Transcript （5月8日講義分（0603修正版））

伝達事項
過去のレポートを全て一緒に綴じて提出されている
方が何名かいらっします。
せっかくの過去の宿題レポートが紛失する可能性を
増やしているだけなので、各週の宿題のみを提出し
てください。
レポートが何らかの理由で紛失したとしても私のほ
うでは責任をとれません。
御協力よろしくお願い致します。
宿題
質量26 kgの物体が下図の斜面に静止していた時、下記の力を計算
しなさい。ただし重力加速度をgとする。
W : 物体に働く重力
N : 斜面が物体を押し返す垂直抗力
5m
F : 机と荷物の摩擦力
12 m
演習
質量26 kgの物体が下図の斜面に静止していた時、下記の力を計算
しなさい。ただし重力加速度をgとする。
作図を正確に
W : 物体に働く重力 = 26g N
N
N : 斜面が物体を押し返す垂直抗力
F
F : 机と荷物の摩擦力
Wsinθ
N = −Wcosθ = -26g × (12/13)
= -24g N
斜面に垂直上向きに24gN
θ
F = −Wsinθ = -26g × (5/13)cosθ = 12/13
= -10g N
sinθ = 5/13
斜面に平行上向きに10g N
θ
θ Wcosθ
W
13 m
θ
12 m
5m
宿題
図のように、水平と角度θ [rad] をなす滑らかな斜面上に質量m [kg]
の小球を置き、小球に水平な力を加えて静止させた。この時小球に
加えている力を求めなさい。ただし重力加速度をg [m•s-2]とする。
力
3m
4m
宿題
摩擦力 = 0
図のように、水平と角度θ [rad] をなす滑らかな斜面上に質量m [kg]
の小球を置き、小球に水平な力を加えて静止させた。この時小球に
加えている力を求めなさい。ただし重力加速度をg [m•s-2]とする。
W : 物体に働く重力 = mg N
D : 斜面を転がろうとする力 = Wsinθ
F : ボールを押す力
U : 斜面に平行にボールを押す力
= F を分解した力 = Fcosθ (eq.1)
静止するためには U = -D
θ
Wsinθ
θ
θ
θ
W
Fcosθ = Wsinθ
F = Wsinθ/cosθ
= Wtanθ
公式：sinθ/cosθ = tanθ
U
力 (F)
Wcosθ
宿題
摩擦力 = 0
図のように、水平と角度θ [rad] をなす滑らかな斜面上に質量m [kg]
の小球を置き、小球に水平な力を加えて静止させた。この時小球に
加えている力を求めなさい。ただし重力加速度をg [m•s-2]とする。
W : 物体に働く重力 = mg N
D : 斜面を転がろうとする力 = Wsinθ
F : ボールを押す力
U : 斜面に平行にボールを押す力
= F を分解した力 = Fcosθ (eq.1)
Wsinθ
θ
静止するためには U = -D
Fcosθ = Wsinθ
F = Wsinθ(1/cosθ)
= W(3/5)(5/4) =3W/4
θ
θ
U
力 (F)
Wcosθ 3 m
θ
4m
W
cosθ = 4/5
sinθ = 3/5
5m
θ
4m
3m
予習項目
地球の周りをまわっている人工衛星の周回運動を止めたら
その後人工衛星はどうなるか答えなさい。
4章 周期運動
ポドグラフ
ポドグラフ：時間とともに進行方向（ベクトルv1~v8）の向きが変わって
いることを示す図。
変位と位置ベクトル
y
a, b を位置ベクトルと定義
a の先端から b の先端に
到る位置ベクトル c は？
c
b
0
a
x
変位と位置ベクトル
y
a, b を位置ベクトルと定義
a の先端から b の先端に
到る位置ベクトル c は？
(2, 4)
c
b
0
a
位置ベクトル
= 原点からの座標
(6, 2)
a: (6, 2)
x
b: (2, 4)
変位と位置ベクトル
y
a, b を位置ベクトルと定義
位置ベクトル
= 原点からの座標
c: (-4, 2)
a: (6, 2)
(2, 4)
b
0
2
−4
a
(6, 2)
x
b: (2, 4)
a の先端から b の先端に
到る位置ベクトル c は？
= ベクトル a の座標を起点
とし、ベクトル b の座標を
終点とする位置ベクトル
c: (4, −2)
変位と位置ベクトル
y
a, b を位置ベクトルと定義
位置ベクトル c
= 座標の引き算
= (座標の)変位
c: (-4, 2)
(2, 4)
b
0
b: (2, −4)
2
−4
a
(6, 2)
x
−) a: (6, −2)
c: (-4, 2)
即ち
c=b−a
ベクトルは足し算だけでなく
引き算も可能！
変位と位置ベクトル
ベクトル合成を図で求めると
y
c = a + (−b)
= a − b (eq.1)
c: (4, −2) = (座標の)変位の引き算
b
0
−b
a: (6, −2)
a
−) b: (2, −4)
x
c: (4, −2)
(4, −2) ◯ eq. 1 (c = a − b) より
=c
c=a−b
c+b=a
ベクトルは移項も可能！
変位と位置ベクトル
y
a, b を位置ベクトルと定義
a の先端から b の先端に
到る位置ベクトル c は？
c
b
0
a
x
ポドグラフ
微分
変位
位置ベクトル
微分
速度
位置ベクトル変化
加速度
速度ベクトル変化
t = Δt (s)
t = 0 (s)
r2 − r1
平均速度 v
= (r2 − r1)/(Δt − 0)
= (r2 − r1)/Δt
瞬間速度v
= lim(r2 − r1)/Δt
Δt→0
円周運動の速度
1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1))
回転半径: r (m)
t = Δt (s)
t = 0 (s)
動径ベクトル（位置ベクトル）: r
時刻 0 (s) から Δt (s) の位置ベ
クトルの変化 = 速度
v = lim(r2 – r1)/(Δt – 0)
Δt→0
r2 − r1
= lim(r2 – r1)/Δt
Δt→0
Δt (s) → 0 の時、 v は r と直交
動径（中心からの距離）が不変で
も、ベクトルの向きが変われば、
速度が生じる
円周運動の速度
1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1))
回転半径: r (m)
t = Δt (s)
1周（円周）の距離 = 2πr
1秒あたりの移動距離
= 2πrf = v
t = 0 (s)
v = 2πrf
1秒あたりの回転角度（角速度）
= 2πf = ω
2π (rad) = 360° を思い出そう
v = 2πrf = r(2πf) = rω
円周運動の加速度
速度ベクトル: v
t = 0 (s)
t = Δt (s)
時刻 0 (s) から Δt (s) の速度ベ
クトルの変化Δv = v2 – v1
加速度: a とすると
a = lim(v2 – v1)/(Δt – 0)
Δt→0
= lim(v2 – v1)/Δt
Δt→0
Δt (s) → 0 の時、 a は v と直交
する
円周運動の加速度
1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1))
v = 2πrf = ポドグラフの回転半径
ポドグラフ１周の距離
= 2πv
１秒間のポドグラフ先端移動距離
= 2πvf
= 速度ベクトルの1秒間あたりの変化
= 加速度 a
= 2πvf = (2πf)v = {(2πf)•r•(1/r)}v
= {(2πrf)(1/r)}v = v(1/r)v = v2/r
a = v2/r
a = |v|2/r = (2πf)2r = rω2
a: 向心加速度（円の中心に向かう）
円周運動と向心加速度
a: 向心加速度（速度と直交して円の中心に向かう加速度）
a = |v|2/r = (2πf)2r
1秒あたりの回転数（周波数）:
f (Hz (s-1))
a
a
a
a
a
a
a
a
1周するのにかかる時間（周期）:
T (s)
f (Hz (s-1)) = 1/T (s)
f (Hz (s-1))•T = 1
周波数と周期
1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1))
1周するのにかかる時間（周期）: T (s)
f (Hz (s-1)) = 1/T (s)
f (Hz (s-1))•T = 1
演習１
y
(1) 位置ベクトル a, b を求めな
さい
c
b
a
0
(2) 位置ベクトル c を求めなさ
い。
x
(3) 位置ベクトル c を位置ベク
トル a, b を用いて表しなさ
い。
演習２
半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。
この円盤についての以下の問いに答えなさ
い。円周率はπのままで良い。
10 m
(1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。
(2) 円盤の端（円周上）の速度 (m/s) を求
めなさい。
(3) 円盤の端に固定された物体が円盤から受けるの向心加速度 (m/s2)
を求めなさい。
(4) 物体の固定が外れた時、この物体はどのような運動をするか答え
なさい。
予習項目（解答）
地球の周りをまわっている人工衛星の周回運動を無理矢理止め
たらその後人工衛星はどうなるか答えなさい。
人工衛星の周回運動をしている→等速直線運動ではない！！！
→地球からの重力（重力加速度）を受けて周回運動
重力ベクトル（重力加速度ベクトル）の方向→地球の中心
周回運動を無理矢理止めると
→重力（重力加速度）のみが残る
→重力に引かれて、重力加速度で加速されながら地球に
落ちる。
演習１（解答）
y
(1) 位置ベクトル a, b を求めな
さい
a: (6, 2), b: (-4, 6)
c
b
a
0
(2) 位置ベクトル c を求めよ。
x
c = (−４、6) − (6, 2)
= (-10, 4)
(3) 位置ベクトル c を位置ベク
トル a, b を用いて表しなさ
い。
c=b−a
演習２（解答）
半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。
この円盤についての以下の問いに答えなさ
い。円周率はπのままで良い。
10 m
(1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。
角速度ω (rad/s) = 2π/5 (rad/s)
(2) 円盤の端（円周上）の速度 (m/s) を求
めなさい。
速度v (m/s) = r(m)ω(rad/s)
= 10(m)•2π/5(rad/s)
= 4π (m/s)
演習２（解答）
半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。
この円盤についての以下の問いに答えなさ
い。円周率はπのままで良い。
10 m
(1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。
角速度ω (rad/s) = 2π/5 (rad/s)
(3) 円盤の端に固定された物体が円盤から
受けるの向心加速度a (m/s2) を求めなさい。
向心加速度a(m/s2) = r(m)ω2 (rad2/s2) = 10•(2π/5)2 (m/s2)
= 8π2/5 (m/s2)
(4) 物体の固定が外れた時、この物体はどのような運動をするか。
固定が外れた場所の円周の接線方向に速度4π (m/s)で等速直線
運動を始める。
宿題１（提出不要。月曜日までに解く）
y
c
a + b + c + d に相当する
位置ベクトルを求めなさい。
b
a
d
0
a + c に相当する位置ベク
トルを求めなさい。
x
宿題２（提出不要。月曜日までに解く）
長さ8 mのヒモの先端に質量1 kgの重りを
つけて、2秒間で1回転で回転している。こ
のヒモと物体についての以下の問いに答え
なさい。円周率はπのままで良い。
8m
(1) ヒモによる向心加速度a (m/s2) を求め
なさい。
(2) ヒモの張力を求めなさい。
ポドグラフ
ポドグラフ：時間とともに進行方向（ベクトルv1~v8）の向きが変わって
いることを示す図。
ポドグラフ
速度 |v| を変えずに速度ベクトルの向き
だけを変えるためには真横からの力 F を
受けなければならない。
F = ma の関係から力と同じ向きに（即ち
真横からの）加速度が存在する。
（真横で無ければ進行方向に加速度が残
り、速度が変化する）
加速度は進行方向（ベクトルv1~v8）に対
して直角方法。