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人工知能 論理と推論（２）
知識を組み合わせて知識を生み出す
融合原理
(resolution)
論理的帰結
節形式
融合原理
論理的帰結(１)：論理的帰結の定義
論理的帰結 (logical consequence)
P1, P2 , , Pn
が真となるどんな解釈によっても
Q
が真のとき，
Q
は
P1, P2 , , Pn
の論理的帰結
であるといい，つぎのように書く．
P1, P2 , , Pn
Q
P1, P2 , , Pn という前提が成り立つときには，
Q という結論も成り立つことが確実に言えるということ．
論理的帰結(２)：真理値表による論理的帰結の判定
例
P  Q, P  Q
Q
解釈
前提
結論
P
Q
P→Q
P∨Q
Q
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
前提が真となるすべての解釈 のもとで結論も真
論理的帰結(３)：演習問題
前提１ 暑くて湿度が高ければ，雨が降るだろう．
P Q  R
前提２ 湿度が高いのに暑くないということはあり得ない．
Q  P 
前提３
いま，湿度が高い．
Q
論理的帰結
雨が降るだろう．
R
ヒント：解釈は８通りあるが，ＱがＦである解釈は考える必要なし．
残りの４通りを考察する．
論理的帰結(４)：論理的帰結と充足不能の関係
背理法
Q
は
P1, P2 ,
, Pn
の論理的帰結
同値
P1  P2 
 Pn Q
は充足不能（矛盾）
論理的帰結(５)：例
P  Q, P  Q
例
Q
同値
 P  Q   P  Q  Q は充足不能
解釈
前提
結論の否定
P
Q
P→Q
P∨Q
￢Q
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
T
復習 節形式（１）：節形式への変換
節： リテラルの選言．
p q  r
節形式： 節の連言．
( p  q)  ( p  q)  r
どんな論理式も以下の変換ルール（左辺を右辺に書換え）で
等価な節形式に変換できる．
節形式への変換
1
2
3
4
5
6
P  Q  (P  Q)  (Q  P)
P  Q  P  Q
P  P
(P  Q)  (P)  (Q)
(P  Q)  (P)  (Q) ド・モルガンの法則
(P  Q)  R  (P  R)  (Q  R) 分配則
復習 節形式（２） ：節形式への変換
例
p   (q  r )
 p   ( q  r )
  p   ( q  r )
  p  ( q   r )
  p  (q   r )
 ( p  q)  ( p   r ) 節形式
したがって，つぎの２つの節が得られる．
節集合
pq
 p  r
融合原理（１）
融合原理
つぎの (1) (2) 式より (3) を導出する推論規則
P  節C
(1)
P  節D
(2)
節C  節D
(3)
融合節
符号の異なるリテラルを１個ずつキャンセルし，
残りのリテラルを結合する．
融合原理（２）：例
例
モーダス・ポネンス(Modus Ponens)
P
P  Q
Q
例
対偶
Q
P  Q
P
P
P Q
Q
Q
P Q
P
融合原理（３）：例
例 三段論法
P Q
QR
PR
P  Q
Q  R
P  R
例
PQ
P  Q
Q
例
P
P
空節（矛盾）
融合原理（４）：導出と導出可能性
導出と導出可能性
節集合 {P1, P2 ,
, Pn}に次々と融合原理を適用し，
節の系列
P1, P2 , , Pn , R1, R2 , , Rk , Q
が得られるとき，
という．
P1, P2 , , Pn から Q が導き出される
また， P1, P2 ,
とかく．
, Pn から Q へ導出可能といい，
P1, P2 , , Pn
Q
融合原理（５）：健全性
定理
任意の２つの節 Ｃ１，Ｃ２ の融合節 Ｃ は
Ｃ１，Ｃ２ の論理的帰結になっている．
証明
C1  P  C1 C2  P  C2 C  C1  C2
Ｃ１，Ｃ２ を T とする解釈を考える．
P = Fの場合：
P = Tの場合：
C1  T
C2  T
C1  C2  T
健全性：導出したものは論理的帰結になっている．
P1, P2 , , Pn
Q ならば P1, P2 , , Pn
Q
融合原理（６）：完全性
健全性の別な言い方：
節集合 S から空節 □ が導き出されれば，
S は充足不能である．
逆
完全性
節集合 S が充足不能ならば
S から空節 □ を導き出すことができる．
融合原理（７）：融合原理を用いた証明
Q
は
P1, P2 ,
, Pn
の論理的帰結
同値
P1  P2 
P1, P2 , , Pn
 Pn Q
は充足不能
同値
節集合
S  C1, , Ck 
は充足不能
同値
S  C1, , Ck 
から空節を導出可能
融合原理（８）：例題
例
P  Q, P  Q
Q
同値
 P  Q   P  Q  Q は充足不能
P  Q P  Q Q
Q
融合原理（９）：例題
前提１ 暑くて湿度が高ければ，
雨が降るだろう．
P Q  R
  P  Q   R
 P  Q  R
前提２ 湿度が高いのに暑くない
ということはあり得ない．
前提３
いま，湿度が高い．
 Q  P 
 Q  P
Q
否定
論理的帰結
雨が降るだろう．
R
R
融合原理（10）：例題
前提
P  Q  R
結論の否定
Q  P
Q  R
R
Q
R