Transcript 4. 物体と像の位置関係，シャインプリュークの法則

計測情報処理論(4)
レンズの基礎
講義予定(4)

フォーカシングとデフォーカス
ニュートンの結像公式とデフォーカス
被写界深度，許容錯乱円，過焦点距離
 ニュートンの公式の利用
実際の問題とその演習
 スイングと結像面のコントロール
シャインフリュークの法則

ピントが合うとは
無限遠にピントが合った状態
近距離にピントが合った状態

１点から出た光が撮像面上で再び１点となる
ピントの合う面
撮像面
合焦面
近距離にピントが合った状態
撮像面
合焦面

間違い
撮像面が平面なら合焦面も平面（理想レンズの場合）
結像公式(1)
1 1 1
 
f a b
超重要！！
a

焦点距離 = ｆ
b
レンズに近接した物体ほど，像は像面の後ろ方向に出来る

レンズを撮像面から離すことで近くにピントを合わせる
結像公式から分かること
1 1 1
 
f a b
a

b = f なら a = ∞


無限遠にピントが合っている状態を表す
a = f なら b = ∞

レンズは逆向きに使っても同じ焦点距離
b
前焦点面と後焦点面
1 1 1
 
f a b
a
焦点距離 = ｆ

b
焦点距離 = ｆ
ピント合わせは，ほとんどの場合，レンズの全群繰り出し
主点と結像光式
後側主点
a

前側主点
b
主点間隔だけ，結像光式は修正する必要がある
ニュートンの結像公式
1 1 1
 
f a b
⇔
xy  f
x
y
a
b
f

2
f
主点間隔を考える必要がない
練習問題(0)

ニュートンの結像公式を証明せよ．
a  x  f ,b  y  f
を
1
1
1


f x f y f
1 1 1
 
f a b
に代入する．
を通分すると
( x  f )( y  f )  f ( x  f )  f ( y  f )
練習問題(0)
( x  f )( y  f )  f ( x  f )  f ( y  f )
を展開すると
xy  xf  yf  f 2  xf  f 2  yf  f 2
ゆえに
xy  f 2
注：教科書では，x,yの双方を符号付の値と考え，
以下のように書いてあるものが多い．
xy   f
2
練習問題(1)

焦点距離 50mm のレンズを 5mm 繰り
出したとき，おおよそ何mm 先にピントが
合うか
練習問題(1)回答

1/50 = 1/b + 1/55


普通のカメラでは，フィルムからの距離を
被写体距離と定義する


ゆえに b = 550 (mm)
つまり被写体までは 550 + 55 = 605mm
主点間隔が無視できない場合，それをさ
らに加算する必要がある
練習問題(2)
10mm レンズで 1m 先にピントを合わせ
るとき，レンズを何mm繰り出せばよいか
 これが 20mm レンズのときはどうか

練習問題(2)回答

距離に対して焦点距離が小さいので，そ
れを無視する

1/10 = 1/1000 + 1/a a = 10.101
• ゆえに 0.101mm 繰り出せばよい

1/20 = 1/1000 + 1/a a = 20.408
• ゆえに 0.408mm 繰り出せばよい

焦点距離が長いほど繰り出し量は大き
い
撮影倍率
a
倍率
b
M 
a
被写体と像の大きさの比
 M=1 のとき，等倍という

b
練習問題(3)

等倍撮影のとき，レンズの繰り出し量は
どの程度になるか？
練習問題(3)回答

1/f = 1/b + 1/a, a=b より a = b = 2f
レンズの焦点距離に等しいだけ繰り出せ
ば等倍となる
 フィルムと被写体の距離はおおよそ焦点
距離の４倍
 フィルムと被写体は焦点距離の４倍より
も近づけることは出来ない

チルト（スイング）撮影

シャインフリューク(Scheimflüg)の法則
通常撮影は，点Ｓが無限遠点
ティルト撮影の例（１）

船の模型全体にピントが合っている
ティルト撮影の例（２）

ティルト撮影の例
撮影機材：ビューカメラ

778,000円

540,000円
35mm 一眼レフ用シフトレンズ
キヤノン
ニコン
シャインフリュークの法則の証明
b
x
h
a

上図のように値をとる（全て正の数とする）
1 1 1
 
a b f
x h

b a
a  h  a0
結像公式
倍率の公式
平坦像面
証明(2)
像面の式 a  h  a0 から h 
a  a0

を得て次の倍率の式
x h
x 1 a  a0 1 a0
 

に代入し，  
b a 
 a
b a
他方，
1 1 1
 
a b f
x 1 a0 b  f
  
b   bf
を得る．
bf
より a 
を得て上式の a を消去
b f
これを整理して次式を得る．
fa0
f
bf  ba0  fa0
x
x
b について解くと b 
f  a0
f  a0
f
シャインフリュークの法則
fa0
f
について，α=0 なら（光軸に垂直な像面）
b
x
f  a0
f  a0
fa0
つまり結像公式（当然）．
b
a0  f
fa0
f
について，b=0 なら（被写体とレンズ面の交わり）
b
x
f  a0
f  a0
a0
x
また像の式 a  h  a0 で a=0 なら（像とレンズ面の交わり）

h
a0

つまりこれらは１点で交わる．
シャインフリュークの法則
この点で交わる
パース効果
x
20
10
0
0
50
100
150
200
250
-10
-20
-30
-40
-50
-60

パース効果により点の対応関係は非線形

パース効果そのものは単なるピンホールカメラと同じ
300
350
ぼけ（デフォーカス）とは
無限遠にピントが合った状態

１点にあつまる光束に太さがあることが原因
ピント合わせとぼけ
無限遠にピントが合った状態
近距離にピントが合った状態

異なる距離に同時にピントを合わせることは不可能

では，「おおよそ」ピントを合わせることは？
絞りとぼけ

絞りを絞るほどぼけは小さくなる
無限遠にピントが合った状態
ボケの量
d
d



F
像面（フィルム面）上のボケの径を錯乱円径と呼ぶ


錯乱円 = circle of confusion
F値と,像の深さ方向のずれδによって決まる
どれぐらいならぼけて見えないか

肉眼の分解能
5’, 1’, 40’’, など諸説（条件による）
 例えば 2’ としたとき，30cm 先で 0.17mm のもの
が分解する
 対角線長さ 300mm の物体に対しては，1/1700
の分解能


写真では
対角線の 1/1000~1/1500 が１つの基準
 許容錯乱円径（εで表す）と呼ぶ
 permissible circle of confusion

許容錯乱円径
35mm カメラ（135判）
36mm x 24mm
対角線長さ 43.3mm

35mm カメラの場合，ε=1/30mm が用いられる


対角線の 1/1300 倍
デジタルカメラの場合，画素のピッチが１つの目安
デジタルカメラ (2/3インチ～1/3インチ）
8.8x6.6mm ～4.8x3.6mm
対角線長さ 11mm ～6mm
例えば 1/3inch 200万画素の場合，３μm程度
焦点深度(depth of focus)
ε=
1/30mm
焦点深度

焦点深度=許容錯乱円径以下のぼけを生じる
像面でのピントの深さ

近似的に焦点深度は ２・F・ε となる
• ε<<f のため
被写界深度(depth of field)
被写界深度

被写界深度＝焦点深度に対応する被写体側の
ピントの深さ
練習問題(4)

許容錯乱円径を 1/30mm とする．
50mm F4 レンズで 8m 先にピントを合
わせたとき，被写界深度はいくらか．
練習問題(4)回答
F4 レンズなので，像面深度は
片側4/30 [mm] = 0.133mm
 50mm レンズで 8m にピントを合わせた
とき，繰り出し量は0.314mm
 つまり焦点深度は 0.314±0.133mm
 ピントの合う範囲は 5.6m～13.9m
 被写界深度は 8.3m

被写界深度目盛り

F4 の時の被写界深度目盛りは5m+ ～10m+
被写界深度目盛りの例

ハッセルブラッドに採
用されている（過去の）
カールツァイスレンズ
は機械式の被写界深
度目盛りを持つ．
被写界深度目盛りの例
 水中カメラ「ニコノス」は目測撮影のため，
機械式被写界深度指標を備えている．
練習問題(5)

許容錯乱円径 1/30mm で，50mm レン
ズを利用しているとき，2m から 10m ま
での範囲にピントを合わせるための
フォーカスリングの位置とF値を求めよ．
練習問題(5)回答
方程式で解いてもいいが，以下の方法もある．
 50mm レンズで 2m 先にピントを合わせるには
繰り出し量は 1.282mm
 50mm レンズで 10m 先にピントを合わせるには
繰り出し量は 0.251mm
 よって中間の繰り出し量は中間の 0.767mm



このときピントが合うのは 3.3m先
1.031mm の範囲にピントが合う必要があるから，
F 値は 1.031 = 2 * F * 1/30

F = 15.5 （約 F16）
練習問題(6)

許容錯乱円径を 1/30mm とする．
50mm F2 と 25mm F2 のレンズで，そ
れぞれ物体を同じ倍率（1/20倍）で撮影
したときの被写界深度を求めよ．
練習問題(6)回答

被写体距離（倍率 1/20）


繰り出し量


50mm : 1000mm, 25mm : 500mm
50mm : 2.63mm, 25mm : 1.316mm
被写界深度（F2, 錯乱円 1/30mm）

焦点深度は前後各 2/30mm
• 50mm : 977mm – 1025mm
• 25mm : 477mm-525mm

同一Ｆ値・同一倍率では被写界深度はほぼ一致
過焦点距離
(Hyper-focal Distance)
過焦点距離

ちょうど無限遠が被写界深度に収まるような
ときの合焦距離

レンズつきフィルムやピント固定のデジタル
カメラで用いられている
練習問題(7)

許容錯乱円径 1/30mm で，50mm F4
レンズの過焦点距離はいくらか．
練習問題(7)回答
50mm F4 レンズの焦点深度は片側で
4/30mm
 これを繰り出し量にすればよい
合焦距離は 18.8m
 ピントが合う最も近い距離は 9.4m


おおよそ，半分の距離になる
練習問題(8)
同じ許容錯乱円径 1/30mm, 同じＦ値
F4 で，50mm レンズと 25mm レンズの
過焦点距離はそれぞれいくらか．
 50mm : 18.8m
 25mm : 4.7m
 12.5mm : 1.18m
 焦点距離が短くなると，被写界深度は急
速に（２次のオーダで）深くなる

練習問題(9)

錯乱円径を対角線長さの 1/1000 とす
る．今対角線長さ 40mm と 10mm の２
つの像面があったとき，同一画角（標準
画角），同一Ｆ値（F4）での過焦点距離を
求めよ．
練習問題(9)回答

錯乱円径：

40mm : 0.04mm, 10mm : 0.01mm
焦点距離は対角線長さと同一とする
 過焦点距離



40mm : 10m, 10mm : 2.5m
過焦点距離は像面の大きさに比例

この練習問題は比例設計の例
比例設計
過焦点距離

比例設計：画角，Ｆ値は同一

過焦点距離
焦点距離，被写界深度，焦点深度，は比例
なぜデジタルカメラはピントが
合いやすいのか

縮小率 1/4~1/8 の比例設計


小さいものが写しやすい


被写界深度が４～８倍
等倍でも被写体の大きさは 1/4～1/8
近くのものにピントが合わせやすい
繰り出し量が 1/4 でも 1/4 の距離にピントが合う
 同じ距離にピントを合わせる場合，繰り出し量は
1/16～1/64 で済む

みかけのぼけの大きさ
口径20mm
近距離にピントが合った状態

無限遠からの光のうちレンズに入射するものは，
口径に等しい太さを持つ

つまり無限遠の点光源のボケの大きさは，
合焦距離に置いた像を基準に考えると
口径と等しい
演習問題(10)
85mm F1.4 のポートレート用レンズで人物
を撮影したとき，無限遠景はどの程度ぼけ
るか
 85mm F1.4 レンズの口径はほぼ 60mm
 つまり被写体（人物）との比として，60mm
のボケ（ほぼ両目の間隔程度）を生じる


無限遠の物体に関するぼけの大きさは，
口径が支配的
無限遠でない物体のぼけ
d
被写体距離b
背景距離b’

口径D
b  b
d
D
b
背景距離が被写体距離の倍の場合，ぼけの
見掛けの大きさは口径の半分
矛盾？
演習問題(6) では，焦点距離にかかわら
ず，同一倍率・同一Ｆ値なら被写界深度
は一致とした
 演習問題(10)では，無限遠のボケの見
掛けの大きさは口径で決まるとした
  矛盾していないか？

近傍のボケ量変化
近傍のぼけ量
9
8
7
6
ぼけ量
5
25mm F2
50mm F2
4
3
2
1
0
-250
-200
-150
-100
-50
0
相対距離
50
合焦点近傍では，距離と
ボケ量の関係はどちらの
レンズも同じ
100
150
200
250
遠方のぼけ量変化
遠方のぼけ量
25
前の画面の距離スケールを縮小したもの
20
ぼけ量
15
25mm F2
50mm F2
10
5
遠方のぼけ量は，口
径に漸近する
0
-2000
0
2000
4000
6000
相対距離
8000
10000
12000
ファッションポートレート

被写体（モデル，服装）は克明に


背景は大きくぼかす


被写界深度を深く＝F値を大きく
口径は出来るだけ大きく
 超望遠レンズで遠方から撮影