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ロジスティクス工学
第9章
スケジューリングモデル
補助資料：OptSeqによるスケジューリング入門
http://www.logopt.com/OptSeq/OptSeq.htm
からpdfファイルをダウンロード可能
補助資料２：組合せ最適化短編集（朝倉書店）
東京商船大学
久保 幹雄
スケジューリングとは
• オペレーション，作業（operation），ジョブ，仕事
(job)，タスク(task)，活動（activity）：遂行すべき仕
事のこと．作業時間や納期の情報が付加される．
• 先行制約：ある作業（ジョブ，活動）がある作業
（ジョブ，活動）の前に処理されなければならない
ことを表す制約．
• 資源（resource），機械(machine）：作業を行うとき
に必要とされるもので，その量に限りがあるもの．
資源は一般的．機械はジョブによって占有される
資源．
航空機を早く離陸させよう！(OptSeq 3節）
• PERT: Program Evaluation and Review Technique,第二次
世界大戦のポラリス潜水艦の建造で利用．（ORの古典）
作業1
作業3
作業4
13分
15分
27分
完了時刻最小化
ダミー作業
先行制約
作業
作業2
25分
作業5
22分
点が作業（活動）のグラフ->点上活動図式
作業１：乗客降ろし（１３分）
作業２：荷物降ろし（２５分）
作業３：機内清掃（１５分）
作業４：乗客搭乗（２７分）
作業５：荷物積み込み（２２分）
航空機を早く離陸させよう！（１）
０＋１３＝１３
作業1
作業3
作業4
13分
15分
27分
０分
ダミー作業
（作業開始）
ダミー作業
０＋２５＝２５
作業2
作業5
25分
22分
ダミーの開始作業を追加．最早終了時刻を０とする．
ダミーの開始作業の後続する点の作業終了時刻を更新．
その後，ダミーの開始作業をグラフから除く．
航空機を早く離陸させよう！（２）
１３
２８＝１３＋１５ ５２＝２５＋２７
作業1
作業3
作業4
13分
15分
27分
２５
ダミー作業
４７＝２５＋２２
作業2
作業5
25分
22分
先行する点がない点から順に，後続する点の最早終了時刻を更新．
（大きいものに置き換える！）：作業１，作業２の後続点を更新．
航空機を早く離陸させよう！（３）
１３
２８
作業1
作業3
55=max{28+27，52}
作業4
47=47+0
15分
13分
27分
２５
４７
作業2
作業5
25分
22分
ダミー作業
先行する点がない点から順に，後続する点の最早終了時刻を更新．
（大きいものに置き換える！）：作業３，作業５の後続点の更新
航空機を早く離陸させよう！（４）
１３
２８
５５
作業1
作業3
作業4
55=max{55+0,47}
15分
13分
27分
２５
４７
作業2
作業5
ダミー作業
25分
22分
作業４の後続点の更新；最早終了時刻 56 分後！
最早終了時刻＋後続する点の作業時間＝後続する点の最早終了時刻の枝
（->クリティカルパス：図の赤線）
最適解
解法：閉路をもたないグラフ上での最長路問題（組合せ最適化と
アルゴリズム（共立出版）3.1.5節参照）->簡単に解ける！
作業1
作業3
作業4
15分
13分
27分
作業5
作業2
25分
22分
０
時間
55
横軸に時間をとって作業を並べた図->ガント図式（Gantt’s chart）
並列ショップスケジューリング
ピットイン時間を短縮せよ！ (OptSeq 5節）
gas
3秒
作業１
作業９
11
秒
R
TE
WA
３人のピットクルー
（資源制約）
2
作業２
秒
作業５
2秒
4
作業６
作業３
作業７
作業８
作業４
2
秒
秒
4
秒
4秒
4
秒
2
秒
作業１０
資源（機械）制約
があると難しい！
有効スケジュール生成スキーム
（１）
適合作業（ジョブ）
0
クルー1
クルー2
作業１
作業２ 作業３ 作業４
5
10
15
作業１
作業の優先ルール
によって解が異なる
のでスキームとよぶ！
クルー3
適合作業から１つの作業を選択（たとえば作業時間の長いもの）
->ピットクルー1に割り付け（作業１の開始時刻を0に設定）
有効スケジュール生成スキーム
（２）
作業９
適合作業
0
クルー1
作業２ 作業３ 作業４
5
作業１
10
作業１がスケジュール
されたので適合作業
に入る
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
クルー3 作業３
同様に適合作業から作業を選択し，開始可能な最早時刻に
割り付け（作業2,3の開始時刻を0に，作業4の開始時刻を2に，
作業９の開始時刻を3に設定）
有効スケジュール生成スキーム
（３）
作業４がスケジュールされたので適合作業に追加
適合作業
作業５
0
クルー1
作業６
作業７
5
作業１
10
作業８
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
作業５
作業７
クルー3 作業３
作業６
作業８
適合作業から作業を選択し，開始可能な最早時刻に割り付け
有効スケジュール生成スキーム
（４）
作業5,6,7,8がスケジュールされたので適合作業に追加
適合作業
作業10
0
クルー1
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
作業５
作業７
クルー3 作業３
作業６
作業８
作業10
残った作業10を開始可能な最早時刻に割り付け
（完了時刻＝14のスケジュールの完成！）
有効スケジュール生成スキームの性質
• 作業の選択順（優先ルール）によって色々なスケ
ジュールが得られる．
• 有効スケジュール（active schedule：他の作業の
開始時刻を遅らせることなしに，いかなる作業の
開始時刻を早めることができないスケジュール）
を生成する．
• 作業を早く開始する方が良いスケジューリング問
題に対しては，最適解は必ず有効スケジュール
になる．
遅れなしスケジュール生成スキーム（１）
時刻0における
適合作業（ジョブ）
0
クルー1
作業１
作業２ 作業３ 作業４
5
10
15
作業１
クルー2 作業２
クルー3 作業３
現在時刻（０）における適合作業から作業を選択して，開始時刻
を 0 に設定（作業4は資源がないので適合作業から除かれる．）
作業１，２，３が活動作業（ピンク色）
遅れなしスケジュール生成スキーム（２）
時刻 2 における
適合作業（ジョブ）
作業４
0
クルー1
5
10
15
作業１
クルー2 作業２ 作業４
クルー3 作業３
作業完了時刻の最早のもの（作業2,3）の完了時刻を現在時刻（2）とする．
活動作業から作業2,3を除く．
時刻 2 における適合作業から作業４を選択．開始時刻を2に設定．
遅れなしスケジュール生成スキーム（３）
時刻 3 における
適合作業（ジョブ）
0
クルー1
作業９
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
クルー3 作業３
現在時刻を 3 に進め，時刻 3 における適合作業（作業9）を選択．
作業9の開始時刻を3に設定．
遅れなしスケジュール生成スキーム（４）
時刻 4 における
適合作業（ジョブ）
0
クルー1
作業５
作業６
作業７
作業８
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
作業５
クルー3 作業３
作業６
現在時刻を 4 に進め，時刻 4 における適合作業（作業5,6,7,8）から
適当な優先ルールにしたがって作業を選択．
作業5,6の開始時刻を4に設定．
遅れなしスケジュール生成スキーム（５）
時刻 8 における
適合作業（ジョブ）
0
クルー1
作業７
作業８
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
作業５
作業７
クルー3 作業３
作業６
作業８
現在時刻を 8 に進め，時刻 8 における適合作業（作業7,8）から
適当な優先ルールにしたがって作業を選択．
作業7,8の開始時刻を 8 に設定．
遅れなしスケジュール生成スキーム（６）
時刻 12 における
適合作業（ジョブ）
作業10
0
クルー1
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
作業５
作業７
クルー3 作業３
作業６
作業８
作業10
現在時刻を 12 に進め，時刻 12 における適合作業（作業10）選択．
作業 10 の開始時刻を 12 に設定．
完了時刻 14 のスケジュールの完成！
遅れなしスケジュール生成スキームの性質
• 作業の選択順（優先ルール）によって色々なスケ
ジュールが得られる．
• 遅れなしスケジュール（nondelay schedule：作業
の途中中断を許したとしても，他の作業の完了
時刻を遅らせることなしに，いかなる作業の開始
時刻を早めることができないスケジュール）を生
成する．
• 作業を早く開始する方が良いスケジューリング問
題に対しても最適解を含むとは限らない．
• 遅れなしスケジュールの集合は，有効スケジュー
ルの集合に含まれる．
練習問題 9-1
• 以下ように条件を変えたとき，有効スケジュール
生成スキームと遅れなしスケジュール生成ス
キームで生成せよ．（ただし，作業の番号が小さ
いもの先に割り付ける優先ルールを用いるもの
とする．）
• ピットクルー（作業員）を4人に増やした場合
• 作業時間をすべて１秒減らした場合
• 先行制約をすべて外した場合
優先ルール（priority rule,dispatching rule）
• 適合作業（ジョブ）から作業を選択するため
のルール
– SPT（shortest processing time）ルール：作業時
間の短い順
– EDD（earliest due date）ルール：納期の早い順
– 先行制約における後続する作業数の多い順
– ．．．．問題に依存してたくさんある！
資源制約付きスケジュールング
お家を早く造ろう！（OptSeq 7節）
作業時間＝２日
１日目１人，２日目２人の資源
が必要！
１階
屋根
土台
完成！
１人の作業員休暇
資源量（人）
内装
２人
0
3
時間（日）
最適解
資源量（人）
時間（日）
資源制約付きスケジューリングは一般的なモデル
（ジョブショップ，並列ショップスケジューリングを特殊形として含む．）
１機械スケジュールング
納期遅れを最小にしよう！（OptSeq 8
節）
• 完了時刻最小化（メイクスパン）以外の目的関数の例
–
–
–
–
–
納期遅れ最小化
納期ずれ最小化
納期遅れした作業（ジョブ）数最小化
納期遅れの最大値の最小化
上の指標の重み付きの尺度最小化 ．．．．
会社名
A社
B社
C社
D社
作業時間 1日
2日
3日
4日
納期
9日後
6日後
4日後
5日後
最適解
作業4（D社）
作業1(A社）
作業3（C社）
納期遅れ
作業2（B社）
納期遅れ
時間（日）
０
10
A社納期
C社納期
D社納期
B社納期
フローショップスケジューリング
車メーカーの生産ライン（OptSeq 12節）
ジョブ（一連の作業）
セダン
3
4
1
作業時間
機械（工程）
スポーツカー
4
6
8
バン
2
5
組み立て
3
塗装
タイヤ取り付け
フローショップ->すべてのジョブの機械順が同じ
最適解のGantt図式
8
4
5
6
3
2
4
3
1
機械別に表示（ジョブ別に表示する方法もある）
ジョブショップスケジューリンング
ジョブごとに機械（工程）順が異なっても良い！
作業
機械
５分
３分
７分
２分
３分
４分
８分
６分
５分
ジョブ
離接グラフ表現
有向枝
離接枝
開始
終了
離接（disjunctive）＝「または（or）」の意味
離接グラフ上での解の表現
5
3
8
7
2
6
9
5
3
離接枝に(閉路ができないように）向きをつける．
＝各機械上での作業の順番の決定．
クリティカルパス（最長路）
5
3
8
7
2
6
9
5
3
離接枝を決定->クリティカルパスを求める！＝１つの近似解