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Notes on Voronoi Diagrams for Pure
Quantum States
1,2Kimikazu
Kato, 3Mayumi Oto,
1,4Hiroshi Imai, and 5Keiko Imai
1
Department of Computer Science, Univ. of Tokyo
2 Nihon Unisys, Ltd.
3 Toshiba Corporation
4 ERATO-SORST Quantum Computation and Information
5 Department of Information and System Engineering,
Chuo Univ.
本研究の目的
ボロノイ図を用いて・・・
– 量子状態のなす空間の幾何的構造を理解したい
– 量子状態のなす空間上で定義される距離の関係
を明らかにしたい
なぜそうしたい？
•量子通信路の性能評価のための基礎となりうる
•連続的な空間を離散的に評価するにはボロノイ
図が便利
量子通信路とその容量
量子状態
（連続構造）
量子通信路
量子状態
光子
コーディング
送りたいメッセージ
（離散構造）
10010111000101100
0000010010010・・・・
ノイズ
デコーディング
復元されたメッセージ
10010111000101100
0000010010010・・・・
この通信路の容量を定量的に評価したい
空間と距離
付随する距離
ユークリッド距離
ユークリッド空間
自然な埋め込みが存在
量子状態のなす
空間
d 1
2
次元凸体

ここの構造を
知りたい！
ダイバージェンス
純粋量子状態のなす
空間
2d  2
次元超平面
測地線距離
Fubini-Study距離
Bures距離
関係を知りたい
なぜボロノイ図なのか？
• ２種類の距離について、「どのくらい似ている
か」を示すために有効な指標である
• 連続構造を離散構造で近似して考えるため
の道具として有効だと考えられる
– 実際にHolevo容量の数値計算[Oto, Imai, Imai ’04]の
一部として、ボロノイ図が利用されている
– それ以外にも、量子情報関連で通信容量の計算
などに将来応用されるかもしれない
量子状態
• 密度行列は、素粒子の状態の確率的分布を
あらわす
• 密度行列  は、次の条件を満たす複素行列
である
– エルミート
– 半正定値
– トレースが１
 
*
 0
Tr   1
• 行列のサイズがdxdであるとき、これをd準位
と呼ぶ（特にd=2のときは1-qubitと呼ぶ）
純粋状態
単一素粒子の状態を表す

pure
 vv
*
v は列ベクトル
*
ただしv は随伴行列
混合状態
純粋状態以外の状態
純粋状態の確率的混合を表す
 

pi 
i
ただしp i は少なくとも２つ以上は0でない
こう表されることと
rank 
は同値
pure
1
pure
i
rank   2
と同値
得られた結果
• 1-qubit（d  2 ）の純粋量子状態について、い
くつかの距離でのボロノイ図が一致すること
を示した
・・・
ダイバージェンス
ユークリッド距離
Fubini-Study距離
• 3準位以上（d  3 ）の純粋量子状態について
は、上記のボロノイ図の一致は起こらないこ
とを示した
ダイバージェンス
ユークリッド距離
行列のパラメータ表現
1-qubit（2x2行列）の場合
 
1  1 z
  
2  x  iy
*
 0
Tr   1
x  iy 
2
2
2
 , x , y , z  R , x  y  z  1
1 z 
中身が詰まった球になる：Bloch球と呼ばれる
純粋状態に対応するのは球の表面
d準位（dxd行列）の場合
 
*
Tr   1
 0
一般には非常に複雑な不等式に
純粋状態のなす部分空間は複雑な構造
ボロノイ図
与えられたn点について、点の近接関係による支配
関係を示した図
点Aの支配領域
例：
点B
点A
a
c
点C
b
d
点D
min{ a , b , c , d }  a
が成り立つ
量子状態の距離
• Fubini-Study距離
cos d FS (  ,  ) 
Tr 
• Bures距離
d B ( , ) 
1  Tr 
（ただし、上記は純粋状態における距離）
ダイバージェンス
古典版：
Kullback-Leiblerダイバージェンス
２つの確率分布  p i i , q i i の間の距離
D KL ( P || Q ) 

p i (log p i  log q i )
i
量子版：
量子ダイバージェンス
D   ||    Tr  (log   log  )
 1

*
ただし、   X 





X
 d 
のとき
 log  1

*
log   X 





X
log  d 
したがって、  の固有値が0になるところでは定義されない。
特に、純粋状態では定義されない
注意：これは「２つの状態の近さ」を表すが、距離の公理は満
たしていない。
と定義
定理１[Kato, Oto, Imai, Imai ’05]
• 1-qubitかつ純粋状態（Bloch球）については、
以下のボロノイ図は一致する
– Fubini-Study距離
– Bures距離
– Euclid距離
– 測地線距離
– ダイバージェンス
注意：ダイバージェンスは純粋状態については定義され
ていないので、その極限をとる
ダイバージェンスは純粋状態では定義できない
D   ||    Tr  (log   log  )
 は純粋状態でもいいが、  が純粋状態は定義できない
純粋状態では固有値0がある
log 0
は定義できないが、 0 log 0 は自然に0と定義できる
しかし、ダイバージェンスのボロノイ図は純粋状態でも
定義できる！
「縮小してから膨張させる」
を固定してボロノイ図を考えてから
をとる
極限をとる
混合状態のみで定義
されるボロノイ図
自然に純粋状態に延
長できる
1-qubitのHolevo容量の数値計算[Oto, Imai, Imai ’04]
量子通信路：量子状態に対するアフィン変換
Holevo容量：量子通信路による像の、ダイバージェンスでの最小包
含球の半径
最小包含球の中心になる
のは第２要素
数値計算のアイデア：離散的に均等な点を取って、その像を計算
均等に点をプロット
その像の最小包含球を計算
（ダイバージェンスの意味で）
注意：実際にはこの図のようにならずもっとゆがんだ形になる。
最小包含球は４点で決まることが知られている[Hayashi et al. ’04]
実際の最小包含球の様子













x'
























x











 ( x , y , z )   ( x ', y ', z '), y '  A y  b













z'
0 .6
A 0
z
0
0
0 . 601
0
0 ,
0
b













0 . 021
0
0 . 495













0 .5













なぜこれが重要？？
２つの意味で、重要なアプリケーション
ボロノイ図を計算過程で使用
最小包含球を
求める部分で（最遠点ボロノイ図）
２つの距離（ユークリッド距離、ダイバージェンス）
についての近接関係の一致（定理１）が近似計算
の有効性を保証
均等な点のプロットはユークリッド距離の意味で、最小包
含球の計算はダイバージェンスの意味であることに注意
３準位以上のケース[Kato, Oto, Imai, Imai ’06, to appear]
3準位以上では、ユークリッド距離とダイバー
ジェンスに関するボロノイ図は一致しない
定理２[Kato, Oto, Imai, Imai ’06, to appear]
•密度行列のなす空間は、ある超平面による切り口では中身
のつまったEllipsoidとなり、純粋状態はその表面に対応する
•その純粋状態上でダイバージェンスによるボロノイ図は、そ
れをアフィン変換によって得られる球の測地線によるボロノイ
図に等しい
アフィン変換で球に変換
切り口上のボロノイ図
測地線のボロノイ図と一致
証明のアイデア
密度行列の全体：
幾何的に複雑でよくわ
からない
？？
ある超平面による切り
口を考える
うまく超平面を選ぶと、単純
な幾何構造が現れる
この上でボロノイ図が一致しな
いことを示す
計算の過程
ダイバージェンスの計算がしやすい！
超平面
で切り取る
の条件の下、
rank=1となるための必要十分条件：
半正定値になるための必要十分条件：
中身の詰まったEllipsoid
Case 1:1点
Case 2:1点
or
Case 3:
1-qubitのときと構造が似ている。
「縮小してから膨張させる」という手法が
ここでも使える。
Ellipsoidの表面
例
注意：資料中Example 1は間違い！
正しくは、
一致する
ダイバージェンス
ユークリッド距離
Example 3
一致しない
ダイバージェンス
ユークリッド距離
まとめ
• 1-qubitの純粋状態では、いくつかの距離に
関するボロノイ図が一致することを示した
・・・
• 3準位以上では、上記の一致性は成り立たな
いことを示した
課題
他の切り口は？ 他のパラメタライゼーションは？
Thank you
ありがとうございました