Transcript sec3

•S.Weinberg, Physica 96A, 327 (1979).
•J.Gasser and H.Leutwyler, Ann. of Phys. 158, 142 (1984).
•J.Gasser and H.Leutwyler, Nucl. Phys. B 250, 465, (1985).
•A.Pich, lecture note for Les Houches Summer School (hep-ph/9806303).
•A.Manohar and H.Georgi, Nucl. Phys. B 234, 189 (1984).
•“ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著 （培風館）.
•C.Rosenzweig, J.Schechter and C.G.Trahern, Phys. Rev. D 21, (1980).
•P.Di Vecchia and G.Veneziano, Nucl. Phys. B 171, 253 (1980).
•E.Witten, Ann. of Phys. 128, 363 (1980).
☆ QCD のパラメータの極限・対称性の情報
（ミクロな領域 ； 高エネルギー領域）
摂動的 QCD
(漸近的自由性)
ヘビークォーク対称性
カイラル対称性
ハドロンによる量子補正が小さくなる
☆ ＱＣＤラグランジアン
カレント・
クォーク質量
☆ カレントと保存電荷
； ベクトル・カレント
； 軸性ベクトル・カレント
(vector charge)
(axial-vector charge)
☆ カイラル対称性の自発的破れ
・オーダー・パラメータ
☆ 現実世界
・カレント・クォーク質量 ； mu, md ・・・ 5 - 10 MeV
⇒ カイラル対称性は explicit に破れている
・構成子(constituent)クォーク質量
陽子(uud), 中性子(udd)の質量 ・・・ 1 GeV
→ ハドロンの中では、Mu, Md ・・・ 300 MeV
Mu, Md ; QCDの強い相互作用により生成された有効質量
◎ ＱＣＤラグランジアンでの近似的カイラル対称性
◎
・π中間子 ・・・ 近似的 南部-ゴールドストーン粒子
◎ 南部-ゴールドストーン定理の低エネルギー定理
NG boson の低エネルギー極限における散乱振幅は
対称性の要求から、力学系の詳細によらずに決定される。
◎ Chiral Perturbation Theory
低エネルギー定理の系統的記述
高いエネルギー領域への組織的拡張
☆ Generating Functional of QCD
・current quark masses ・・・ VEV of S
☆ Basic Concept of the ChPT
☆ Derivative expansion
☆ M ・・・ matrix element with Ne external π lines
(Ni internal π lines and NL loops)
・ general form of an interaction
・・・ dimension carried by
the coupling constants
☆ General expression of the matrix element
μ : a common renormalization scale
E : a common energy scale
☆ Chiral order
☆ Examples of chiral order
☆ Building blocks
π kinetic term
π mass term
π Interaction terms
◎ pseudoscalar mesons
☆ masses at leading order (Nf = 3 の場合)
☆ ラグランジアン ・・・ 低エネルギー極限では D = 2 のみ寄与
◎ ファインマンルール
ππ散乱振幅
・ Eq. of motion
・ trivial relation
= O(p4)
=0
=0
・ Eq. of motion
・ trivial relation
= O(p4)
=0
☆ SU(N)局所対称性に基づくYM Lagrangian
変換性 :
;
◎ background field と quantum field に分離
background field
quantum field
・変換性
◎ Gauge fixing term (Feynman gauge)
;
◎ Fadeev-Popov ghost term
;
GF + FP terms は SU(N)対称性を keep
⇔ 普通の量子化では、GF + FP がゲージ対称性を破る
◎ Lagrangian
tree contribution
quantum correction
at one loop
equations of motion for background fields
・ 具体的計算
tree contribution
equations of motion for background fields
quantum
correction
at one loop
☆ Feynman rules
・２次発散はキャンセルし、log 発散のみ存在
◎ くりこみ
◎ くりこみ群方程式
asymptotic free
ChPT での loop 計算のための準備
☆ Background fields の導入 (1)
☆ Background fields の導入 (2)
quantum field
background fields
☆ Background fields including external gauge fields
☆ ラグランジアン
第１項と第２項への２次発散の補正が異なる
⇒ くりこみを行った後、Fχ=Fπとおく
tree contribution
quantum correction
at one loop
equations of motion for background fields
⇒
・ generator Ta は質量が対角化されるようにとっておく
例：
☆ Feynman Rules
・ propagator
・ vertices の例
◎ tree contribution
◎ 1-loop correction
・積分の正則化 ・・・ dimensional regularization
log発散
２次発散
◎ くりこみ
◎ Pion decay constant
chiral 極限(Mπ=0)での decay constant
chiral極限からのズレ
(gmn part のみ)
◎ tree contribution
◎ 1-loop correction
◎ くりこみ
◎ Decay constants
・・・
注： ＱＣＤのテストというよりは、カイラル対称性のテスト
・ ＱＣＤ（カイラル対称性以外）のテスト
・ もしくは、計算手法のテスト
☆ Renormalization in the dimensional regularization
3.14.
Vector Form Factors
and L9
☆ Vector form factors
π, K
π, K
π
◎ Charge radii from ChPT
K
ν
W
e
・・・ independent of L9
◎ predictions
& experiments
PDG (2006)
0.452±0.011 ; 0.314±0.035 ; - 0.077±0.010
3.15. π→ e νγ and L10
☆ π → e νγ
γ
π
ν
⇔
W
e
◎ Axial-vector form factor
independent of μ
3.16. Values of low energy constants
☆ Chiral anomaly
SU(3)L × SU(3)R infinitesimal transformation
Lagrangian is invariant (classical level).
◎ Axial part, αR = －αL = β, is broken at quantum level.
+
change of effective action
☆ Wess-Zumino-Witten Lagrangian
◎ Wess-Zumino anomaly equation for
effective Lagrangian of NG bosons
☆ Solution for Wess-Zumino anomaly equation
☆ π0 → γγ
photon field
；
charge matrix
3.18. U(1)A Anomaly and η’
☆ U(1)A Anomaly
+
change of effective action
☆ Effective Action with η’
・・・
◎ Anomaly
◎ η’ の質量