Transcript ロジスティクス概論 - LOG OPT HOME

ロットサイズ最適化
東京海洋大学
久保 幹雄
1
ロットサイズ最適化
（基本となるトレード・オフ関係）
まとめて処理するのか？すぐに処理するのか？
段取り費用
在庫費用
2
ロットサイズ最適化
短期タクティカルレベルの意思決定


生産・輸送における規模の経済性を考慮
段取り活動を行うタイミングと一度に生産（輸送）する量の決定
在庫と段取り費用のトレードオフ（最適ロットサイズの決定）
容量制約を考慮した生産資源への品目の割り当ての最適化
スケジューリング最適化と合わせることによるAPS (Advanced
Planning and Scheduling）の求解
大
多期間ロジスティクス
ネットワーク設計
大バケット
小
期の幅
（在庫を考慮した）
スケジューリング最適化
小バケット
3
サプライ・チェイン最適化
における位置づけ
タクティカル（中期）レベル
段取り費用（時間）を加味した多期間生産
計画・在庫計画モデル
オペレーショナル（短期）レベル
在庫とロットまとめを組み込んだスケ
ジューリングモデル
4
大バケット問題と小バケット問題
大バケット（１月を１単位）
段取り 生産
継続期間＝１月
小バケット（１日を１単位）
段取り 生産
継続期間＝数日
5
ロットサイズ最適化の例（工場内）
期（時間）
コンピュータ ソフトウェ ア
まとめて生産する量を決定
モニタ メモリ
組立 品目A
200
段取り 組立 品目B
120
段取り
組立 品目A
150
在庫
半製品
ケーブル
配線 品目A
200
バックロ グ
本体
配線 品目A
150
本体
本体需要 品目A
段取り
配線 品目B
120
在庫
本体
6
１品目の例題
期（日，週，月，時間）：１，２，３，４，５ （５日分）
段取り
生産
段取り費用： ３万円
需要量
： 5,7,3,6,4 （日あたりの必要量；トン）
在庫費用 ： 1日あたり１万円
生産費用 ： 1,1,3,3,3万円（１トンあたり）
7
１品目の例題
一度に生産：段取り(3)+生産(25)+在庫(20+13+10+4)=75
ＪＩＴ生産：段取り(15)+生産(51)+在庫(0)=66
最適生産：段取り(9)+生産(33)+在庫(15)=57
8
１品目の例題
（ヒューリスティクスとの比較）
Silver-Mealヒューリスティクス
単位期間あたりの費用が最小になるようにロットまとめ
段取り(9)+生産(45)+在庫(7)=61
最小単位費用ヒューリスティクス(least-unit cost heuristics)
単位需要量あたりの費用が最小になるようにロットまとめ
段取り(9)+生産(51)+在庫(14)=74
9
単一品目基本モデル(1)
パラメータ
T : 計画期間の数
dt : 第 t 期の需要量
ft : 生産（発注）固定費用
ct : 生産変動費用
ht : 在庫保管費用
Mt: 生産容量
10
単一品目基本モデル(2) 変数
It : t 期末の在庫量（初期在庫は０と仮
定）
xt : 第 t 期の生産（発注）量
yt : 段取りの有無を表す0-1 変数
=1 （xt >0のとき；生産量が正）,
=0 （それ以外のとき；生産しない）
11
単一品目基本モデル(3)
定式化
12
基本モデルの概念図
生産
xt
在庫
It-1
t
It
需要 dt
弱い定式化
xt ≦ “大きな数 M” × yt [段取り変数]
It-1 + xt = dt + It
0-1変数
13
妥当不等式
妥当不等式: (S,l)不等式
14
妥当不等式，カット（切除平面），側面
弱い定式化の式
(妥当不等式)
側面
緩和解 x*
解x
整数多面体
カット
（切除平面）
15
容量制約なしの場合の強い定式化
生産容量 Mt が十分に大きいものと仮定
Xst : 期 t の需要を満たすために期 s で生産する需要
の割合 (
)
期 t の需要を１単位満たすために期 s で生産したときの
費用（生産変動費用＋在庫費用）
固定費用は含まないことに注意！
16
強い定式化：施設配置定式化
期 t の需要を満たすために期 s で
生産する需要の割合 Xst
s
t
Xst ≦ yt

st
Xst = 1
dt
17
施設配置定式化
=>強い拡張定式化
射影したものが線形緩和が整数多面体と一致する！
18
拡張定式化と射影
が X の定式化
= Q は X の拡張定式化
19
施設配置定式化：強い拡張定式化
拡張定式化
(施設配置定式化)
射影
オリジナルの定式化の
整数多面体
20
定式化間の関係
基本モデルの定式化
施設配置定式化
変数の数 O(T )
制約数
O(T )
弱い
定式化
変数の数
制約数
2
追加された
不等式
O(2T )
O(T )
2
O(T )
強い定式化
線形計画緩和の最適値
=最適値
(S, l)不等式
カット
強い定式化
T: 計画期間の数
21
容量制約なしの問題に対する
動的計画
F(j) : 最初の j 期の最小費用 (初期条件 F(0)=0 )
O(T2) もしくは
O(T log T) 時間のアルゴリズム
22
複数品目の例題
段取りと在庫のトレード・オフの他に
資源（工程）の生産時間上限の複数の品目にどう配分するか？
も決める．
期：１０週分，５品目
資源（工程）の稼働時間上限= 1021ｈ/週（６期目は0h)
段取り費用 （品目１）： 5000 ，4050，1250 ，5000．．．．
需要量（品目１） ：92，97，107，107，104，．．．．
在庫費用=1
変動費用=1
23
複数品目の例題
１期
２期
３期
４期
５期
６期
７期
８期
９期
１０期
品目
品目
WebLotで求解（2秒）
24
多段階モデル
複数品目の親子関係
組み立て産業：部品展開表 BOM（Bill Of Materials）
MRPは段取りや資源容量を考慮していない
装置産業：製品レシピ（Product Recipes）
副生成物1
ハードディスク
製品1
本体
原料1
中間製品
製品2
PCキット
基盤
モニタ
BOMの
原料2
副生成物2
レシピの例
25
多段階の例題
在庫費用
1円
2
在庫費用
2円
段取り費用 1万円，時間 10時間
変動費用 10円，時間 0.12分
在庫費用 8円
6
1
1
2
段取り費用 1万円，時間 5時間
変動費用
15円，時間 0.24分
在庫費用
9円
6
資源１
生産工程（２４h/日稼働）
26
多段階の例題
2
段取り費用 6万円，時間 3時間
変動費用 2円，時間 1.8分
在庫費用 54円
6
1
1
2
段取り費用 5万円，時間 2時間
変動費用
2.5円，時間 2.4分
在庫費用
74円
6
資源２
27
包装工程（２４h/日稼働）
多段階の例題（需要量と結果）
需要
需要
1期
2期
3期
4期
5期
150
200
250
230
200
1期
2期
3期
4期
5期
120
130
160
180
200
エシェロン在庫を用いれば単品目と同様に（強い）定式化が可能！
28
実際問題を即座に解くには．．．
実際問題A
実際問題A’
実際問題A’’
モデルA
モデリング言語
+A’ +A’’
実際問題B
…
B
メタ解法
混合整数計画（MIP）ソルバー アドホックな工夫
時々こける…
変数の制限
設計者の腕に依存
一部を緩和
29
MIP ソルバーベースの解法
MIPソルバー
時々こける…
MIP ベースのメタ解法
• 緩和固定法
•MIP-近傍探索
•容量スケーリング
•MIP-Merging
•Genetic algorithm
with MIP-Merging crossover
…
古典的アプローチ
•強い定式化
•列生成
•切除平面法
•Lagrange緩和
…
30
動的ロットサイズ決定問題への適用
緩和固定法
容量スケーリング法
問題：多期間，多資源，多段階（工程），多品目
MRPと同様のBOM，期ごとの需要量，段取り費用，
在庫費用を入力
総費用最小の段取りスケジューリング(y:0-1変数），
各期の生産量（x:実数変数），在庫量（Inv：実数変数）
を求める．
31
緩和固定法の概念図 (1)
期
段階
自由（整数）
緩和
期
段階
固定
自由（整数）
緩和
32
緩和固定法の概念図 (2)
期
3
2
1
段階
自由（整数）
緩和
期
自由（整数）
3
2
1
段階
固定
緩和
33
容量スケーリング法
固定費用付きの問題に対する汎用手法
線形計画緩和の解が収束するまで容量を変更
minimize cost: FixedCost*y
0-1 変数
s.t. x <=Capacity*y
実数変数
費用
固定費用
下の線形計画緩和
X
Capacity×y
容量(Capacity)
34
スケジューリング最適化
東京海洋大学
久保 幹雄
35
意思決定レベルによる分類
原材料
長
期
調達物流
ストラテジック
生産
工場内物流 輸送
配送拠点 配送
需要
地点
ロジスティクス・ネットワーク最適化
資源配分最適化
中
期
短
期
タクティカル
オペレーショナル
安全在庫配置
在庫方策最適化
生産計画最適化
配送計画最適化
ロットサイズ最適化
スケジューリング
最適化
配送計画
36
スケジューリングとは
作業（活動，ジョブ，タスク）の時間軸上への
配置


資源制約（機械，人，原材料などの使用可能量上
限）
作業間の先行関係（ある作業が終了してからでな
いと，別の作業を開始できない）
37
飛行機を早く離陸させよう！
あなたは航空機会社のコンサルタントだ．
あなたの仕事は，着陸した航空機をなるべ
く早く離陸させるためのスケジュールをた
てることだ．航空機は，再び離陸する前に
幾つかの作業をこなさなければならない．
まず，乗客と荷物を降ろし，次に機内の掃
除をし，最後に新しい乗客を搭乗させ，新
しい荷物を積み込む．さて，最短で何分で
離陸できるだろうか?
38
資源制約なしのスケジューリング(PERT)
PERT: Program Evaluation and Review Technique,第
二次世界大戦後 ポラリスミサイルの建造で利用
作業1
作業3
作業4
13分
15分
27分
完了時刻最小化
ダミー作業
先行制約
作業
作業2
25分
作業5
22分
作業１：乗客降ろし（１３分）
作業２：荷物降ろし（２５分）
作業３：機内清掃（１５分）
作業４：乗客搭乗（２７分）
作業５：荷物積み込み（２２分）
39
最適化結果（ガントチャート）
作業1
作業3
作業4
15分
13分
27分
作業5
作業2
25分
22分
０
時間
55
資源制約つき（１人で作業）
15分
０
作業1
作業2
作業3
25分
作業4
13分
作業5
27分
22分
時間
40
102
ピットイン時間を短縮せよ！
あなたはF1のピットクルーだ．F1レースにとって
ピットインの時間は貴重であり，ピットインした
レーシングカーに適切な作業を迅速に行い，なる
べく早くレースに戻してやることが，あなたの使命
である．いま，あなたを含めて3人のピットクルー
がいて，作業を手分けして行うものとする．作業
は途中で中断できないものとすると，なるべく早く
最後の作業を完了させるには，誰がどの作業を
どういう順番で行えばよいのだろうか?
41
ピットイン時間を短縮せよ！
gas
3秒
作業１
作業９
11
秒
R
TE
WA
３人のピットクルー
（資源制約）
作業２
2秒
作業５
2秒
4
作業６
作業３
作業７
作業８
2
秒
作業４
秒
4
秒
4秒
4
2秒
作業１０
秒
42
遅れなしスケジュール生成法（１）
時刻0において
開始できる作業（適合作業）
0
クルー1
5
作業１
作業２ 作業３ 作業４
10
15
作業１
クルー2 作業２
クルー3 作業３
現在時刻（０）における適合作業から作業を選択
各々の開始時刻を 0 に設定
作業１，２，３が活動中の作業（ピンク色の作業）
43
遅れなしスケジュール生成法（２）
時刻 2 における
適合作業
作業４
0
クルー1
5
10
15
作業１
クルー2 作業２ 作業４
クルー3 作業３
作業完了時刻の最早のもの（作業2,3）の完了時刻を現在時刻（2）とする．
活動作業から作業2,3を除く．
時刻 2 における適合作業から作業４を選択．開始時刻を2に設定．
44
遅れなしスケジュール生成法（３）
時刻 3 における
適合作業（ジョブ）
0
クルー1
作業９
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
クルー3 作業３
現在時刻を 3 に進め，時刻 3 における適合作業（作業9）を選択．
作業9の開始時刻を3に設定．
45
遅れなしスケジュール生成法（４）
時刻 4 における
適合作業（ジョブ）
0
クルー1
作業５
作業６
作業７
作業８
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
作業５
クルー3 作業３
作業６
現在時刻を 4 に進め，時刻 4 における適合作業（作業5,6,7,8）から
適当な優先ルールにしたがって作業を選択．
46
作業5,6の開始時刻を4に設定．
遅れなしスケジュール生成法（５）
時刻 8 における
適合作業（ジョブ）
0
クルー1
作業７
作業８
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
作業５
作業７
クルー3 作業３
作業６
作業８
現在時刻を 8 に進め，時刻 8 における適合作業（作業7,8）から
適当な優先ルールにしたがって作業を選択．
作業7,8の開始時刻を 8 に設定．
47
遅れなしスケジュール生成法（６）
時刻 12 における
適合作業（ジョブ）
作業10
0
クルー1
5
作業１
10
15
作業９
クルー2 作業２ 作業４
作業５
作業７
クルー3 作業３
作業６
作業８
作業10
現在時刻を 12 に進め，時刻 12 における適合作業（作業10）選択．
作業 10 の開始時刻を 12 に設定．
48
完了時刻 14 のスケジュールの完成！
作業を改善（？）方法
作業時間を１秒縮める
ピットクルーを4人に増やす
先行制約をすべて外す
49
作業時間短縮による改善？
gas
3秒
作業１->２秒 作業９
11 ->10秒
秒
R
TE
WA
作業２
2秒
->1秒
作業５
2秒
4
作業６
作業３
->1秒
->3秒
作業７
作業８
2
秒
作業４ ->1秒
秒
4
秒
4秒
4
2 秒->1秒
作業１０
秒
50
作業時間をすべて１秒縮めた場合（１）
時刻0において
作業１
開始できる作業（適合作業）
0
5
作業２
作業３
10
作業４
15
クルー1 作業１
クルー2
２
クルー3
３
現在時刻（０）における適合作業から作業を選択
各々の開始時刻を 0 に設定
作業１，２，３が活動中の作業（ピンク色の作業）
51
作業時間をすべて１秒縮めた場合（２）
時刻 2 における
作業４
適合作業
0
5
10
15
クルー1 作業１
クルー2
２ ４
クルー3
３
作業完了時刻の最早のもの（作業2,3）の完了時刻を現在時刻（1）とする．
活動作業から作業2,3を除く．
時刻 2 における適合作業から作業４を選択．開始時刻を 1 に設定． 52
作業時間をすべて１秒縮めた場合（3）
時刻 2 における
適合作業
作業５
作業６
作業７
作業８
0
クルー1 作業１
5
作業９
10
15
作業５
クルー2
２ ４
作業６
クルー3
３
作業７
現在時刻を 2 に進め，時刻 2 における適合作業から，作業5,6,7
を順に選択．作業5,6,7の開始時刻を2に設定．
53
作業時間をすべて１秒縮めた場合（4）
時刻 6 における
適合作業
作業８
0
クルー1 作業１
作業９
5
作業５
クルー2
２ ４
作業６
クルー3
３
作業７
10
15
作業８
作業９
現在時刻を 5 に進め，時刻 5 における適合作業から，作業8,9
を順に選択．作業8,9の開始時刻を 5 に設定．
54
作業時間をすべて１秒縮めた場合（5）
時刻 6 における
適合作業
作業10
0
クルー1 作業１
5
作業５
クルー2
２ ４
作業６
クルー3
３
作業７
10
15
作業８ 作業10
作業９
最後に，作業 10 を選択して完了！作業時間１をすべて１秒
縮めたにも関わらず，完了時刻は１５秒と１秒増加！
55
ピットクルーを増やすことによる改
善？
３人のピットクルー
（資源制約）
4人のピットクルー
（資源制約）
56
ピットクルーを4人に増やした場合（１）
時刻0において
開始できる作業（適合作業）
0
クルー1
5
作業１
作業２ 作業３ 作業４
10
15
作業１
クルー2 作業２
クルー3 作業３
クルー4 作業４
現在時刻（０）における適合作業から作業を選択
各々の開始時刻を 0 に設定
作業１，２，３，４が活動中の作業（ピンク色の作業）
57
ピットクルーを4人に増やした場合（2）
作業５
作業６
作業７
作業８
0
クルー1
5
10
15
作業１
クルー2 作業２
作業５
クルー3 作業３
作業６
クルー4 作業４
作業７
現在時刻（2）における適合作業から作業 5,6,7 を選択
各々の開始時刻を 2 に設定
58
ピットクルーを4人に増やした場合（3）
作業９
作業８
0
クルー1
5
作業１
10
15
作業８
クルー2 作業２
作業５
クルー3 作業３
作業６
クルー4 作業４
作業７
現在時刻（3）における適合作業から作業 8 を選択
作業8の開始時刻を 3 に設定
59
ピットクルーを4人に増やした場合（4）
作業９
0
クルー1
5
作業１
10
15
作業８
クルー2 作業２
作業５
クルー3 作業３
作業６
クルー4 作業４
作業７
作業９
現在時刻（6）における適合作業から作業 9 を選択
作業9の開始時刻を 6 に設定
60
ピットクルーを4人に増やした場合（5）
作業10
0
クルー1
5
作業１
作業８
クルー2 作業２
作業５
クルー3 作業３
作業６
クルー4 作業４
作業７
10
15
作業10
作業９
最後に作業10を入れて完了．
1人増やしたにも関わらず，完了時刻は１７秒と２秒も増加！
61
先行制約を無視した場合
0
クルー1
5
作業１
作業６
クルー2 作業２ 作業４
クルー3 作業３
10
作業５
作業７
15
作業９
作業10
作業８
完了時刻 18 のスケジュールの完成！
62
改善活動が改悪になる！
作業時間を１秒縮める
->完了時刻１５秒に増加！（もとは１４秒）
ピットクルーを4人に増やす
->完了時刻17秒に増加！
先行制約をすべて外す
->完了時刻18秒に増加！
近視眼的ヒューリスティクスを用いているとしばし
ば改善のための工夫が改悪につながる！
63
スケジューリングモデルの解法
近視眼的ヒューリスティクス
ディスパッチングルール（作業の重要度をパラ
メータとして入力；処理的IT）



遅れなしスケジュール生成法
有効スケジュール生成法
山崩し法
制約論理
メタ解法
64
スケジューリング最適化の例（工場内）
組立 品目A1 30
モニタ取り付け
メモリテスト
ソフトウェアインストール
メモリ取り付け
組立 品目A2 50
モニタ取り付け
リリース時刻
品目A1
メモリ取り付け
納期
品目A1
メモリテスト
ソフトウェアインストール
．．．
資源量
いつ開始
するかを決定
資源量上限
65
時間
ロット・スケジューリング問題
MIP/CP アプローチ
1.
MIP (ロットサイズ決定) :
各期の各品目の生産量ならびにブロック(同種の
機械の部分集合）への割り当てを決める．
期は月（もしくは週）を想定．
2.
CP (スケジューリング) :
各ブロック内での生産量が与えられたとき，使用
する機械の数と種類，生産順序を決める．
期は時間（もしくは日）を想定．
66
MIP/CPの情報のやりとり
MIP (ロットサイズ決定問題）
期・品目ごとに
使用する機械台数
段取りの情報
期・品目ごとの
生産量
品目のブロックへの
割り当て情報
CP (スケジューリング問題）
67
ロットサイズ決定問題（概念図）
ブロックA
１期
２期
３期
４期
５期
品目
段取り
ブロックB
製造量
68
スケジューリング問題（概念図）
MIPの情報
品目1 を200 units
品目3を400 units 製造
ブロックA
１期（＝１ヶ月）
機械
段取り
機械A1,A2,A3を使用して品目3製造
その後に，機械A1,A2を使用して品目1製造
69
まとめ
ロットサイズ決定モデル




例題とヒューリスティクス
強い定式化と弱い定式化
複数品目，多段階への拡張
MIPベースのメタ解法
スケジューリングモデル




PERT の例
ガントチャート
近視眼的ヒューリスティクスの危険性
MIP/CPアプローチ
70