Transcript 解析学 - Biglobe

『解析学』
後期の講義の概要
２００４年度
講義担当：松本茂樹
『解析学』
対象と方法
• 関数（変量）の研究
• 実数の諸様相が齎す関数探求の方法
– 順序構造：不等式による評価と近似
– 位相構造：極限・連続性の常套
– 代数構造：多項式関数、解析性
===微分積分学の核心===
変化を瞬間において捉える
• 定性的定式化（第４章）
• 定理２６ 微分係数（瞬間
的変化率）がつねに正で
ある区間において関数は
単調に増加する。
• Key words:局所と大域、
変化率（差商）、平均値
定理（⇔ロルの定理）、連
続関数の性質（最大・最
小値の定理等）
• 定量的定式化（第５章）
• 「微積分学の基本定理」
• f(b)-f(a) は導関数f’(x)
の（区間[a,b]における）
定積分で表される。
• Key words:積和（リーマ
ン和）の極限、面積概念
に相当する「量」としての
積分の定式化
平均値の定理を中心に据えた
コーシーの微分学
• 定理２５：「微分可能であれば連続である」
連続関数の性質を振り出しにした”歴史街
道（定理の連鎖）”（１４０ページの下方）
• 局所的変化（微分係数＝瞬間的変化率）
と大域的変化（区間での増減の様子）を結
びつける平均値定理の役割
重要な二つの例
• 定理２５（１２８ページ）の逆は不成立（反例あり）
– 微分不可能な連続関数の例
– 到る所微分不可能な連続関数の例
• ワイエルストラスの関数（１２９ページ）、高木の関数等
• ある点で微分係数が正であったとしても、「その
点の近傍で関数が増加する」とは云えない（１３
５ページの問５）
– 瞬間的な変化の様子から大域的な変化を導くことの
困難さを示すとともに直感的理解の限界を感じさせる
例ともいえよう。
リーマン積分
• 微分係数は“差商（変化の割合）”の極限
• 導関数（瞬間変化率）から元の関数（変化）を定
量的に復元するには、「“積和”の極限」を定式
化する必要があり、これが（定）積分である。
• 面積概念を既知とすれば、定積分は平面図形
の面積の代数和として定義され「微積分の基本
定理」等が初等的に証明される。
リーマンによる積分論
• リーマンは積分を「積和の極限」として定義した
（１７３ページから１７４ページ）
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– リーマン積分の定義を熟読し、１７５ページの問１の解
答を考えてよ。
積分可能条件（「ダルブーの定理」経由）
連続関数の積分可能性（定理３５）
微積分学の基本定理（定理３８）
「積分の性質」（基本定理の証明にも用いられる）
が積分の定義に基づいて明らかにされる
教科書『解析入門』第５章
• 面積概念を仮定した定積分（初等微積分）
• 「積和の極限」としての（有界関数に対する）リーマン積
分（p.１７３～１７４）
• 積分可能条件（定理３４＆定理３４’）
• 連続関数の積分可能性（定理３５）
• 積分の性質（p.186 の例２– p.191）
• 「微分積分学の基本定理」の証明（p.191-p.196）
• 広義積分（第３節）
• いろいろな例題（第４節）
後期中間試験について
• 日時：２００４年１２月８日（水） 9:10-10:30
• 場所：１４１教室（いつもの講義室）
• 出題範囲：後期講義の１１月２４日分まで
– 教科書『解析入門』の第４章及び第５章
• 注意：試験は「持込不可」で実施する。
復習のための要点（第４章）
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「重要な二つの例」
微分可能性に関して、問３（１２７ページ）
微分可能性に関して、問４（１２８ページ）
ロピタルの定理（１４９ページ）
– 定理の内容（仮定と結論）の正確な理解
– 例３、問１７（１５０ページ）、練習問題４の４及び５（１６
６ページ）
• 凸関数の（不等式による）定義（１５０ページ）
• 不等式の証明に関して、定理３２、問１９（１５６
ページ）、練習問題４の１１（１６７ページ）
復習のための要点（第５章）
• リーマン積分の定義（１７３・１７４ページ）
• リーマン積分の定義に基づいて、具体的
な関数が積分可能かどうかを見極める。
– 問１（１７５ページ）の関数
– 定数関数
– 階段関数
• 不定積分・原始関数（１９４ページ）の定義と相違
– 問１１（１９８ページ） 不連続関数の不定積分
– 問１３（１９９ページ）
• 広義積分（積分区間or被積分関数が非有界で
ある場合）
– 例３、問１４、例６、問１６、例７
• シュワルツの不等式（２１５ページの例９）
– 章末の練習問題５の５（２２０ページ）
今後の講義予定（第６章）
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１２月１日：級数の収束・発散（第１節）
１２月８日： === 中間試験 ===
１２月１５日：べき級数（第２節）
１２月２２日：関数列と一様収束（第３節）
１月１２日：級数と一様収束（第４節）