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プログラム理論特論 第３回 亀山幸義 [email protected] http://logic.is.tsukuba.ac.jp/~kam/progtheory 型のないλ計算（復習） 「関数」の概念（のみ）を定式化 変数 関数の構成（λ式、λ抽象） 関数呼び出し（関数適用） 非常に小さなプログラム言語 構文論と意味論 理論的な性質 計算規則の健全性 非決定的な計算と合流性 停止性は不成立 計算の健全性 計算規則の健全性 Γ|- M：Λ かつ M⇒。。。⇒Nならば Γ|- N:Λ である プログラムを計算（式の変形）をしている途中 でプログラムでないものが現れない（おかしな 状態になったりしない）ことを保証 証明は、計算列の長さに関する帰納法 合流性 非決定的な計算と合流性 λ式Mからはじめて複数の経路で計算できる （λx.x)((λｙ.y)z) しかし、どの経路も合流させることができる M⇒。。。⇒N かつ M⇒。。。⇒L ならば、 あるλ式Pがあって、 N⇒。。。⇒P かつ L⇒。。。⇒P とできる 計算が停止すれば、その値（計算結果となるλ 式）は一意的である、どういう順番で計算して もよい プログラムの最適化などに応用（定数のみを 含む式などはコンパイル時に計算） 停止性 停止しない計算がある ω ≡ (λx. x x)(λx. xx) とすると {} |- ω:Λ が成立する ω ⇒ ω ⇒ … (無限ループ） このようなωはいったいどういう計算をあら わしているのだろうか？ 答え１： 無意味だからプログラムとして認める べきでない 答え２： 意味を与えるべき 型付きλ計算 ーInformal Introductionー 型付きλ計算とは？ 型のないλ計算に型の概念を加えたもの 型とは データ型の概念 （の一般化） データの種類；同じ操作ができるデータの集合 基本型：Int （整数型）、real （実数型）、、、、 型構成子： array, record, variable record, pointer (PASCAL言語）, array, struct, union, pointer (C言語) 基本型から型構成子を使って構成したもの 計算機上の表現（実装）から考えると 同じサイズおよび同じ形式で表現できるデータの集合 型の有用性 型の有用性 プログラムがわかりやすくなる プログラムにおけるバグが早期に発見できる コンパイラが型の整合性を自動的にチェック 整数型の変数に関数へのポインタを代入しようと する、等の誤りの発見 型情報を用いて、より高速なコードを生成でき る可能性がある x+y という式は整数の場合と実数の場合とを見分 けなければならないが、整数とわかっていれば機 械語の加算命令をいきなり呼べばよい 型の有用性（つづき） 型の有用性 型システムがきちんとできている場合、以下の 性質が成立する 型検査をプログラム実行前にしておけば、プログラ ム実行中は型エラーは起きない これが、この講義の眼目 詳細は後で 関数の型とは？ 実は、関数のない場合の型の整合性検査 はやさしい 本質的なのは、関数に対する型があるとき 関数の型の整合性とは？ f(x)=x+1 という関数定義に対して、 f(“abc”) という呼び出しはエラー f(f(3)) はOK f(x,g)=g(x) という定義の場合は？ 型付きλ計算 ーFormal Introductionー 構文 型(Type) 型定数 α, β, …は型 （有限個または無限個） A,Bが型ならば、A→Bは型 （型構成子は→だけ） A : Type α : Type B : Type A→B : Type 構文 変数 文脈 型Aごとに、変数 xA, yA, … がある（無限個の変数が ある） 変数の有限集合を文脈と呼び、Γ、Δ等であらわす 例： Γ＝｛xα, y（α→β）→（α→β）} 判断 Γ|- M : A と言う形の表現 Γという文脈のもとで、項Mは型Aをもつλ式である 項Mは型Aをもつλ式であり、その自由変数はΓである。 構文 項の構成規則 Γ|- M : B Γ|-x : A (xA∈Γ) Δ|- λxA.M : A→B Δ=Γ－{xA} Γ|- M : A→B Γ|- N : A Γ|- MN : B 例題 Δ|- f : α→α Δ|- x : α Δ|- f : α→α Δ|- f x : α Δ|- f (f x) : α Γ|- λx. f (f x) : α→α {}|- λf. λx. f (f x) : (α→α) →(α→α) Γ={fα→α} Δ={fα→α, xα} 定義 型なしλ計算と同じ定義 自由変数、束縛変数 束縛変数を一斉に名前換え 計算規則 代入 計算:例題 (λfint→int. λxint. f (f x))(λyint. y+5) ⇒λxint.(λyint.y+5)((λyint.y+5)x) ⇒λxint.(λyint.y+5)(x+5) ⇒λxint.(x+5)+5 int→int. λxint. f (f x))(λyint. y+x) (λf ⇒λzint.(λyint.y+x)((λyint.y+x)z) ⇒λxint. (x+z)+z 型があると何が違うか？ 型のないλ式Mに対して Γ|- M:A となるようなΓとA を見つけることはいつでもできるだろうか？ 答え： NO 前述のωに型をつけることはできない A=A→Bとなる型Aは（この範囲では）存在しない 型付きλ計算は、ωのような式を排除 型のないλ式であるかどうかの判定は容易であった が、型がつけられるかどうかの判定は容易とは限ら ない（考える必要がある） 型の整合性の検査 型検査 入力：Γ,M,A 出力：Γ|-M：A が成立するかどうかの情報 型推論 入力：型がつくかどうかわからない式M 出力：Γ|-M：AとなるΓ、A が存在するかどう かの情報と、存在する場合はそのΓとA 型検査や型推論が自動的にできることが、 望ましいプログラム言語としての必要条件 型推論が自動的にできれば、型検査も自 動的にできる 型検査 単純型付きλ計算の体系に対して、型検査 のアルゴリズムが存在する 入力：Γ, M, A 出力：Γ|-M：A が成立するかどうか Mの構成に応じて場合わけをすればよい その際に、定まっていない型をあらわす型変 数を導入する必要がある 型推論 単純型付きλ計算の体系に対して、型推論 のアルゴリズムが存在する 入力：型がつくかどうかわからない式M 出力：Γ|-M：AとなるΓ、A が存在するかどう かの情報と、存在する場合はそのΓとA 次回までに考えてください 式Mが与えられたとき、Γ|-M:Aが成立するΓ、 Aはいくつあるか？ たくさんあるとき、それらをうまく表現する方法 はあるか？ Mが与えられたとき、その、うまい表現を計算 するアルゴリズム（型推論アルゴリズム）は？