Transcript 乱流 - 名古屋工業大学

Nagoya Institute of Technology
中部ＣＡＥ懇話会 乱流数値解析講座
乱流現象と基礎理論
名古屋工業大学 大学院
創成シミュレーション工学専攻
後藤俊幸
Nagoya Institute of Technology
流れの方程式の特徴
運動量保存則
（粘性流体）
（Ｎａｖｉｅｒ Ｓｔｏｋｅｓ 方程式）
流れる
圧力
粘性
１．非線形
レイノルズ数 ＝
Nonliner term
Viscous term
=
２．連続体 （無限大自由度）
３．粘性


数学的解析が著しく困難 （限られた数の厳密解があるだけ）
同じ初期、境界条件のもとでも解は1通りでない（解の安定性）
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乱流の特徴
1. 微小撹乱に対する不安定性
2. 強い非線形性
Nonlinear term
=
Viscous term
3. 巨大な輸送能力
Turbulent viscosity
=
Molecular viscosity
4. 無限大自由度
5. 散逸系
をもつランダムな流れ場
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十分発達した乱流の基礎的理論
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乱流研究の巨人達 １
A. N. Kolmogorov
O.(1903-1987)
Reynolds
(1842-1912)
L. Prandtl
(1875-1953)
T. Von Karman
(1881-1963)
G. I. Taylor
(1886-1975)
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乱流研究の巨人達 2
A. N. Kolmogorov
(1903-1987)
L. Onsager
(1903-1976)
L. D. Landau
(1908-1968)
S. Chandrasekhar
(1910-1995)
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乱流研究の巨人達 3
J. von Neumann
(1903-1957)
R. P. Feynman
(1918-1988)
G. K. Batchelor
(1920–2000)
R. H. Kraichnan
(1928-2008)
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Kolmogorov の乱流理論 (1941, K41)
Onsager, von Weizeker, Heisenberg
乱流における各スケールでの統計を考える
乱流理論の一里塚
Velocity increments
v
u
r
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２つの仮説と次元解析
1. R >> 1 でかつ r << L のとき
U と V の確率密度関数は n
n
0
のとき
と
,
乱流場は局所的に等方的で、
e で一意に決まる
e
は有限
単位質量あたりの
平均エネルギー散逸率
動粘性率
h= (n / e )
3
1/4
Kolmogorov 長さ
最も小さいスケール
2. h << r
のとき, 確率密度関数は粘性によらない
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V
n   のとき
抵抗
e 有限
Cd : 抵抗係数
S
パワー
Fluid dynamics for physicists
Faber (Cambridge 1995)
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Sketch of Turbulence
Energy input
ein
L
P
eout
h
Scale
Heat
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慣性領域
h << r << L
PDF
(Probability Density Function)
Moment
Normal scaling
Kolmogorov’s Spectrum
Kolmogorov’s 4/5 Law
(Onsager 1945)
(asymptotically exact)
Characteristic time
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十分発達した乱流の解析的統計理論
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フーリエ空間でのNS 方程式
圧力は非圧縮条件より消去
外力
Lbox >> L
Lbox
（乱流の巨視的な長さ）
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速度揺らぎのエネルギースペクトル
k3
k
dk
k2
k1
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乱流の解析的統計理論
完結の問題 (Closure problem) 移流項, 圧力項, 粘性項
NS eq.
Moment eq.
PDF eq.
Conditional average of
the Lagrangian acceleration
Random forcing
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乱流のスペクトル理論 (たとえばE(k,t) を計算すること）
Eulerian theory
•Quasi Normal
(Milionshtchikov 1941, Proudman and Reid 1954,Tatsumi 1957)
•Direct Interaction Approximation (Kraichnan 1959)
•Modified Quasi Normal Markovian (Tatsumi, Kida and Mizushima 1978)
Phenomenologcal Theory
•Eddy Damped Quasi Normal Markovian (Orszag 1966)
•Test Field Model (Kraichnan 1971)
Lagrangian Theory
•Lagrangian History Direct Interaction Approximation (Kraichnan 1965)
•Lagrangian Renormalized Approximation (Kaneda 1981)
• ラグランジュ的物理量を用いて方程式を閉じている
• 任意定数を含まない
• システマティック
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乱流の解析的統計理論
Quasi Normal Theory （準正規理論）
(Milionshtchikov 1941, Proudman and Reid 1954,Tatsumi 1957)
Moment eq.
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Key players
Average rate of the energy dissipation per unit mass
Equation of the energy spectrum
P (k)
Energy transfer flux
k
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Kolmogorov スペクトル
K : Kolmogorov constant
=1.62 (Exp. Sreenivasan 1995)
=1.64 (DNS, Gotoh et al. 2002)
=1.72 (LRA, Kaneda 1986)
スペクトル理論の成果
•
•
•
•
•
エネルギーカスケードの存在
乱流粘性の一般的表現
乱流拡散
ラグランジュ的およびオイラー的速度相関
スカラー分散のスペクトル
辻(2002)
Tsuji 2002
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log E(k)
乱流のエネルギースペクトル
連続スペクトル
Inertial range
Energy
containing
range
ein
in a steady state
～
ein = P ＝eout
～
P
Dissipation
range
eout
log k
kL=1/L
Energy input
kd=1/h
Heat
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エネルギースペクトルには切れ目がない
スケールの分離がない
あるスケール kc 以下（以上）の自由度の運動のモデル化の困難
kc に依存したモデとなって普遍性が弱くなる
予測と制御の不確かさ
E(r)
スケールの分離がある例
ミクロスケールの現象
粘性、拡散など
巨視的な現象
r=kc-1
r
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十分発達した乱流と計算科学
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問題点
解析の困難さ
理論に導入された仮定
誤差評価
適用限界
強い非線形性
散逸系
集団平均測度が不明
シミュレーション
スケールの分離がない！
すべての乱流スケールをまるごとシミュレートすることが必要
一切のモデル化の排除
乱流の直接数値計算 （Direct Numerical Simulation, DNS）
乱流のDNS は解像度が命
できるだけシンプルな乱流を選ぶ
より簡単な問題
バーガース乱流, Kraichnan Model (Passive scalar )
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Canonical Turbulence
乱流の基礎物理の解明に向けて、
１．できるだけ単純な境界条件
計算機資源のほとんどを時間・空間解像度に投入
２．研究の基準となるさまざまなデータを供給
３．理論の構築や検証に対する規範
一様等方性乱流
一様せん断乱流
平行平板間流れ
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一様等方性乱流
（Homogeneous Isotropic Turbulence, HIT ）
• 無限に広がった空間内において、統計が空間並進と回転に対して不変な乱流
• 統計物理量の独立変数、従属変数が少ない
• 普遍性への期待（境界条件や初期条件によらない）
continuum, convection, pressure (incompressibility )
Simple Model
Real life flow
Lorenz
Shell model
Cascade model
(Multi Fractal,
Log Poisson)
…….
Poiseullie flow
Heat convection
Airplane
Atmosphere
Ocean
HIT
…….
Complexity
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Taylor Micro Scale
l
L
r
L : 乱流の巨視的スケール
l : Taylor microscale
Taylor microscale Reynolds number
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乱流のDNS は解像度が命
最小の乱流渦まで正しく解像することが必須
乱流の自由度
L : 乱流の巨視的スケール
ジェット旅客機
Re=10 8 N～10 18
台風
Re>10 12 N>10 27
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乱流の計算科学
一様等方乱流のDNS
スペクトル法
周期的境界条件（統計的一様性）のもとで NS 方程式を数値的に解く
フーリエ級数に展開
外力
Lbox >> L
Lbox
（乱流の巨視的な長さ）
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スペクトル法
長所
微分量の高精度評価
ポアッソン方程式の高精度解
（非圧縮条件あるいは質量保存則を高精度で満たす）
非線形項のエネルギー保存に優れている（ k < kmax ）
短所
の計算負荷が大きい
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直接和
計算量膨大
スペクトル法
u(k)
F [u(x)u(x)]
FFT （Fast Fourier Transform)
F- -1
F
高効率のFFTが重要
u(x)
u(x)u(x)
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乱流の DNS の発展
10000
4000
Peta Machine
460
170
1000
vpp5000/56 NUCC
Caltech Delta machine
1200
Rl
Cray-2 CCVR
Earth Simulator
100
vpp500 NUCC
Cray-1S NCAR
40
IBM Model 360-95
Cray-1 NCAR
280
2/3
R l ∝ Nx
10
10
100
1000
10000
100000
Nx
「乱流の謎にせまる計算科学」 後藤、石原 （パリティ ２００２年１０月号）
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一様等方性乱流
Rl =732
|w |> |w| + 4s
Kaneda and Ishihara ( JOT, 2005)
乱流の大規模DNSで
見えてきたこと
階層構造をもつ
渦管の大集団
乱流の統計力学
l
10l
L
10h
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乱流による温度や物質の輸送
Watanabe and Gotoh 2006
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T=<T>+q = Gz+q
G
Rl= 468, Sc=1, N=1024 3
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Scalar dissipation
Rl= 468, Sc=1, N=1024 3
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Great wall in the universe
Sketch of Pleiades cluster
by Galileo (1610)
Galileo’s telescope (1610)
de Lapparent et al. (1986)
http://www.nhk.or.jp/school/junior/yougo26.html#010
Subaru Telescope (1999)
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規格化されたエネルギー散逸率
Doering and Foias (2002)
eL
b=
3
urms
Donzis et al. (2005)
Doering and Foias (2002)
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Compensated Energy Spectra
N=4096 3
N=1024 3
(Kaneda, Ishihara, Yokokawa, Itakura, and Ueno, 2002)
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スケールごとのエネルギー
KHK equation
4/5 law
(Gotoh et al. 2002)
•KHK 方程式（エネルギー収支）は満たされている
•Rl の増大と共に 4/5 法則へゆっくりと漸近
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間欠性
Kolmogorov 理論のやぶれ
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Intermittency
deviation from Kolmogorov (K41) theory
Structure functions of velocity increments
Kolmogorov (K41)
DNS (Gotoh et al. 2002
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Kolmogorov 理論によるスケーリング指数 zp=p/3
(Gotoh et al. 2002)
(Chen et al 2005)
Kolmogorov 理論 とは異なるスケーリング
？
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間欠性 （Intermittency）
u(t)
PDF
t
du(t)
dt
PDF
t
大気接地層（地上７ｍ, Rl=3300 )
Praskovski (1997)
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PDF of longitudinal velocity increment
N=2048 3
Rl =585
r decrease
r decrease
In Kolmogorov Theory
PDF の曲線は重ならず、スケールに依存して変化
分布関数はスケールの減少とともにどのように変化するか？
Navier Stokes方程式から定量的に計算できるか？
普遍性はどこにあるのか（中心部分それとも裾野）？
h << r << L
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Particle trajectory and acceleration in turbulence
Low
High
1,500 times the acceleration of gravity (equivalent to 40 s )
La Porta et. al. Nature 409, 1017-1019 (2001)
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PDF of acceleration
Experiment Rl = 690
Mordant, Crawford and Bordenschatz
Physica D (2004)
DNS Rl = 381
Gotoh and Kraichnan Physica D (2004)
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経済活動における特異なゆらぎ
Log (P/<P>)
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Energy flux
Forward
Average flux
Reverse
Wavenumber
k=1/r
Pr
: エネルギー輸送流束の大きな揺らぎと小さな平均値
Navier-Stokes の動力学（慣性力）が直接関わっている
Cf. Volume averaged dissipation
er
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乱流の計算科学
大きな特徴

実験では得にくい物理量が計算可能
圧力場、圧力勾配場（加速度）、 .....

可視化に優れている
渦度場、散逸場、圧力、濃度、 …..

仮想実験が可能
場の外科手術、方程式の各項の変形、次元の影響、…..
いろいろな乱流現象にも
パッシブスカラー（ベクター）乱流、対流、超流動乱流、…..
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乱流理論と計算科学 のこれから
統計力学、熱力学： 常にNA~10 23 の極限状態
もしNA~10 3 だったら？
乱流： R→∞ の漸近状態はめったに実現しない
大気、海洋、宇宙など
Kolmogorov 理論、これまでの統計理論
その多くがR→∞の極限での理論
乱流の HITのDNS はようやく漸近状態が
見えつつあるところまで来た しかしまだ不十分
Rl∝N 2/3 でしか増大しない
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もしのパワーをもつ計算機があったら？

本当に漸近状態はあるのか？ あるとすれば

乱流の漸近状態の現象論
スペクトル、分布関数、応答、非等方性、エネルギー輸送、…

どれほど普遍的なのか?
記述のための物理理論と要求精度との兼ね合い
巨大なデータに埋もれる？
埋もれないためには
個々のスケールやパターン
（たまねぎの1枚1枚の皮） を見る眼と
全体を（たまねぎの全体）見渡す理論の構築
乱流の統計力学と巨視的理論
漸近状態での乱流理論 から 有限状態での乱流理論へ
Nagoya Institute of Technology
まとめ

Canonical Turbulence DNS を用いて乱流の基本的問題にアプローチ

Kolmogorov 理論の検証が進んでいる
スペクトル、4/5 法則はほぼOK, 高次モーメントはNO

スペクトル理論はある程度成功しているものの十分ではない
詳細な検証が必要

小さいスケールでの乱流場の統計は Kolmogorov 理論からずれる
間欠性の問題はいまだ解かれていない
普遍性、漸近状態（n  )

乱流のDNSにより乱流場の詳しい情報が得られるようになった
近似的理論の構成に役立てることができる
より大きなレイノルズ数の乱流場の実現が求められる

場の特異性や空間構造や配位と統計法則との関連が重要

仮想実験と乱流 DNS の有効性
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工学への応用と実用に向けての
乱流の数値シミュレーション
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数値シミュレーション
工学や物理現象解明のための重要な手法
詳細で信頼性の高い天気予報
環境・エネルギー問題
経済的な製品開発
危機予測と回避
………
高解像度とより忠実な物理プロセスの導入
信頼性のあるモデル化
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流れの方程式の数値シミュレーション
時空間をサイズ Dx, Dt のメッシュに分割して微分を表現
y
D
x
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流体力学における数値計算
Richardsonの夢、Neumannの挑戦
L. F. Richardson (1922)
「数値的手法による天気予報」
流体力学の式を使えば天気用法が出来る(はず）
手回し計算機
1920年5月20日の天気図
6時間後のミュンヘンでの気圧変化
145hPa！
失敗の理由
大きなスケールの高低気圧による変化と乱流(小さな渦）による変化が
区別できなかった (乱流による変化分＞高低気圧による変化分）
大正12年3月18日 虎印計算機械 第一号
大本寅治郎（1887-1961）
http://www.tiger-inc.co.jp/temawashi/temawashi.html
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J. G. Charney，E. Fjortoft，J. von. Neumann (1946～1956)
Princeton, IAS（Institute Advanced Study)
ENIAC
24時間後の500hPaの高度面の予測に成功 （１５ｘ１８ 格子点）
成功の理由
大規模な流体運動のみの方程式を流体力学より導出した
(準水平運動、準地衡風近似によるノイズ(乱流成分）の除去）
気象現象（流体運動）におけるスケールの概念の導入
ENIAC
真空管17468本
メモリ 20個の変数 と300個の定数
幅24m、高さ2.5m、奥行き0.9m、
総重量30トン，消費電力は150kW
Wikipedia より
Nagoya Institute of Technology
乱流現象の謎を大規模コンピューターシミュレーションにより解明
たいていの流れは乱流 しかし、 いまだ解けていない大問題
地球： 大気と海洋
地球シミュレータによる海洋のシミュレーション
Nagoya Institute of Technology
Earth Simulator による太平洋の５０年積分
http://www.jamstec.go.jp/esc/gallery/index.html#simulation_movie
Nagoya Institute of Technology
log E(k)
Inertial range
～
P
Energy
containing
range
grid scale
(GS)
in a steady state
～
ein = P ＝eout
Dissipation
range
subgrid scale
(SGS)
ein
eout
log k
kL=1/L
Energy input
Kc=p/dx
kd=1/h
Heat
Nagoya Institute of Technology
乱流のモデリング
乱流のすべてのスケールを解像する
コスト高い
dx = kc-1
Large Eddy Simulation (LES)
巨視的な乱流運動のみをシミュレート
格子サイズ以下の乱流運動をモデル化
grid scale
(GS)
subgrid scale
(SGS)
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Filtering
GD
x
GS
SGS
r
Nagoya Institute of Technology
乱流のモデリング
どのように LES のよしあしを判定するのか？
?
DNS はLES モデルの開発に必要不可欠
Nagoya Institute of Technology
理論的整合性のある乱流モデルの開発
乱流理論、乱流の大規模DNS
乱流モデルの構築
• 定性的、定量的評価
• 誤差の由来と適用限界
Nagoya Institute of Technology
どのようにLESのよしあしを判定するのか
アプリオリテスト
モデルの直接の比較
?
アポステリオリ テスト
乱流場の特性についてＤＮＳ と ＬＥＳを比較
１．エネルギースペクトル、レイノルズストレス、分布関数、
時間相関
…….
２．速度場のパターン
３．誤差成長
|uDNS - uLES|
DNS はLES モデルの開発に必要不可欠
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参考文献
「乱流理論の基礎」 後藤俊幸
朝倉書店 １９９８
特集 「乱流」 パリティ 丸善 ２００２年１０月号