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プログラム理論特論 第６回 亀山幸義 [email protected] http://logic.is.tsukuba.ac.jp/~kam/progtheory 前回 型付きラムダ計算に対する型推論アルゴリズ ムの構成 型の拡張；型変数の導入 型に対する代入 型の単一化、最も一般的な単一化（mgu） 型の単一化アルゴリズム 型推論アルゴリズム 型推論の過程を「下から上へ」構成する 資料の訂正 型の代入に対する「より一般的」という関係の定義 （資料通り） 資料の定義は正しかったが例１，２が誤り この例で、 は誤り。 定義通り計算すると、 おいても、 とはならない。 と 資料の訂正 正しい例 他の誤植 ３ページ下から８行目と３行目 でなく でなく 単一化の具体例 単一化の具体例 型推論の具体例 拡張 これまでの型付きラムダ計算の体系 単純型付きラムダ計算 (simply typed lambda calculus) これから考えること 単純型付きラムダ計算をどのように拡張すれば、現実の プログラム言語を表現することができるか？ C言語:直積型、リスト型、配列型 etc. ML:多相型 Java:レコード型、Subtyping そのような拡張をしたとき、単純型付きラムダ計算の持っ ていた良い性質は保たれるのか、失われるのか？ そもそも、何が「良い性質」だったのか？ 「良い」性質 型システムの健全性 型付けできるプログラムを計算して得られたものは、型付 け可能であり、もとのプログラムと同じ型をもつ 型付けできるプログラムで、「値」になっていないものはま だ計算できる（計算の途中で、止まってしまわない） 「良い」性質 停止性（正規化可能性） 型付けできるプログラムの計算は、有限時間で必ず停止 する。 証明はかなり難しい(項の構成に関する帰納法ではうまく いかない） 「良い」性質の応用 型システムの健全性 プログラムの実行前に型付けしておくと（型検査または型推論）、プロ グラムが実行中に悪い振舞いをしないことが保証できる プログラムの悪い振舞いの例 実行時に型エラーを起こす char型の変数(１バイト）に、int型の値（４バイト以上）を代入しようとする。 char x = 12345; ポインタ型でない変数をポインタと思って参照する。 int x = -135; ...(*x) + 1; 型システムをさらに強力にすることにより、以下の性質も保証できる 配列のサイズを超えた添え字でアクセスをしないこと int data[100]; ...data[110]*2+1 ...; ある種のSecurity(秘密度の高いデータが漏洩しないこと） 静的解析(static analysis)によるSafety Propertyの保証の一種 Safety（安全性） ... ずっと○○をしない (○○は悪い振舞い） Liveness（活性）... いつか必ず△△をする (△△は良い振舞い） 静的解析...プログラムを実行する前に(実行せずに）プログラムの性質を 解析する 「良い」性質の応用 停止性 Liveness の一種 （どんなに下手なプログラムでも）プログラムの実行は必ず有限 時間で停止する。 ただし、普通のプログラム言語は、whileループや再帰呼 出しを含むので、停止性は成立しない 一般的なプログラムではなく、（並行）プロトコルの検証な どで有用 型システムの拡張１－直積 直積型 etc. の導入 集合の直積 (cartesian product, product) 型Ａと型Ｂの直積 A×B bool×nat= {(true,0),(true,1),(true,2),...,(false,0),(false,1),...} 「対（pair)」の集合 (true,3) : bool×int λxint. (x,x) : int→(int×int) left (false, 30) ⇒ false right (false,30) ⇒ 30 直積型に対する型推論規則はどうなるか？ 型システムの拡張１－直積 直積型に対する規則 型システムの拡張１－直積 直積型の項の例 問題 直積型を加えたことにより、以下の２つのアルゴリズ ムはどう変更する必要があるか？ 単一化アルゴリズム 型推論アルゴリズム 型システムの拡張１ーリスト 問題 リスト型を加えたことにより、以下の２つのアルゴリ ズムはどう変更する必要があるか？ 単一化アルゴリズム 型推論アルゴリズム 他の型構成子についても同様に型推論規則を示し、 単一化と型推論アルゴリズムを考えよ。 配列型 組（tuple, ｎ個の型の直積） Ｃ言語の struct型 （レコード型、名前のある組） 型システムの拡張２－多相型 １つのプログラムがいろいろな型を持ち得る 型推論アルゴリズムでは、これらの型を１つの表現であらわすため型変 数を導入した λx.x は int→int でも bool→bool でもよい λf.λx. fx は (int→int)→(int→int) でも、（bool→int)→(bool→int)でもよい λx.x : α→α λf.λx. fx: （α→β）→（α→β） λf.λx. f(fx): （α→α）→（α→α） しかし、ここまでの話では、１つのプログラムを同時に異なる型に適用す ることはできなかった 型システムの拡張２－多相型 １つのプログラムが多数の型に対して適用できる現 象を（型推論だけでなく）プログラムの中で使えない か？ 多相型（polymorphic type, polymorphism) λx.x 「すべてのαに対して、α→αという型をもつ」 λf.λx.f(x) 「すべてのα、βに対して、（α→β）→（α→β）という 型をもつ」 型 A,B ::= ... | ∀α.A 型システムの拡張２－多相型 話はそう簡単ではない！ ∀という型を許すと型検査ですら決定不能 (undecidable)で ある 型検査、型推論ができなければ、プログラム言語の型シ ステムとしては使えない （論理としては使える） ＭＬ言語の多相型 ∀の記号は、型の一番外側だけに許す ∀のない型 A,B ::= α | K | A→B ∀を含むかもしれない一般の型 T ::= A | ∀α. T 例： ∀α.∀β.(α→β→α） １つのプログラムを複数の型で使うときは let 構文を使う。 型システムの拡張２－多相型 ＭＬ言語はCurry流（型をプログラムは書く必要がな い） 型システムの拡張２－多相型 実は、ＭＬ言語の多相型を導入しても、型推論アル ゴリズム（単一化アルゴリズムも）は変更の必要がな い。 型変数を導入したときに、すでに多相型の考え方がは いっていた 型推論アルゴリズムで、Γ|-Ｍ：Ａであると推論できれば、Ｍ Ｌでは、M:∀α∀β。。。Ａ ができたことになる。 （ここでα、β はＡに含まれる型変数） 問題 次のプログラムの型付けを考えよ。 次週 Ｊａｖａ の型システムを考えます。