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物理フラクチュオマティクス論
Physical Fluctuomatics
第8回 物理モデルにおける「More is different」と「ゆらぎ」
8th “More is different” and “fluctuation” in physical models
東北大学 大学院情報科学研究科 応用情報科学専攻
田中 和之(Kazuyuki Tanaka)
[email protected]
http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/
本講義のWebpage:
http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/PhysicalFluctuomatics/2007/
29 May, 2007
物理フラクチュオマティクス論(東北大)
1
今回の講義ノート
田中和之著: 確率モデルによる画像処理技術入門,
第5章, 森北出版, 2006.
参考図書
西森秀稔:相転移・臨界現象の統計物理学,
培風館,2005.
宮下精二:熱・統計物理学,培風館,1993.
29 May, 2007
物理フラクチュオマティクス論(東北大)
2
たくさんが関連して集まり構成されたシステム:
情報と物理が扱う対象に共通する概念
ビットが集まってデータを形成し,コトとなる.
主な研究対象
情報工学:コト
データ
物理:モノ
0,1
ビット
101101
110001
01001110111010
10001111100001
10000101000000
11101010111010
1010
コト(データ)
物質・自然現象
並びをきちんと決めることによって意味のある文章になる.
共通点:たくさんが関連
分子が集まって物質を形成し,モノになる.
分子
分子同士は引っ張り合っている.
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モノ(物質)
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More is Different
宇宙
社会
素粒子物理学
クォーク
中性子
生命
材料
陽子
原子核
物質
物性物理学
電子
原子
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分子
化合物
More is different
P. W. Anderson
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自然現象と物理モデル
水はなぜ氷になるのだろう?
冬になると何故,結露が起こるのだろう?
鉄は何故,磁石になるのだろう?
鉄や銅は何故,電流は流すのだろう?
低温になると電気抵抗がなくなる物質があるらしい!!
高温になると鉄は磁石にならなくなるらしい!!
・
・
・
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強磁性体と確率モデル
線分で結ばれたノード対の
スピン同士が同じ向きを向
くほど確率が高くなるよう
に確率モデルを設計
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スピンがいくつか集まると周りのスピンの状
態をよく見ながら自分の状態を決めないとい
けなくなる もっとたくさん集まったらどうなるか?
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強磁性体の確率モデルと More is different
p
p
p
マルコフ連鎖モン
テカルロ法による
サンプリング
p
p が小さい
p が大きい
無秩序状態
秩序状態
More is different.
ある p の値の付近で
ゆらぎが大きくなる.
量が増えれば質が変わる
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外場をもつ簡単な磁性体のモデル
a 1
P (a )
e
h
exp( ha )
h 0
exp( ha )
e
+1
-h
-1
a 1
h が正値なので白(下向きスピン)の確率が高くなる.
平均
m
aP ( a ) tanh( h )
h :外場
a 1
分散
V a
2
( a - m ) P ( a ) 1 - tanh
2
(h)
a 1
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相互作用をもつ簡単な磁性体のモデル
P ( a1 , a 2 )
exp( Ja 1 a 2 )
exp( Ja 1 a 2 )
a1 1 a 2 1
a1 1
a 2 1
J 0
J :相互作用
e
J
e
J が正値なので白白と黒黒の
確率が高くなる.
平均 m 1
V a 1
a1 P ( a1 , a 2 ) 0
-1
e
+1
-J
-1
+1
a1 1 a 2 1
分散
-J
-1
J
-1
+1
+1
e
2
( a1 - m 1 ) P ( a1 , a 2 ) 1
a1 1 a 2 1
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相互作用をもつ簡単な磁性体のモデル
P ( a1 , a 2 )
exp( Ja 1 a 2 )
exp( Ja 1 a 2 )
a1 1 a 2 1
J :相互作用
a1 1
a 2 1
J 0
e
J
共分散
e
Cov a 1 , a 2
( a1 - m 1 )( a 2
-J
-1
e
-1
J
-1
+1
+1
e
+1
-J
-1
+1
- m 2 ) P ( a1 , a 2 )
a1 1 a 2 1
tanh( J )
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強磁性体の基本的な確率モデル
a ( a1 , a 2 , , a N )
1
P (a )
exp - E ( a )
Z
Z
ai 1
ai -1
exp( - E ( a ))
B:すべての最近接ノード対の集合
a
E (a ) - h
i
ai - J
ai a j
ij B
h
J
h
J
エネルギーの役割を果たし,エネルギーが低い
状態ほど確率が高くなるようにデザインされる.
どのノードから周りを
見回しても同じにみえる
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強磁性体の基本的な確率モデル
a ( a1 , a 2 , , a N )
1
P (a )
exp - E ( a )
Z
E (a ) - h
B:すべての最近接ノード対の集合
ai 1
ai
- J
i
ij B
h 0
a1 1 a 2 1
Cov [ a i , a j ] lim
h 0
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h
J
J>0
ai a j
N が有限値である限り,平均も共分散も J の解
析関数
m i lim
h
N | | 9
| B | 12
ai P (a )
a N 1
a1 1 a 2 1
( a i - m i )( a j - m j ) P ( a )
a N 1
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12
強磁性体の基本的な確率モデル
a ( a1 , a 2 , , a N )
1
P (a )
exp - E ( a )
Z
E (a ) - h
ai
- J
i
N
Cov [ a i , a j ] lim
h
J
ai 1
J
どのノードから周りを
見回しても同じにみえる
ではどうなるだろう?
h 0 N
m i a i lim
ai a j
ij B
lim
h
a1 1 a 2 1
lim
1
h 0 N N
( a i - m i )( a j - m j ) P ( a )
a N 1
N
ij B
ai P (a )
i 1 a
自発磁化 (Spontaneous Magnetization)
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大きさが有限と無限大でどう違うか?
ai 1
1
P (a )
exp - E ( a )
Z
E (a ) - h
ai
- J
i
h
ai a j
J>0
ij B
N が有限であれば
h 0
lim
ai P (a )
a
h 0 N
lim
ai P (a )
N | | 9
P (a ) 0
a i h lim
0
a
N が無限大であれば
lim
h
J
| B | 12
h
J
h
J>0
a
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a
lim
P
(
a
)
i
N
h 0
a
lim
物理フラクチュオマティクス論(東北大)
どのノードから周りを
見回しても同じにみえる
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大きさが無限大だと何が起こるか?
ai 1
1
P (a )
exp - E ( a )
Z
E (a ) - h
ai - J
i
h
h
J
J>0
ai a j
ij B
自発磁化 (Spontaneous Magnetization)
a i lim
lim
h 0 N
ai P (a )
0.8
a
0.6
0
-4
1/8
( J ))
(1 - sinh
h 0 N
a i a j lim
1.0
lim
(sinh( J ) 1)
(sinh( J ) 1)
ai a j P (a )
J での微分が発散
0.4
0.2
1.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
J
a
/2
2
2
2
2
J coth( 2 J ) 1 ( 2 tanh ( 2 J ) - 1)
1 - k sin d
0
k
2 tanh 2 J
ij B
cosh 2 J
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
J
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1.0
大きさが無限大だとゆらぎは
どうなるか?
1
P (a )
exp - E ( a )
Z
E (a ) - h ai - J
i
h
J
h
J>0
ai 1
どのノードから周りを
見回しても同じにみえる
ai a j
ij B
1.0
Cov [ a i , a j ]
h 0 N
lim
lim
( a i - a i )( a j - a i ) P ( a )
a
ij B
最近接ノード間のゆらぎが
J=0.4406...で最大になり,し
かも特異性を示す.
29 May, 2007
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
物理フラクチュオマティクス論(東北大)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
J
16
ゆらぎが大きいときに何が実
際に起こっているのか?
h
1.0
J
h
J>0
0.8
Cov [ a i , a j ]
ij B
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
J
1.0
29 May, 2007
どのノードから周りを
見回しても同じにみえる
J が大きい
J が小さい
無秩序状態
ゆらぎが大きく点の近くのパターン
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秩序状態
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ゆらぎが大きいときに何が実際に起
こっているのか?
遠く離れたノード間で
| ri - r j |
のゆらぎも大きく残る
h
J
h
J>0
-1 / 4
Cov [ a i , a j ] ~| ri - r j |
Cov [ a i , a j ] ~
1
e
| ri - r j |
- | ri - r j | /
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どのノードから周りを
見回しても同じにみえる
J が大きい
J が小さい
無秩序状態
ゆらぎが大きくなる点の近くのパターン
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秩序状態
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ゆらぎが大きいときのパター
ンを画像処理に使えるか?
h
1.0
ij B
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
29 May, 2007
h
J>0
0.8
Cov [ a i , a j ]
J
0.2
0.4
0.6
0.8
J
1.0
物理フラクチュオマティクス論(東北大)
どのノードから周りを
見回しても同じにみえる
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今回のまとめ
More is different
強磁性体の確率モデル
共分散におけるゆらぎ
29 May, 2007
物理フラクチュオマティクス論(東北大)
20