Transcript 連星BH半周定理

連星BH半周定理
東工大 椎野克
＠市大
○目次
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背景
直感的考察１，２
連星BH半周定理
．．．
○背景
• 合体連星BHの数値実験
AHの連星軌道運動（十数回転）
Ref:例えばPretorius PRL 95 121101
• 事象の地平線のトポロジー
共形図（注、acausal crease set）を書いてみると回転
するような気がしない。
Ref:MS(2000)
• どのように理解できるか？
Event horizonに関して言えば上限回転角が
あるかもしれない。（数値実験と整合？AH or EH）
○直感的考察その１
Crease set
• 合体する軌道は非因果的
• ブラックホールの速度は高々光速
2R
Θ
半径をRとすると合体するまでに
ΔT ＜ R/c
この間の回転角Θは
Θ＜cΔT/R＜１ で高々1ラジアンより小さい。
ΔT
○直感的考察その２
EH of BH
EH of BH
たくさんの重力波
少しの重力波
動的
準定常回転
トーラスEH
半周に上限か？
In another timeslicing
○回転角の上限の存在
• 回転角に上限が存在するかもしれないが定義に
角度座標
相対論的な問題がある
1 共変的回転角の議論
boost
2 大きさのあるBH
（三次元運動）
3 見せ掛けの回転
？
○連星BH半周定理
• 半周なら回転角は角度座標と無関係
1rad＜半周 ： 180度の軸は真っ直ぐ
• 軌道面の存在は仮定
（軌道面鏡映）
角度が決められない
• 見せかけの回転も光速を超えない（原点＝
Timelike 条件）
○議論
• 何故LROを使ったか。
• AHとEHの関係（GW）
• より現実的なcorollaryは？ある程度の対称
性を仮定した方が良いかも。
特に座標条件に関しても条件付けが可能？
定義：comoving ball
• globally hyperbolicを仮定。
• T（時間ベクトル）はいたる所でtimelike
• oはTにtangent
T
S(tf)
U o
BU
T
• 境界BUもtimelike
T
U
T
o(t)
S(t)
T
T
S(ti)
定義：Light Ray Opposite
• pの原点oに対するｔ2上の反対側を
図のλ（p，t2）によって
o
定義する。
g
p
J+(p)
gp(tc)
pt
2
Ot 2
l(p,t2)
p
注、短いかもしれない、無いかもしれない
（γはJ+のgenerator）
定義：合体する連星BH系
O(tf)
H
Hpo
O(t’)
O(ti)
Hpr
定義：連星軌道の半周
• 各々のブラックホールについてある点pが存
在し時刻t2までの間にそのLROをブラック
ホールの軌道φが横切る。
o
J+(p)
gp
HA∩ Ot2
pt2
pt
Ot2
Ot
Ot1
HA∩ Ot1
p
HA∩ Ot
ft A
ft2A l(p,t )
2
l(p,t)
主張
∀pI∈BI、∀pII∈BII、
Opr∩J+（pI）∩J+（pII）
+
+
J(pII)∩Opr
J(pI)∩Opr
Ot’
o
Opr
Oti
pI
pII
BI
BII
系
oが両方のcausal futureと交わる事はない
補助定理
• どちらかは正しい
• LRO λ（pI，t2） はJ+（pI）∩Oprと交わらない
• For II、、
o
p
gpI
+
J (pI)
+
J(pI)∩Opr
pt
q
2
pt
o(t2)
Ot2
2
l(pI,t2)
pI
timelike curve
半周定理
• 補助定理より、半周できない。
○picture（timelikeな時間ベクトル）
議論
• 定理はcovariant
• LROが短いかも、無いかも
• AHでの定理
• 観測、、〇back light ×重力波
注意、free fall timeがRより小さい
～(M>R)
• 特異点（or caustic）に支えてLROが作れない。
• 定義：modified LRO
• Lemmaは同様に成立
J(p)⊂J（p’）⊂J（p’’） 。
それでも駄目な場合とは
宇宙論的particle horizon
未来向きnull
MLRO
o(t) ∂t
p
p’
p’’
• Proposition
二つの
causal future
は交わらない。
o(t)は両方とは
交わらない。
LRO
p
B1
o(t)
q
• Lemma p,qから出たnull generatorが
両方ともそれぞれのLROと交わることは無い。
Theorem
軌道断面上、あるpがあって
LRO（p）はみんな到達するので、
任意のo(t)について半周しない。
B2
• 定義 「light ray opposite」
• 定義 「連星system」
軌道面上、将来合体２BH
（まだしていない）
、timelikeな原点
• 定義 「連星の半周期」
軌道断面上で各点
の任意のmoveφ
LRO
でLROに到着
Φ
未来向きnull
o(t)
LRO
o
∂t
p
Φ
LRO
軌道面