Transcript IV. GISデータの変換・統合

IV. GISデータの変換・統合
IV. GISデータの変換・統合
GISのデータには様々なものがあり，それぞれ
データ形式や作成時点，投影法などばらばらで
あることが少なくない．
データを組み合わせて使うときには，データの変
換が必要になることがある．
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IV-1 空間参照系（georeferencing system）の変換
オブジェクトの位置を示す方法
1) 緯経度座標系（Latitude/Longitude system）
オブジェクトの位置を緯度と経度で示す
GPS
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2) UTM格子座標系（Universal Transverse
Mercator Grid System）
横メルカトル図法に基づき，地表面を経度6度，緯
度8度ごとの格子で区切ったもの
各地点の位置は，それが含まれる格子の記号と，
格子の原点からのXY座標で表される．
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3) 平面直角座標系（19座標系，日本）
日本全国に19の原点を設け，それぞれの原点を
中心に平面直角座標系を構成したもの
狭い範囲の空間データでは標準的に用いられる．
第IX系
原点：
北緯36°0′0″， 東経139°50′0″
（千葉県野田市の北端）
適用範囲：
東京都（XIV系、XVIII系及び XIX系に規定する区域
を除く），福島県，栃木県，茨城県，埼玉県，千葉県，群
馬県，神奈川県
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4) 階層式直角座標系（標準メッシュ，日本）
1次メッシュ：東西1度，南北40分
２次メッシュ： 1次メッシュを縦横それ
ぞれ8分割
３次メッシュ： 2次メッシュを縦横それ
ぞれ10分割（約1km*1km）
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5) 住所
日本の場合，街区単位（例外：京都）
但し，住居表示未実施の場合，
街区に複数の住所が含まれることがある．
アメリカの場合，通り単位
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空間参照系の変換は，最近ではツールを使って
ほぼ自動的に行うことができる
例：
緯経度座標系
平面直交座標系
住居表示
緯経度座標系
（アドレスマッチング）
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IV-2 投影法の変換
投影法のいろいろ
1.
2.
3.
方位図法
円錐図法
円筒図法
方位図法
円錐図法
円筒図法
gnomonic
stereographic
orthographic
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投影法の変換も，最近ではツールを使ってほぼ
自動的に行うことができる
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IV-3 平行移動，拡大・縮小，回転
これらの変換はAffine変換の一部を構成する．
GISでは数値を与えれば自動的に変換が行われる．
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IV-4 ゴムシート処理
ゆがみを持つ地図の修正
投影法のわからない地図の変換
例：
古地図
手描きの地図
萬宝御江戸絵図 １８６1年 18×12cmの携帯用地図
Sketch map of an 8-year-old child
One resident's personal map of New York City
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IV-5 補間（spatial interpolation）
いくつかの地点だけでわかっているデータから，
全域の値を推定する
127
？
135
119
112
108
124
121
標本点
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離散補間
補間（狭義）
連続補間
補間（広義）
補外
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なぜ，補間が重要か？
空間や時間は連続であり，それらをデジタルな形で
完全に表現することは不可能である．
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IV-5.1 離散補間
発想：近いところにある点同士の値は近い
境界線で区切られた領域内の値を標本点の値で
代表する
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IV-5.2 連続補間1 － 1次元における補間
GISデータは通常2次元であるが，補間を理解する
にはまず1次元の場合から始めた方が分かりやすい
ので先に1次元の場合について説明する．
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標本点
節点
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補間は基本的に，標本値に挟まれた各区間ごとに，
何らかの関数を当てはめるという方法で行う．
連続補間では通常，区間の境界部分（節点と呼ば
れる）で関数値を一致させる（離散補間との違い）．
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スプライン関数・・・
各区間の補間に多項式を用いる場合，その関数を
スプライン関数と呼ぶ．連続補間の場合，必ずスプラ
イン関数を用いるというわけではないが，その扱い
易さゆえ，利用されることは多い．
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区間数：m
区間iにおけるスプライン関数
f i  x   a io  a i1 x  a i 2 x    a in x
2
n
従って， m(n+1)個の未知パラメータ数を推定すれ
ば，全体を補間することができる．
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スプライン関数の拘束条件
1)
関数は必ず各節点を通過する
2)
節点において二つの関数は1, 2, …, n – 1次導関
数まで連続する．
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未知パラメータ数： m(n+1)
拘束条件1)により減少する自由度： 2m
拘束条件2)により減少する自由度： (m – 1)(n – 1)
従って，全体の自由度は
m(n+1) – 2m –(m – 1)(n – 1)= n – 1
である．
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自由度n – 1ということは，n=1（一次関数）であれば
スプライン関数は一意に定まることを意味している．
他方， n≧2の場合には，前述の拘束条件だけではス
プライン関数を定めることができない．この場合，さら
にいくつかの条件を付加することで関数を定める．
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1) 線形補間（linear spline）
1次関数による補間
自由度0：スプライン関数は一意に定まる
標本点を結ぶ折れ線
Linear spline
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2) 2次補間（quadratic spline）
2次関数による補間
自由度1
スプライン関数の定め方：
ある一点（例えば端点）における一次導関数の値を
与える
全長を最小にするパラメータ推定
Quadratic spline
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3) 3次補間（cubic spline）
3次関数による補間
自由度2
スプライン関数の定め方：
両端点における一次導関数値を与える（端点と，そ
の隣接点を結ぶ直線の傾きなど）．
Qubic spline
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3次補間の特徴
1)
滑らかさと振動の大きさのバランスが良い（4次以
上の関数にすると，振動が大きくなり，補間が自
然に行われなくなる．
2)
あらゆる関数の中で，曲率の総和を最小にする．
3)
自在定規の持つ関数（物理的に無理のない曲
線）
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4) 応用：平面上の点を結ぶ補間
スプライン関数
ベジェ曲線
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IV-5.3 連続補間2 － 矩形格子に基づいた，2次
元における補間
67
71
72
69
64
65
59
66
67
75
74
70
69
60
60
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78
79
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71
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82
84
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73
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88
86
83
80
78
77
66
75
72
76
74
70
69
区間数 mx個
区間数
my個
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各格子内で，それぞれ異なるスプライン関数を考え
る．いま，スプライン関数の次数をnとすると，未知パ
ラメータの数はmxmy (n+1)2である（平面における多項
式では， n次関数のパラメータ数は(n+1)2 である）．
このうち，拘束条件を考えると，全体の自由度は
(mx+my+2)(n – 1) + (n – 1)2
である．
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1) 共線形補間（bilinear spline）
1次関数による補間（注：平面ではない！）
f  x   a 00  a10 x  a 01 y  a11 xy
自由度0：スプライン関数は一意に定まる
A surface generated through the bilinear spline method
A surface generated through the bilinear spline method
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2) 共2次補間（biquadratic spline）
2次関数による補間
f  x   a 00  a 10 x  a 01 y  a 11 xy
 a 20 x  a 02 y  a 21 x y  a 12 xy  a 22 x y
2
2
2
2
2
2
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自由度：mx+my+3
Ｘ軸上・Y軸上の端節点における1次導関数と，原
点におけるxyによる1次導関数を与えると，関数を定
めることができる．
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実際の補間の手続きでは， 1次導関数を定めた境
界線部分から順番にスプライン関数を求めていく．
A surface generated through the biquadratic spline method
A surface generated through the biquadratic spline method
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3) 共3次補間（bicubic spline）
3次関数による補間
f  x   a 00  a 10 x  a 01 y  a11 xy
 a 20 x  a 02 y  a 21 x y  a12 xy  a 22 x y
2
2
2
2
 a 30 x  a 03 y  a 31 x y  a13 xy
3
3
3
 a 32 x y  a 23 x y  a 33 x y
3
2
2
3
3
3
3
2
2
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自由度： 2 mx+ 2 my+8
両Ｘ軸上・Y軸上の端節点における1次導関数と，4
端点におけるxyによる1次導関数を与えると，関数を
定めることができる．
A surface generated through the bicubic spline method
A surface generated through the bicubic spline method
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IV-5.4 連続補間3 － 不規則三角格子網
67
72
71
66
69
60
67
61
72
75
79
60
70
64
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76
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75
66
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70
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78
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各点を結ぶドローネ三角網（各点を三角形で結ぶ
方法の一つ）を構築
A point distribution
Two triangulations
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ドローネ三角網では，各三角形の形状が比較的正
三角形に近い（極端な鋭角や鈍角がない）
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各三角形の内部では，スプライン関数による補間
を行う．
なお，ドローネ三角網はGISで簡単に構築できる．
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IV-6 kriging － 連続補間4
地形学や地質学などで良く用いられる方法
南アフリカの地質学者D. G. Krigeによって開発さ
れ，その名前が方法の名前になっている．
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IV-6.1 バリオグラム（variogram）
分析領域R
連続分布関数f(x)
R
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バリオグラム関数g(h)
g h  
 
x R
 f  x   f t  d t d x
2
t R , x  t  h
2
x R

d td x
t R , x  t  h
この関数は，分析領域Rにおいて，距離がhだけ離
れた2点間での，連続分布関数f(x)の値の差の二乗
の平均値である．つまり，空間的にどのくらい距離が
離れると，関数の値がどのくらい異なるのかを表現し
たと考えればよい．
1.0
g(h)
0.8
0.0
0.4
0.2
0.0
0.0
1.0
nickel concentrations in north Vancouver Island
2.0
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バリオグラム関数は，実際のデータから求められる
ものである．しかし，様々なデータについて関数を求
めると，いくつか典型的なパターンが見られる．
linear
spherical
exponential
quadratic
wave
power
typical Variograms
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バリオグラムは，距離hの関数として表されることが
多い．しかし，方向による差異を考慮し，方向別のバ
リオグラムを作成することも少なくない．
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バリオグラムと 似た関数として，コバリオグラム
（covariogram），コレログラム（correlogram）がある．
C h  
 
x R
t R , x  t  h
 f  x     f t    d t d x
 
x R
 h  
 
x R
t R , x  t  h

2
d td x
t R , x  t  h
 f  x     f t    d t d x
 
x R
d td x
t R , x  t  h
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ここで，と2はそれぞれ連続分布の平均と分散
 

x R
f  x d x
S
  f x     d x
2

2

x R
S
である．
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コバリオグラムは，確率分布における共分散と同じ
形をしている．即ち，連続分布関数f(x)が確率的に決
定されると考えた場合，距離hだけ離れた2点間の
f(x)の共分散はコバリオグラムC(h)で与えられる．
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バリオグラム，コバリオグラム，コレログラムの関係
は，
C h     g h 
2
 h  
C h 

 1
2
g h 

2
であり，これらは同等と考えて良い．
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IV-6.2 krigingの一般論
88
81
78
82
77
64
86
76
76
83
84
75
59
74
80
74
65
61
標本点：P1, P2, …, Pn
標本点iの位置ベクトル：xi
標本点iにおける連続分布の値：f(xi)
66
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各地点におけるf(x)の値は，何らかの確率分布に
従って決定される（確率現象である）と考える．
また，任意の地点xにおけるf(x)の値は，周囲の標
本点におけるf(x)の線形和を用いて推定する．
fˆ  x  
n
 w x  f x 
i
i
i 1
従って，ウェイトwi(x)を如何に決定するかがkriging
の中心課題である（ここで，ウェイトが地点xの関数で
あることに注意）．
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ここで，標本値f(xi)とウェイトwi(x)をまとめてベクト
ル表記しておく．
 f x 1  


 f x 2  
f 
 


 f x  
n 

 w1  x  


 w 2 x  
w x   
 


 w x  
 n

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IV-6.3 simple kriging
f(x)の従う確率分布について，以下の仮定を置く．
1) E[f(x)]=0（地点によらず期待値は0である）
2) 任意の2地点におけるf(x)の共分散は，地点間距
離のみの関数として与えられる．





E  f  x i   E  f  x i  f x j   E f x j    E f  x i  f x j 

 C xi  x j

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地点xにおける，f(x)の推定値の誤差の期待値は，


E fˆ  x   f  x  
n
 w  x E  f  x   E  f  x 
i
i
i 1
0
となり，地点によらず0である．即ち，推定量は不偏
推定量である．
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一方，f(x)の推定値の平均二乗誤差は，








2
2
2



ˆ
ˆ
E f x   f x 
 E f  x    E  f  x   2 E f  x  fˆ  x 




  w x w x C  x
n

n
i
i 1
w
T
j
i

 xj 
j 1
n
2
 2  w i  x C  x  x i
i 1
 x Cw  x    2  2 w T  x c  x 
である．但し，2=C(0)かつ，
2



 C  x 2  x1
C

Cx  x
n
1


C  x1  x 2


2


Cxn  x2

C  x1  x n  

C  x 2  x n 
,

2



 C  x  x1

C x  x2
c x   


Cx  x
n








IV. GISデータの変換・統合
推定値の誤差はできるだけ小さいことが望ましい．
そこでここでは，推定値の平均二乗誤差が最小にな
るようにウェイトw(x)を決定する．
実際の計算には，平均二乗誤差をw(x)で微分し,=0
とおけばよい．その結果，
w x   C c x 
1
を得る．
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従って推定値は，
fˆ  x  
n
 w x  f x 
i
i
i 1


 C c x  f
c
となる．
1
T
 x C
T
1
f
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ここで問題は，f(x)の共分散を与えるコバリオグラ
ムC(h)の決定である．simple krigingでは，この関数
は理論的に考えられるいくつかのモデルの中から，
既知の値に適合するものを選んで利用する．なお，
コバリオグラムは通常，hの減少関数である．
例： C(h)=100e-h
C(h)=1/(h+0.001)
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例：
183.0
122.0
22.63
-38.37
148.0
?
176.0
-12.37
160.0
-0.37
15.63
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0.066
0.225
0.351
0.128
0.107
（数字はウェイトを表す）
 3h 
C  h   20 exp  

 100 
fˆ  x   150 . 5
IV. GISデータの変換・統合
simple krigingの問題点
1) 地点によらずf(x)の期待値が0であるという仮定は
強く，現実には成立しないことが多い．
2) コバリオグラムC(h)の決定方法が恣意的である．
3) ウェイトw(x)の成分の和が1ではない．
IV. GISデータの変換・統合
このうち，
2) コバリオグラムC(h)の決定方法が恣意的である．
の問題点は，コバリオグラムC(h)を未知パラメータを
含む理論モデルの形で定め，実際のデータからモデ
ルに含まれるパラメータ推定を行うことである程度解
決することができる．
IV. GISデータの変換・統合
IV-6.4 ordinary kriging
simple krigingの問題点のうち，
3) ウェイトw(x)の成分の和が1ではない．
を解決し，ウェイトw(x)の成分の和=1とした方法
IV. GISデータの変換・統合
他の仮定や方法は全て同じである．即ち，f(x)の推
定値の平均二乗誤差


2
T
2
T

E fˆ  x   f  x    w  x Cw  x     2 w  x c  x 


を最小化する．但し，ウェイトに関する条件
w
T
x 1  1
が付される．条件付きの最小化問題であるので，
Lagrangeの未定乗数法によりw(x)を算出する．
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例：
0.094
0.251
0.363
0.151
0.141
（数字はウェイトを表す）
 3h 
C  h   20 exp  

 100 
fˆ  x   150 . 5
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ordinary krigingの問題点
1) 地点によらずf(x)の期待値が0であるという仮定は
強く，現実には成立しないことが多い．
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IV-6.5 universal kriging
ordinary krigingの問題点を解決し，f(x)の期待値が
地点によって異なることを明示的に考慮した補間方
法
IV. GISデータの変換・統合
f(x)の従う確率分布に関する仮定
1) E[f(x)]=(x)
2) 任意の2地点におけるf(x)の共分散は，地点間距
離のみの関数として与えられる．
 f x   E  f x  f x   E  f x 
 E  f  x  f x     x  x 
E
i
i
i

 C xi  x j
j

j
i
j
j
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ウェイトに関する条件
w
T
x 1  1
IV. GISデータの変換・統合
すると，f(x)の推定値の平均二乗誤差は以下の式
で与えられる．


2
T

ˆ
E f  x   f  x    w  x Cw  x   


2
 2w
T
 x c  x 
 w  x  μ μw  x   2   x w
T
但し，
  x 1 

 0
μ 

 0

T
0
 x 2 

0


0 


  x n  
0
T
 x μ
IV. GISデータの変換・統合
そして，最小化問題


min E  fˆ  x   f  x  


w  x  ,μ
2
を，
subject to w T x 1  1
という制約条件の下で，Lagrangeの未定乗数法によ
り解くことで，w(x)及びが得られる．
IV. GISデータの変換・統合
なお，最近の統計パッケージの中には，krigingの
計算を自動的に行うものが少なくない（代表的なもの
ではS-PlusのSpatialStat）．従って，実際にLagrange
の未定乗数法をプログラムで作成する必要はそれほ
どない．
IV. GISデータの変換・統合
IV-6.6 その他

block kriging
いくつかの地点での値を推定するのではなく，ある
領域における平均値を効率的に推定する方法

cokriging
二つの連続分布関数を，互いの情報を利用しなが
ら同時に補間する方法
IV. GISデータの変換・統合

disjunctive kriging
標本値の線形和ではなく，非線形関数を用いて推
定を行う方法

cross validation
補間して得られた値の精度を調べるために，標本
点における値を他の値から推定し，その推定誤差を
評価する方法
IV. GISデータの変換・統合
IV-6.7 スプラインとkrigingの比較（私見）
スプライン
kriging
利用者
画像処理など
地形・地質学など
方法
自動的
半自動的
機構
（若干）不明確
明確
個別性
対象によらない
対象に依存
IV. GISデータの変換・統合
IV-6.8 今後の話題
補間精度の検討
補間法の比較
時空間補間
高次元補間