Transcript （5月11日講義分（0603修正版））

伝達事項
試験は6/6 (土) 1限目の予定です。
演習１
y
(1) 位置ベクトル a, b を求めな
さい
c
b
a
0
(2) 位置ベクトル c を求めなさ
い。
x
(3) 位置ベクトル c を位置ベク
トル a, b を用いて表しなさ
い。
演習１（解答）
y
(1) 位置ベクトル a, b を求めな
さい
a: (6, 2), b: (-4, 6)
c
b
a
0
(2) 位置ベクトル c を求めよ。
x
c = (−４、6) − (6, 2)
= (-10, 4)
(3) 位置ベクトル c を位置ベク
トル a, b を用いて表しなさ
い。
c=b−a
演習２
半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。
この円盤についての以下の問いに答えなさ
い。円周率はπのままで良い。
10 m
(1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。
(2) 円盤の端（円周上）の速度 (m/s) を求
めなさい。
(3) 円盤の端に固定された物体が円盤から受けるの向心加速度 (m/s2)
を求めなさい。
(4) 物体の固定が外れた時、この物体はどのような運動をするか答え
なさい。
演習２（解答）
半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。
この円盤についての以下の問いに答えなさ
い。円周率はπのままで良い。
10 m
(1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。
角速度ω (rad/s) = 2π/5 (rad/s)
(2) 円盤の端（円周上）の速度 (m/s) を求
めなさい。
速度v (m/s) = r(m)ω(rad/s)
= 10(m)•2π/5(rad/s)
= 4π (m/s)
演習２（解答）
半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。
この円盤についての以下の問いに答えなさ
い。円周率はπのままで良い。
10 m
(1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。
角速度ω (rad/s) = 2π/5 (rad/s)
(3) 円盤の端に固定された物体が円盤から
受けるの向心加速度a (m/s2) を求めなさい。
向心加速度a(m/s2) = r(m)ω2 (rad2/s2) = 10•(2π/5)2 (m/s2)
= 8π2/5 (m/s2)
(4) 物体の固定が外れた時、この物体はどのような運動をするか。
固定が外れた場所の円周の接線方向に速度4π (m/s)で等速直線
運動を始める。
宿題１（提出不要。月曜日までに解く）
y
c
a + b + c + d に相当する
位置ベクトルを求めなさい。
b
a
d
0
a + c に相当する位置ベク
トルを求めなさい。
x
宿題１（提出不要。月曜日までに解く）
y
c
a + b + c + d に相当する
位置ベクトルを求めなさい。
b
a
d
0
a + c に相当する位置ベク
トルを求めなさい。
x
宿題１（提出不要。月曜日までに解く）
y
c
a + b + c + d に相当する
位置ベクトルを求めなさい。
b
a c
d
0
a + c に相当する位置ベク
トルを求めなさい。
x
宿題２（提出不要。月曜日までに解く）
長さ8 mのヒモの先端に質量1 kgの重りを
つけて、2秒間で1回転で回転している。こ
のヒモと物体についての以下の問いに答え
なさい。円周率はπのままで良い。
8m
(1) ヒモによる向心加速度a (m/s2) を求め
なさい。
(2) ヒモの張力を求めなさい。
宿題２（提出不要。月曜日までに解く）
長さ8 mのヒモの先端に質量1 kgの重りを
つけて、2秒間で1回転で回転している。こ
のヒモと物体についての以下の問いに答え
なさい。円周率はπのままで良い。
8m
(1) ヒモによる向心加速度a (m/s2) を求め
なさい。
角速度ω(rad/s) = 2π(rad)/2(s) ) = π(rad/s)
向心加速度a (m/s2) = rω2 = 8(m)•{π(rad/s)}2 = 8π2(m/s2)
註：radはSI単位で表すことができない無次元の単位
(2) ヒモの張力を求めなさい。
F(N) = ma = 1(kg)•8π2(m/s2) = 8π2(kg•m•s-2) = 8π2(N)
予習項目
地球の周りをまわっている人工衛星の周回運動を止めたら
その後人工衛星はどうなるか答えなさい。
4章 周期運動
ポドグラフ
ポドグラフ：時間とともに進行方向（ベクトルv1~v8）の向きが変わって
いることを示す図。
変位と位置ベクトル（訂正版）
y
a, b を位置ベクトルと定義
b の先端から a の先端に
到る位置ベクトル c は？
c
b
0
a
x
変位と位置ベクトル（訂正版）
y
a, b を位置ベクトルと定義
b の先端から a の先端に
到る位置ベクトル c は？
(2, 4)
c
b
0
a
位置ベクトル
= 原点からの座標
(6, 2)
a: (6, 2)
x
b: (2, 4)
変位と位置ベクトル（訂正版）
y
a, b を位置ベクトルと定義
c: (4, −2)
(2, 4)
b
4
a: (6, 2)
−2
b: (2, 4)
a
0
位置ベクトル
= 原点からの座標
(6, 2)
x
a の先端から b の先端に
到る位置ベクトル c は？
= ベクトル a の座標を起点
とし、ベクトル b の座標を
終点とする位置ベクトル
c: (4, −2)
変位と位置ベクトル（訂正版）
y
a, b を位置ベクトルと定義
c: (-4, 2)
(2, 4)
b
4
a: (6, −2)
−2
a
0
位置ベクトル c
= 座標の引き算
= (座標の)変位
(6, 2)
x
−) b: (2, −4)
c: (4, −2)
即ち
c=a−b
ベクトルは足し算だけでなく
引き算も可能！
変位と位置ベクトル（訂正版）
ベクトル合成を図で求めると
y
c = a + (−b)
= a − b (eq.1)
c: (4, −2) = (座標の)変位の引き算
b
0
−b
a: (6, −2)
a
−) b: (2, −4)
x
c: (4, −2)
(4, −2) ◯ eq. 1 (c = a − b) より
=c
c=a−b
c+b=a
ベクトルは移項も可能！
円周運動の速度
1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1))
回転半径: r (m)
t = Δt (s)
t = 0 (s)
動径ベクトル（位置ベクトル）: r
時刻 0 (s) から Δt (s) の位置ベ
クトルの変化 = 速度
v = lim(r2 – r1)/(Δt – 0)
Δt→0
r2 − r1
= lim(r2 – r1)/Δt
Δt→0
Δt (s) → 0 の時、 v は r と直交
動径（中心からの距離）が不変で
も、ベクトルの向きが変われば、
速度が生じる
円周運動の速度
1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1))
回転半径: r (m)
t = Δt (s)
1周（円周）の距離 = 2πr
1秒あたりの移動距離
= 2πrf = v
t = 0 (s)
v = 2πrf
1秒あたりの回転角度（角速度）
= 2πf = ω
2π (rad) = 360° を思い出そう
v = 2πrf = r(2πf) = rω
円周運動の加速度
速度ベクトル: v
t = 0 (s)
t = Δt (s)
時刻 0 (s) から Δt (s) の速度ベ
クトルの変化Δv = v2 – v1
加速度: a とすると
a = lim(v2 – v1)/(Δt – 0)
Δt→0
= lim(v2 – v1)/Δt
Δt→0
Δt (s) → 0 の時、 a は v と直交
する
円周運動の加速度
1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1))
v = 2πrf = ポドグラフの回転半径
ポドグラフ１周の距離
= 2πv
１秒間のポドグラフ先端移動距離
= 2πvf
= 速度ベクトルの1秒間あたりの変化
= 加速度 a
= 2πvf = (2πf)v = {(2πf)•r•(1/r)}v
= {(2πrf)(1/r)}v = v(1/r)v = v2/r
a = v2/r
a = |v|2/r = (2πf)2r = rω2
a: 向心加速度（円の中心に向かう）
円周運動と向心加速度
a: 向心加速度（速度と直交して円の中心に向かう加速度）
a = |v|2/r = (2πf)2r
1秒あたりの回転数（周波数）:
f (Hz (s-1))
a
a
a
a
a
a
a
a
1周するのにかかる時間（周期）:
T (s)
f (Hz (s-1)) = 1/T (s)
f (Hz (s-1))•T = 1
予習項目
地球の周りをまわっている人工衛星の周回運動を止めたら
その後人工衛星はどうなるか答えなさい。
予習項目（解答）
地球の周りをまわっている人工衛星の周回運動を無理矢理止め
たらその後人工衛星はどうなるか答えなさい。
人工衛星の周回運動をしている→等速直線運動ではない！！！
→地球からの重力（重力加速度）を受けて周回運動
重力ベクトル（重力加速度ベクトル）の方向→地球の中心
周回運動を無理矢理止めると
→重力（重力加速度）のみが残る
→重力に引かれて、重力加速度で加速されながら地球に
落ちる。
周波数と周期
1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1))
1周するのにかかる時間（周期）: T (s)
f (Hz (s-1)) = 1/T (s)
f (Hz (s-1))•T = 1
等速回転運動：y軸投影
12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。
y
y
r
y = r•sinθ ぽいぞ
ω
0
r
9
x 0
−r
3
6
12
t/s
等速回転運動：y軸投影
12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。
y
y
r
y = r•sin(ωt)
r
θ
0 θ = ωt
ω
9
x 0
3
6
12
t/s
r•sinθ
= r•sin(ωt)
−r
ω = 2π(rad)/12(s) = π/6(rad/s)
y = r•sin{(π/6)t}
等速回転運動：x軸投影
12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。
r•cosθ = r•cos(ωt)
y
x
r
x = r•cos(ωt)
r
θ
0 θ = ωt
ω
x 0
−r
t/s
等速回転運動：x軸投影
12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。
y
r
θ
0 θ = ωt
真横（y軸方向）
から見ると
ω
x
x
単振動
等速回転運動：向心力
12秒間で1周の角速度ωで質量m(kg)の物体が等速回転している。
y
向心力を F とするとx軸方向の力 FX は
FX = -−Fcos(ωt) (eq.1)
x軸方向の変位xは
x = r•cos(ωt) (eq.2)
cos(ωt) = x/r (eq.3)
Fcos(ωt)
r
θ
0 θ = ωt
F
ω
x
eq.3をeq.1に代入すると
FX = −Fcos(ωt) = −F(x/r) = − (F/r)x
FX = −Cx (Cは定数: C = F/r)
この式から
x軸方向の力は変位xに比例
単振動
x
演習
36秒間で1周の角速度で等速回転している物体のx軸方向の変
位の時刻に対するグラフを描きなさい。なお回転半径は 8 mで、
時刻 t=0 s の時、物体はy軸上の正の位置にあるものとする。ま
た物体は反時計回りに回転しているものとする。
y
x
ω
0
8m
x 0
t/s
演習
36秒間で1周の角速度で等速回転している物体のx軸方向の変
位の時刻に対するグラフを描きなさい。なお回転半径は 8 mで、
時刻 t=0 s の時、物体はy軸上の正の位置にあるものとする。ま
た物体は反時計回りに回転しているものとする。
x
y
8
ω = 2π/36
= π/18
ω
9
0
8m
x 0
t/s
18
27
36
x = −r•sin(ωt)
= −8sin{(π/18)t}
−8
宿題（締切: 5/13, 提出場所：田中の部屋の前のカゴ）
4秒間で1周の角速度で等速回転している質量5 kgの物体に関
する以下の問いに答えなさい。なお回転半径は 2 mで、
時刻 t=0 s の時、物体はy軸上の正の位置にあるものとする。
また物体は時計回りに回転しているものとする。
(1) 角速度ωを求めなさい。
(2) 円周の接線方向の物体の速度vを求めなさい。
(3) 向心加速度aを求めなさい。
(4) 向心力（円の中心に向かう力）Fを求めなさい。
(5) 物体のx軸方向の変位の時刻tに対するグラフを描きなさい。
(6) 物体のx軸方向の変位を時刻 t の関数として表しなさい。
予習
単振動を行う代表的な例を探しなさい。
等速回転運動：位置ベクトル
12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。
y
(x, y) = (r•cos(ωt), r•sin(ωt))
r
θ
0 θ = ωt
ω
x
r = (x2 + y2)(1/2)
= [{r•cos(ωt)}2 + {r•sin(ωt)}2](1/2)
= [r2{cos(ωt)}2 + r2{sin(ωt)}2](1/2)
= (r2[{cos(ωt)}2 + {sin(ωt)}2])(1/2)
ここで、{cos(ωt)}2 + {sin(ωt)}2 = 1
r = (r2[{cos(ωt)}2 + {sin(ωt)}2])(1/2)
= (r2•1)(1/2) = (r2)(1/2) = r