Transcript その2

非線形方程式に対する
反復解法
（２回目）
先週の復習
非線形方程式 f（x）＝０ を近似的に解く
f（x）がほとんど０となるような x を求める
反復解法
x を繰り返し更新、近似的な解を求める
反復解法の種類
•
•
•
•
二分法
はさみうち法
割線法（セカント法）
ニュートン‐ラフソン法
先週説明
今週説明
セカント法（その1）
非線形関数を線形関数で繰り返し近似
⇒近似解を求める
本当の解
近似解
（０）
セカント法（その2）
初期点 x0 , x1 を求める
（１） ２点 ( x0 , f ( x0 ))および( x1 , f ( x1 ))を
結ぶ直線を描く
（２） 直線とx 軸との交点を x2とおく
x2
x1
x0
セカント法（その3）
（１） ２点 ( x1 , f ( x1 ))および( x2 , f ( x2 ))を
結ぶ直線を描く
（２） 直線とx 軸との交点を x3とおく
x3
x2
x1
x0
セカント法（その4）
（１） ２点( x2 , f ( x2 ))および( x3 , f ( x3 ))を
結ぶ直線を描く
（２） 直線とx 軸との交点をx 4とおく
（３） 一般にf ( xk ) の値が十分に0に
近くなったら終了
x４ x3
x2
x1
x0
ニュートン‐ラフソン法（その1）
微分を使って非線形関数を近似
本当の解
近似解
x0
ニュートン‐ラフソン法（その2）
（０）初期点x0 を求める
（１） 点 ( x0 , f ( x0 ))を通り、傾きf ( x0 )の
直線を描く
（２） 直線とx 軸との交点を
f ( x0 )
x1 
とおく
f ( x0 )
x1
x0
ニュートン‐ラフソン法（その3）
（１） 点 ( x1 , f ( x1 ))を通り、傾きf ( x1 )の
直線を描く
（２） 直線とx 軸との交点を
f ( x1 )
x2 
とおく
f ( x1 )
x2
x1
x0
ニュートン‐ラフソン法（その4）
（１） 点 ( x2 , f ( x2 ))を通り、傾きf ( x2 )の
直線を描く
（２） 直線とx 軸との交点を
f ( x2 )
x3 
とおく
f ( x2 )
（３） 一般にf ( xk ) の値が十分に0に
近くなったら終了
x3 x2
x1
x0
今週の課題（その１）
１. レポート用紙に書かれた関数に対して自分の手で
セカント法・ニュートン‐ラフソン法を実行し、解を求めよ。
また、セカント法・ニュートン‐ラフソン法それぞれが
得意・不得意とするする関数はどのようなものか、自分
の考えを述べよ。
締め切り：12月22日（金）11時まで
問題1：所定のレポート用紙に書いて提出
問題2,3,4：PCを使って提出
今週の課題（その２）
2. ニュートン‐ラフソン法のプログラムを作れ。
（セカント法のプログラムを参考に）
3. 下記の3種類の方程式に対して二分法、はさみうち法を
適用し、反復回数および解の精度を比べて2つの解法を
評価せよ。
(1) a cos( x)  bx （解の探索区間は [20,20])
(2) ax 3  x 2  b （解の探索区間は [20,20])
(3) ax  exp( bx) （解の探索区間は [0,20])
なお、上記の式の中で
a =学籍番号の下二桁目（０の場合は１０）
b = 学籍番号の下一桁目（０の場合は１０） とする。
例えば、A0071321の学生の場合 a = 2, b = 1
今週の課題（その３）
4. セカント法もしくはニュートン‐ラフソン法のプログラム
を改良して、元々のプラグラムより良い解が得られる
ようにせよ。
（プログラムをどのように改良したか、またその結果
解がどの程度改善されたかをきちんと書くこと）