Transcript その2

非線形方程式に対する
反復解法
(2回目)
先週の復習
非線形方程式 f(x)=0 を近似的に解く
f(x)がほとんど0となるような x を求める
反復解法
x を繰り返し更新、近似的な解を求める
反復解法の種類
•
•
•
•
二分法
はさみうち法
割線法(セカント法)
ニュートン‐ラフソン法
先週説明
今週説明
セカント法(その1)
非線形関数を線形関数で繰り返し近似
⇒近似解を求める
本当の解
近似解
(0)
セカント法(その2)
初期点 x0 , x1 を求める
(1) 2点 ( x0 , f ( x0 ))および( x1 , f ( x1 ))を
結ぶ直線を描く
(2) 直線とx 軸との交点を x2とおく
x2
x1
x0
セカント法(その3)
(1) 2点 ( x1 , f ( x1 ))および( x2 , f ( x2 ))を
結ぶ直線を描く
(2) 直線とx 軸との交点を x3とおく
x3
x2
x1
x0
セカント法(その4)
(1) 2点( x2 , f ( x2 ))および( x3 , f ( x3 ))を
結ぶ直線を描く
(2) 直線とx 軸との交点をx 4とおく
(3) 一般にf ( xk ) の値が十分に0に
近くなったら終了
x4 x3
x2
x1
x0
ニュートン‐ラフソン法(その1)
微分を使って非線形関数を近似
本当の解
近似解
x0
ニュートン‐ラフソン法(その2)
(0)初期点x0 を求める
(1) 点 ( x0 , f ( x0 ))を通り、傾きf ( x0 )の
直線を描く
(2) 直線とx 軸との交点を
f ( x0 )
x1 
とおく
f ( x0 )
x1
x0
ニュートン‐ラフソン法(その3)
(1) 点 ( x1 , f ( x1 ))を通り、傾きf ( x1 )の
直線を描く
(2) 直線とx 軸との交点を
f ( x1 )
x2 
とおく
f ( x1 )
x2
x1
x0
ニュートン‐ラフソン法(その4)
(1) 点 ( x2 , f ( x2 ))を通り、傾きf ( x2 )の
直線を描く
(2) 直線とx 軸との交点を
f ( x2 )
x3 
とおく
f ( x2 )
(3) 一般にf ( xk ) の値が十分に0に
近くなったら終了
x3 x2
x1
x0
今週の課題(その1)
1. レポート用紙に書かれた関数に対して自分の手で
セカント法・ニュートン‐ラフソン法を実行し、解を求めよ。
また、セカント法・ニュートン‐ラフソン法それぞれが
得意・不得意とするする関数はどのようなものか、自分
の考えを述べよ。
締め切り:12月22日(金)11時まで
問題1:所定のレポート用紙に書いて提出
問題2,3,4:PCを使って提出
今週の課題(その2)
2. ニュートン‐ラフソン法のプログラムを作れ。
(セカント法のプログラムを参考に)
3. 下記の3種類の方程式に対して二分法、はさみうち法を
適用し、反復回数および解の精度を比べて2つの解法を
評価せよ。
(1) a cos( x)  bx (解の探索区間は [20,20])
(2) ax 3  x 2  b (解の探索区間は [20,20])
(3) ax  exp( bx) (解の探索区間は [0,20])
なお、上記の式の中で
a =学籍番号の下二桁目(0の場合は10)
b = 学籍番号の下一桁目(0の場合は10) とする。
例えば、A0071321の学生の場合 a = 2, b = 1
今週の課題(その3)
4. セカント法もしくはニュートン‐ラフソン法のプログラム
を改良して、元々のプラグラムより良い解が得られる
ようにせよ。
(プログラムをどのように改良したか、またその結果
解がどの程度改善されたかをきちんと書くこと)