
x, y:変換前座標、 x’, y’:変換後の座標
変換後画像
では、両軸の拡大率を3倍にするには？
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
アフィン変換の例
回転演算：
x, y:変換前座標、 x’, y’:変換後の座標
変換後画像
では、画像を横倒しにしたければ？
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
アフィン変換の例
平行移動：
x, y:変換前座標、 x’, y’:変換後の座標
原画像
横に10、縦に-5平行移動したければ？
4.6 幾何学的変換処理
4.6.1 線形幾何変換
(2) 内挿処理の必要性
拡大率が1倍以上のときに必要
xO
xI
？
yO
yI
？
？
？
？
2倍
？：値が確定していない画素
内挿、補間処理が必要
4.6 幾何学的変換処理
4.6.2 非線形幾何変換
線形幾何(アフィン)変換処理：
曲線の導入が出来ない
= 柔軟な変形が不可
4.6 幾何学的変換処理
4.6.2 非線形幾何変換
線形幾何(アフィン)変換処理：
曲線の導入が出来ない
= 柔軟な変形が不可
非線形幾何変換処理の導入により解決
・ワーピング変換
・ラバーシート変換 とも呼称。
4.6 幾何学的変換処理
4.6.3 再標本化
ダウンサンプリング
アップサンプリング
の2種類が存在
4.6 幾何学的変換処理
4.6.3 再標本化
再標本化過程
ダウンサンプリング：解像度を低くする
アップサンプリング：解像度を高くする
画素階調(濃淡)値の近似計算
4.6 幾何学的変換処理
4.6.3 再標本化
(1) ダウンサンプリングのための
ローパスフィルタリング
画像内で表現できる空間周波数：
標本化周波数の1/2という限界値
縮小させる=標本化周波数の減少
4.6 幾何学的変換処理
4.6.3 再標本化
(1) ダウンサンプリングのための
ローパスフィルタリング
標本化周波数の減少：
変換過程のエイリアシング(虚像)の
原因となりうる
エイリアシングの解決策：
予め高周波数成分を減少させておく
4.6 幾何学的変換処理
4.6.3 再標本化
(1) ダウンサンプリングのための
ローパスフィルタリング
エイリアシングの解決策：
予め高周波数成分を減少させておく
つまり、ローパスフィルタをかけておく
4.6 幾何学的変換処理
4.6.3 再標本化
(2) アップサンプリングのための内挿処理
標本周波数が増加 =
存在しなかった画素が追加
新たな画素に値を与える必要：内挿処理
4.6 幾何学的変換処理
4.6.3 再標本化
(2) アップサンプリングのための内挿処理
内挿処理には様々な手法：
・最近隣内挿法
・共一次内挿法
が代表的
4.6 幾何学的変換処理