Transcript 光と磁気の現象論(2)
大学院理工学研究科 2004年度
物性物理学特論第3回
－光と磁気の現象論(2)：Faraday効果－
非常勤講師：佐藤勝昭
（東京農工大学工学系大学院教授）
復習コーナー
第2回に学んだこと
光と磁気の現象論（１）
円偏光と磁気光学効果
光と物質の結びつき
誘電率テンソル
質問コーナー
電子分極の周波数領域では比透磁率は１とで
きるとのことでしたが、ワニエ励起子生成の場
合はどの領域ですか
A: 非磁性半導体の励起子を考えている限り、比透
磁率は１として扱うことができます。磁性半導体でも、
バンドギャップ領域では、強磁性共鳴の周波数
（GHz領域）より十分周波数が高いので比透磁率は
１です。
第3回に学ぶこと
光の伝搬とマクスウェルの方程式
ファラデー配置の場合の固有値と固有状態
２つの固有値と対応する固有状態（円偏光）
フォークト配置の場合の固有値と固有状態
固有解：波動解、固有値：複素屈折率
磁気誘起の複屈折
ファラデー効果の現象論
ファラデー効果と誘電率テンソル
マクスウェルの方程式
光の電界ベクトルをE 、電束密度ベクトルをD 、磁界
ベクトルをH、磁束密度ベクトルをB、電流をJとすると、
次の関係が成立する。
rot E
rot H
B
t
D
t
(3.17)
J
（SI単位系）
マクスウェル方程式をEとHで表す
簡単のため， J=0と置く。[伝導電流を分極電流
（変位電流）の中に繰り込む]
BとH、DとEの関係式
B μ0 H
~
D ε ε0 E
を代入して、式(3.17)は次のように書き変えられ
る。
H
rot E 0
t
E
~
rot H ε 0
t
(3.18)
誘電率テンソル
マクスウェル方程式を解く [1]
磁界Hを消去
H
2
E
~
rot rot E 0 rot
0
rot H 0 ε 0
2
t
t
t
~
rot rot E grad E E 0 ε 0
2
E E 0 exp( i t ) exp( i K r ) を代入
(E K )K K
2
2 ~
E ( / c ) E 0
2
E
t
2
マクスウェル方程式を解く [2]
波数ベクトルKとして
E E 0 exp( i t ) exp( i K r )
H H 0 exp( i t ) exp( i K r )
(3.19)
ここにＥ0，Ｈ0は時間や距離に依存しない定数ベクトルで
ある。この式を式(3.18)に代入すると、
K E ωμ 0 H
~
K H ω ε ε0 E
となる。
固有方程式
両式からHを消去し、
K H K
1
(K E )
0
1
K K E ~ 0 E
0
固有方程式として(3.20)
(E K )K K
2
2 ~
E ( / c ) E 0
が得られる。問題3.1参照
問題３．１ 式(3.19)を式(3.18)に代入して式(3.20)を導け。ただ
し、ベクトル積の公式 A ( B C ) ( C A ) B ( B A ) C
を利用せよ。
K E ωμ 0 H
からHを消去することにより
~
K H ω ε ε0 E
K H K
1
(K E )
0
1
K K E ~ 0 E
を得る
0
ここで上の公式を利用して
K K E (E K )E (K K )E
(E K )K K
2
2~
E ( / c ) ε E 0
が導かれた
が導かれるので
( E K)K K
2
2 ~
E ( / c ) ε E 0
を解く
この式を解いてKの固有値と対応する電界ベクトルEの固有関数
を求めよう。ここで複素屈折率N、すなわち、N=n+iを導入する。
ここにnは屈折率、は消光係数である。媒質中において波数Kは
K N / c n / c i / c
で表される[1]。
[1]波数Kは2π/λ’となる。ここに’は媒質中での波長で、媒質
中での光速をc’とすると/c’と表される。媒質中での光速c’は
屈折率をnとするとc/nで与えられるから、K=n/cである。ここで
屈折率を拡張して複素屈折率N、すなわちn+iを導入すると、
K N / c n / c i / c
となる。
固有方程式を解く（つづき）
波数ベクトルの向きに平行で長さがNであるような屈
折率ベクトルNを用いると、(3.19)の第１式は
（３．２１）
E E 0 exp{ i ( t N r / c )}
となり、固有方程式(3.20)は
2
~
N E ( E N )N E 0
（３．２２）
によって記述できる。以下では、2.3に述べた２つの配
置(ファラデー配置とフォークト配置)について固有値を
求める。
ファラデー配置の場合(=0)
磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N //z)
に対して式(3.21)は
E E 0 exp{ i ( t Nz / c )}
と表される。固有方程式(3.22)は
N 2 xx
xy
0
xy
N
2
xx
0
0
0
zz
E x
E y
E
z
0
と書ける。この方程式がE0の解をもつためには、上式
においてEの係数の行列式が0でなければならない。こう
して次の永年方程式を得る。(問題3.2参照)
永年方程式
N
2
xx
xy
xy
N
2
0
0
0
（３．２５）
0
zz
これより、N2の固有値として２個の値
2
（３．２６）
N i
xx
0
xx
を得る。
E
E0
xy
これらの固有値に対応する固有関数は、
( i i j ) exp{ i ( t
N
z)
（３．２７）
E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。
2
c
固有関数は円偏光
フォークト配置の場合
N2の固有値として
2
2
および
xy
N 1 xx
xx
N 1
E 1 A exp i t
x xy i xx j
c
E2
zz
という２つの解を得る。 N1およびN2に対応する固
有関数は
N2
2
N 2
B exp i t
x k
c
(3.33)
となり、複屈折を生じる。(コットンムートン効果)
3.3のまとめ
光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述すると，
磁化された等方性物質の屈折率Nは N 2 xx i xy
で与えられる２つの固有値をとり，それぞれが
右円偏光および左円偏光に対応する．（ここに，
εxxは誘電テンソルの対角成分，εxyは非対角成
分である．）もし，εxyが０であれば，円偏光は固
有関数ではなく，磁気光学効果は生じない．
左右円偏光に対する光学定数の差と誘電
率テンソルの成分の関係
磁化と平行に進む光の複素屈折率の固有値は
式(3.26) N i
N n i ,
N n i
n n
置き換え n n n ; ; n 2 ; 2
2
N n
xx
xy
n
1
1
i
(
n
i
)
(
n
i
)
N
N
2
2
2
2
ここに N
その結果
N N n i
xx n ; xx 2 n
2
2
xy n n
xy n n
を得る
複素ファラデー回転角
ΔnとΔκをεxyを使って表す。
n
xy n xy
n
2
2
n
2
2
ΔNに書き直すと
N n i
;
n xy xy
i ( n i )( xy i xy )
n
2
2
i xy
xx
複素ファラデー回転角
F
2c
n i
N
2c
→
F
2c
i xy
xx
磁気光学の式(続き)
Nˆ Nˆ Nˆ
F
Nˆ
i
x x i x y
i
x x i x y i
xy
xx
xy
xx
xy M
(1 )
xx
(0)
1
2
xx M
(2)
2
磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与