Transcript 融合原理

認知システム論 知識と推論（３）
知識と論理で問題を解決する
融合原理による推論
(resolution)
推論規則
融合原理
推論規則
(Inference rules)
命題論理の推論規則（1/5）：推論規則とは？
推論規則
P1
P2
前提
Pn
Q
結論
前提がすべて知識ベース（ＫＢ）に入っていたら，
結論をＫＢに追加してよい．
P1
P1
R
P2 Pn
S
P2
Pn
Q
状態遷移
P1
R
P2 Pn
Q
S
命題論理の推論規則（2/5）：モーダス・ポネンス
モーダス・ポネンス
P
PQ
Q
P, Q はKB内の論理式（命題）そのものではなく，それらを
値としてとる変数（命題変数）を表している．
Glitter→Gold
Glitter
P
PQ
Q
Glitter→Gold
Glitter
Gold
輝くものは黄金である．
それは輝いている．
それは黄金である．
命題論理の推論規則（3/5）：健全性
推論規則
P1
P2
Pn
は，
Q
P1 , P2 ,
, Pn
Q
を満たすとき，健全であるという．
Q は P1 , P2 ,
P1 , P2 ,
, Pn の論理的帰結
, Pn のすべてを真とする
どんな解釈のもとでも Q
が真
命題論理の推論規則（4/5）：健全な推論規則
例
モーダス・ポネンス
P
PQ
Q
は，健全な推論規則である．
（４通りの解釈について確認せよ）
例
逆は真なり
P Q
Q  P
は，健全ではない．
（逆は真とは限らぬ．P =F，Q =T のときを考えよ）
命題論理の推論規則（5/5）：その他の推論規則
以下の推論規則は，いずれも健全である
三段論法
対偶
P  Q
P  Q
P  R
Q  P
∧導入
∧除去
∨導入
P
PQ
P
P
PQ
Q
PQ
Q  R
∨除去
PQ
Q
P
例題 魔宮の世界
背景知識
(1,2) にモンスターがいるなら，(1,1) で異臭を感じる
M 12  S 11
(1)
(1,2) に落とし穴があるなら，(1,1) で風を感じる
P12  B11
(2)
(1,2) にモンスターも落とし穴もないなら，(1,2) はOK
 M 12   P12  O K 12
事実
(1,1) で異臭を感じない
 S 11
(4)
(1,1) で風を感じない
 B11
(5)
(3)
質問
(1,2) はOKか？
 O K 12
(6)
と仮定し，充足不能
であれば OK
例題 魔宮の世界：推論規則による判定
M 12  S 11
P12  B11
(1)
 M 12   P12  O K 12
 S 11
(4)
 B11
(5)
 O K 12
(2)
(3)
対偶：(1)より
(6)
ＭＰ：(4),(7)より
対偶：(2)より
MPは
モーダス・ポネンス
の略
証明
ＭＰ：(5),(9)より
 S 11   M 12
(7)
 M 12
(8)
 B11   P12
(9)
 P12
∧導入：(8),(10)より  M 12   P12
ＭＰ： (11),(3)より
∨除去： (6),(12)より
ゆえに，充足不能
O K 12
□
(10)
(11)
(12)
(13)
空節（矛盾）
疑問点と問題点
推論規則は，あれだけで十分か？
もっと多く必要か？ もっと少なくてよいか？
適用可能な推論が多すぎて，探索効率が悪い
∨導入
P
PQ
融合というただ１つの推論規則だけ
あれば十分である．
融合原理
(Resolution principle)
融合原理（1）
融 合 (resolution)
節に対して適用する推論規則
PC
CとDは節
P  D
CD
融合節
符号の異なるリテラルを１個ずつキャンセルし，
残りのリテラルを∨で結合する．
キャンセルするリテラルの節の中の場所はどこでもよい．
（左端である必要はない）
重複したリテラルは１個を残して削除する．
融合原理（2）：例
例
PQ
Q  R
PR
例
PQ
P  Q
PP
重複したリテラルは削除する
ダメな例
PQ
P  Q  R
R
まとめて２個キャンセルするのは，ダメ！
融合原理（3）：例
例
モーダス・ポネンス
P  Q
P
P
Q
PQ
Q
例 三段論法
P  Q
Q  R
P  R
例
Q  R
P R
矛盾
P
PQ
P
空節
融合原理（4）：導出と導出可能性
導出と導出可能性
節集合 { P1 , P2 ,
, Pn } に次々と融合を適用し，
節の系列
P1 , P2 ,
, Pn , R1 , R 2 ,
, Rk , Q
が得られるとき，
P1 , P2 ,
という．
, Pn から Q が導き出される
また， P1 , P2 ,
, Pn から Q へ導出可能といい，
とかく．
P1 , P2 ,
, Pn
Q
融合原理（5）：健全性
定理
任意の２つの節 Ｃ１，Ｃ２ の融合節 Ｃ は
Ｃ１，Ｃ２ の論理的帰結になっている．
証明
C1  P  C1
C 2   P  C 2
C  C1  C 2
Ｃ１，Ｃ２ を T とする解釈を考える．
P = F の場合： C 1  T
P = T の場合： C 2  T
 C1  C 2  T
健全性：導出したものは論理的帰結になっている．
P1 , P2 ,
, Pn
Q
ならば P1 , P2 ,
, Pn
Q
融合原理（6）：完全性
健全性の別な言い方：
節集合 S から空節 □ が導き出されれば，
S は充足不能である．
定理
逆
完全性
節集合 S が充足不能ならば
S から空節 □ を導き出すことができる．
融合原理（7）：融合原理を用いた証明
Q
は
P1 , P2 ,
, Pn の論理的帰結
同値
P1  P2 
P1 , P2 ,
, Pn
 Pn   Q
は充足不能
同値
節集合 S   C 1 ,
, C k  は充足不能
同値
S  C1 ,
,Ck 
から空節を導出可能
融合原理（8）：例題 魔宮の世界
 M 12  S 11
(1)
 P12  B11
(2)
M 12  P12  O K 12
 S 11
知識ベース
(3)
(4)
 B11
(5)
 O K 12
(6)
(1),(4)より
 M 12
(7)
(2),(5)より
 P12
(8)
(3),(6)より
(8),(9)より
(7),(10)より
M 12  P12
M 12
結論の否定
(9)
(10)
(11)
矛盾
融合原理（9）：例題 魔宮の世界：証明の探索
(1)
(2)
(3)
(4)
 M 12  S 11  P12  B11 M 12  P12  O K 12  S 11
S 11  P 12  O K 12
B 11  M 12  O K 12
 M 12
(6)
 B11
 O K 12
 P12
(7)
B 11  S 11  O K 12
(5)
M 12  P12
(9)
(8)
B 11  O K 12
M 12
(10)
(11)
証明に不必要な節もたくさん導出されている
効率向上のための工夫が必要
融合原理（10）：証明の探索の制御
初期状態 CLOSEDは空リスト．すべての節を OPENに．
CLOSED LIST
OPEN LIST
一般の状態 CLOSEDリスト内のどの２つの節も融合済み
C
C
C
C
parent
各Ｃと融合
child
導出節をOPENに追加
融合原理（11）：証明アルゴリズム
boolean Prove (KB, Q) { // KB: 知識ベース（公理）， Q: 質問（定理）
OPEN ← KB∧¬Q を節集合に変換したもの．
CLOSED ← { }
while ( OPEN≠{ } ) {
parent ← OPEN に含まれる任意の１つの節．
OPENから parent を削除する．
for each clause C in CLOSED do {
children ← parent と Cからのすべての導出節の集合．
if ( □∈children ) return true
KB∧¬Q は充足不能
childrenに含まれる節のうち，OPENにもCLOSEDにも
含まれないものをOPENに追加する．
}
}
return false
}
KB∧¬Q は充足可能