Transcript 主成分分析
13.1 パス解析 （１） 標準偏回帰係数 y i 0 1 x i1 2 x i 2 i i～ N ( 0 , ) 2 変数の標準化 u iy yi y sy , u i1 x i 1 x1 s x1 , ui2 xi 2 x 2 sx2 yˆ i ˆ 0 ˆ1 x1 ˆ 2 x 2 y ˆ1 ( x1 x1 ) ˆ 2 ( x 2 x 2 ) yˆ i y sy s x 1 ( x1 x1 ) s x2 ( x2 x2 ) ˆ ˆ 1 2 sy s x1 sy sx2 (4) 相関の分解 24 42 43 32 21 41 21 43 31 相関係数＝直接効果＋間接効果＋疑似相関 直接効果＋間接効果＝総合効果 (2) 疑似相関と偏相関係数 疑似相関 偏相関係数 rxy z rxy rxz r yz (1 rxz )( 1 r yz ) 2 2 13.3 因子分析(factor analysis) (1) 因子分析とは 因子分析： 多くの変数の相関関係を少数の潜在因子によって 説明する方法.潜在因子により観測変数間に相関が 発生していると考え，分析を進める． 国語成績 表13.1 試験の成績データ 生徒Ｎｏ． 1 2 … i … n 国語 ｕ1 u11 u21 … ui1 … un1 英語 ｕ2 u12 u22 … ui2 … un2 数学 ｕ3 u13 u23 … ui3 … un3 理科 ｕ4 u14 u24 … ui4 … un4 文系能力 理系能力 英語成績 数学成績 理科成績 潜在因子 観測変数 (2) 因子分析のモデル u i 1 b11 f i 1 b12 f i 2 i 1 u i 2 b 21 f i1 b 22 f i 2 i 2 u i 3 b 31 f i 1 b 32 f i 2 i 3 u i 4 b 41 f i1 b 42 f i 2 i 4 f i1 , f i 2 b11 , b12 , , b 42 i1 , i 2 , i 3 , i 4 ( i 1, 2 , , n ) 潜在因子→共通因子 因子得点 ：共通因子の個人ごとの得点： 因子負荷量：共通因子の観測変数に与える影響の度合い 独自因子：観測誤差だけでなく，各科目独自の変動も表す 【仮定】 i1 , i 2 , i 3 , i 4 標準化 期待値０，分散はそれぞれ d 12 , d 22 , d 32 , d 42 共通因子間，独自因子間， 共通因子と独自因子も無相関 因子負荷量は，観測される変数ｕと共通因子ｆとの 母相関係数と等しくなる． f i1 , f i 2 と i1 , i 2 , i 3 , i 4 が，互いに無相関なので V ( u 1 ) V ( b11 f 1 b12 f 2 1 ) V ( b11 f 1 ) V ( b12 f 2 ) V ( 1 ) b11 V ( f 1 ) b12 V ( f 2 ) V ( 1 ) 2 2 2 2 b11 b12 d 1 2 C ( u 1 , u 2 ) C ( b11 f 1 b12 f 2 1 , b 21 f 1 b 22 f 2 2 ) b11 b 21V ( f 1 ) b12 b 22 V ( f 2 ) b11 b 21 b12 b 22 1 21 31 41 b11 2 b b 21 11 b b 31 11 b 41 b11 d 12 0 0 0 12 13 1 23 32 1 42 43 b12 2 14 33 1 24 b11 b 21 b12 b 22 2 2 b11 b 31 b12 b 32 b 22 b12 b 21 b 22 b 32 b12 b 31 b 21 b 32 b 22 b 31 b 32 b 42 b12 b 41 b 21 b 42 b 22 b 41 b 31 b 42 b 32 0 0 0 0 2 d 1 2 0 d1 0 0 d1 0 0 2 b 21 b 31 b 22 b 32 2 2 b11 b 41 b12 b 42 b 21 b 41 b 22 b 42 b 31 b 41 b 32 b 42 2 2 b 41 b 42 d 12 b11 b12 b 21 b 22 0 , D B 0 b 31 b 32 b b 0 41 42 BB ' D 0 2 0 d1 0 0 d1 0 0 2 0 0 0 2 d 1 とおくと 13.5 多段層別分析 表13.3 多段層別分析のデータ形式 Ｎｏ． 1 2 … i … n ｘ1 ｘ11 ｘ21 … ｘi1 … ｘn1 ｘ2 ｘ12 ｘ22 … ｘi2 … ｘn2 … … … … … … ｘｐ ｘ1ｐ ｘ2ｐ … ｘiｐ … ｘnｐ ｙ ｙ1 ｙ2 … ｙi … ｙn