Transcript VLSI設計支援工学 2

VLSI設計工学 ２
• ２分決定グラフ（Binary Decision Diagram,
BDD）
– 論理関数の計算機上でのコンパクトな表現と
効率的な処理を実現するデータ構造
– VLSI用CADのうち、論理関数処理を行うもの
には広く利用されている
– CAD以外への応用も進んでいる
論理式の記法
• 論理変数は、基本的にアルファベット１文
字か、アルファベット１文字に数字を付加し
たもの
• 論理積は、省略する
• 論理和は「＋」
• 否定は、否定を取るべき式の最後に「‘」を
付けるか、アッパーラインを引く
• 排他的論理和は「＠」であらわす
２分決定グラフ
（Binary Decision Diagram, BDD）と
は？
• 真理値表は、２分決定木で表現できる
• ２分決定木で、根から葉に至るすべてのパスで
同じ変数順を使用する
• 同型のサブ木を共有できる（グラフになる）
• 論理関数の正規表現（Canonical form）
– 論理関数が等価であれば、同型のグラフになる
• 多くの実用的な論理関数をコンパクトに表現でき
る
２分決定グラフ
（Binary Decision Diagram, BDD）と
は？
Removal of
equivalent
nodes
X1
X2
X2
X3
0
X3
1
0
X3
1
0
X3
1
1
1
Removal of
redundant
nodes
X1
0
X2
X2
X3
X3
1
X1
X2
X3
0
1
順序付BDDとFree BDD
• 根から葉へのすべてのパスで同じ変数順ではな
く、パスごとに異なる変数順→Free BDD
• どのパスでどういう変数順を使うかを前もってき
めていれば、論理関数の正規形という性質は保
存される
X1
X1
0
1
0
X2
X2
1
0
0
1
1
1
0
X5
0
0
1
OBDD
X3
1
1
0
X4
0
1
X4
0
0
X5
0
X3
0
X4
1
0
1
X4
0
0
X3
1
X2
1
1
X4
0
1
X3
0
0
X2
0
X3
1
1
1
FBDD
1
1
BDDの例
x1 x2 x3
4x
x1 + x2 + 3x + 4x
x1
x1
x2
x1
x2
x3
x3
x4
x4
1
0
0
(a) And
1
(b) Or
x1 + x2 + 3x + 4x
x2
x2
x3
x3
x4
x4
0
1
(c) Ex-Or
セレクタ関数に対応するBDD
s2
s1
s0
s1
s0
s0
s0
d0
d1
d0
d1
d2
d3
Out
d4
d7
d5
d6
d7
s0 s1 s2
0
1
BDD間の論理演算（apply演算）
• h = f ◇ g = v’(fv=0 ◇ gv=0) + v(fv=1 ◇ gv=1)
1. fかgが定数の時やf=g, f=g’の時は、対応
する演算を実行する
例： f・0 = 0, f + f = f, f @ 1 = f’, …
2. fの変数とgの変数が同じならば、新しい
ノードを生成し、
h0←f0◇g0, h1←f1◇g1 とする
3. Fの変数がgの変数よりも順序が先なら
ば、新しいノードを生成し、
h0←f0◇g, h1←f1◇g とする
Apply演算の例
x1
x1 x 2 + x3
x1
x1
x2
x3
x1 x 2
1
0
AND
OR
0
x1
x2
x2
x3
0
1
x2
x3
0
1
0
1
1
複数の論理関数でBDDを共有：
共有２分決定グラフ（Shared BDD）
X2 1
0
x1’+x2
x1’
x1@x2
x1x2
X2
0
X2
0
1
1
X1 1
0
0
1
X1
0
1
否定エッジ
x2
x1
x2
x2
0
x1
1
x1
x2
x2
0
0
1
0
0
x2
x2
1
1
x1
1
x1
x1
0
0
1
1
0
x1
BDDの大きさは、使用する変数順に
大きく依存
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Worst
1
0
Best
3
0
1
1
3
1
0
0
5
2
0
0
5
1
0
5
0
1
3
1
2
4
0
0
1
4
1
4
1
2
0
1
1
0
0
1
1
6
0
0
0
5
0
5
1
2
0
0
1
1
6
1
1
0
0
1
0
1
2
1
BDDの変数順決定
最適変数順決定は、NP完全問題
• ヒューリスティックにおける基本的な考え方
– 互いに関連する変数は近づける
– 制御系の変数は前にもってくる
s2
s1
s0
s1
s0
s0
s0
d0
d1
d0
d1
d2
d3
Out
d4
d7
d5
d6
s0, s1, s2は制御変数
d7
s0 s1 s2
0
1
BDDの変数順決定
• 回路から変数順の決定のためのヒューリ
スティックの考え方
– 回路を深さ優先で出力から入力へ辿る
– 入力数の多いゲートを優先する
– ファンアウト数の多いゲートを優先する
x0
x1
x2
x3
x4
Depth first traversal:
x0, x1, x2, x3, x4
or
x2, x3, x0, x1, x4
(with fanout consideration)
変数順の改良
• 隣り同士の変数の交換はそこだけつなぎかえれば
よい
i-1
(A) i+1
(B) i+1
i
f1
i-1
i-1
(C) i+1
i
f3
i
f2
i-1
(D) i+1
(A)
i
i
i+1
f4
f1
(B)
i-1
i
i-1
i
i+1
f2
(E)
i+1 (D)
f3
f4
• これを繰り返せば、任意の変数順へ変更できる
• よく使われるヒューリスティック
– 隣同士の２，３，４変数間での交換
– 各変数を最初から最後まですべて移動し、最適なところ
に置く（siftヒューリスティック）
回路からBDDの生成
X1
X2
X2
0
X2
1
1
X1
0
0
X2
X1
1
1
1
0
1
1
1
X1
0
0
0
0
X2
1
1
0
X2
0
0
X1
0
0
1
X1
1
0
0
1
0
1
1
1
X1
0
1
BDDの計算機上での表現
変数 ０エッジ １エッジ
0
1
2
3
4
5
6
ー
ー
ー
ー
ー
ー
１
０
１
１
１
０
２
０
３
２
２
３
２
２
１
←
←
←
←
←
←
←
０
１
x1
x1’
x2x1’
x1 @ x2
x1’ + x2
回路からBDDを生成するもう１つの方法
• BDDを入力から出力へ順に作っていくと、途中で
BDDが大きくなりすぎることがある
• そこで、ある程度大きくなったら、そこで回路を仮
に切断し、そこから先は新たな変数を導入して、
BDDを作っていく
• 回路の出力のBDDが作れたら、先ほど導入した
変数をcompose演算で取り除く
• Applyでうまくいかない時でも、BDDを作成できる
ことも多い
回路から、applyに基づくBDDの生成
X1
X3
X4
X5
X2
X3
X4
0
X3
X1
X1
X4
1
X2
X5
0
X1
X3
1
X3
X4
X3
X4
X5
1
X2
X4
X5
0
0
X5
1
1
0
新規中間変数の導入
Cut here and introduce an intermidiate var: t
X1
X3
X
X4
X5
X2
X2
0
X2
1
1
X1
0
0
X2
X1
1
1
1
0
1
1
1
X1
0
0
0
0
X2
1
1
0
X2
0
0
X1
0
0
1
X1
1
0
0
1
0
1
1
1
X1
0
1
Compose 演算の実行
t
X1
X1
X3
X2
X2
X4
=
composed with
t
X3
X5
X4
1
0
0
1
X5
1
0
宿題
• 次の関数の２分決定グラフ（BDD）を作成して、
図示せよ。ただし、変数順はx1, x2とする
– F1 = x1・x2’ + x1’・x2
– F1 = x1’・x2’ + x1・x2
• 次の関数を２分決定グラフで表現したときに、
ノード数が最大となる変数順と、最少となる変
数順の例を示せ。
– F3 = x1・x2・x3・x4 + x5’・x6’・x7’・x8’