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物質の
究極構造
原子
原子核
ハドロン
陽子p
=uud
光子
g
電磁相互
作用を媒介
中間子
核力を
媒介
中性子n
=udd
基
本
粒 電子
子
e
クォーク
u
d
s
物質の
究極構造
強い相互作用
原子
原子核
ハドロン
陽子p
=uud
中間子
核力を
媒介
中性子n
=udd
グルオン
光子
g
Ga
電磁相互
強い相互
作用を媒介 作用を媒介
基 クォーク
u
本
粒 電子
グルオン
子
e
d
クォーク
クォーク
u
クォークが
d
s
グルオンを受渡す
強い相互作用は
その量子力学的
重ね合わせの効果
b 崩壊
物質の
究極構造
p 弱い
相互作用
e
は
ne
反粒子
n
原子
原子核
ハドロン
陽子p
=uud
中間子
核力を
媒介
中性子n
=udd
グルオン
光子
g
Ga
電磁相互
強い相互
作用を媒介 作用を媒介
基 ニュートリノ
本
ne
粒 電子
子
e
クォーク
u
d
s
基本粒子
物質の
究極構造
b 崩壊
n
原子
原子核
ハドロン
陽子p
=uud
中間子
核力を
媒介
中性子n
=udd
p 弱い
相互作用
e
は
ne
反粒子
W-
基 ニュートリノ
本
ne
粒 電子
子
e
クォーク
u
ウィークボソン
グルオン
光子
g
Ga
W± Z0
電磁相互
強い相互
弱い相互
作用を媒介 作用を媒介
作用を媒介
d
s
b 崩壊
物質の
究極構造
n
原子
原子核
中間子
ハドロン
陽子p
=uud
中性子n
=udd
p 弱い
相互作用
e
は
ne
反粒子
W-
基 ニュートリノ
本
ne
粒 電子
子
e
クォーク
u
c
ウィークボソン
グルオン
光子
g
Ga
W± Z0
電磁相互
強い相互
弱い相互
作用を媒介 作用を媒介
作用を媒介
d
s
t
b
b 崩壊
物質の
究極構造
原子
原子核
ハドロン
中間子
p 弱い
相互作用
e
は
n
ne
W反粒子
基 レプトン
ニュートリノ
本
nt
ne
nm
粒 電子 ミュー タウ
子
t
m
e
クォーク
u
c
t
中性子n
陽子p
=udd
=uud
b
d
s
ゲージボソン
ウィークボソン
ヒグスボソン
グルオン
光子
g
f
Ga
W± Z0
電磁相互
強い相互
弱い相互
対称性の破れ
質量生成
作用を媒介 作用を媒介
作用を媒介
b decay
n
atom
atomic
nucleus
hadron
meson
nuclear
force
neutron
n =udd
p weak
interaction
e
antine
particle
Wlepton
neutrino
nt
ne
nm
electron muon tauon
t
m
e
fundamental particle
ultimate
structure
of matter
quark
u
t
c
proton
p =uud
b
d
s
gauge boson
weak boson
Higgs boson
gluon
photon
g
f
Ga
W± Z0
symmetry breaking
weak
elctromagnetic strong
mass generation
interaction
interaction
interaction
b 崩壊
物質の
究極構造
原子
原子核
ハドロン
中間子
p 弱い
相互作用
e
は
n
ne
W反粒子
基 レプトン
ニュートリノ
本
nt
ne
nm
粒 電子 ミュー タウ
子
t
m
e
クォーク
u
c
t
中性子n
陽子p
=udd
=uud
b
d
s
ゲージボソン
ウィークボソン
ヒグスボソン
グルオン
光子
g
f
Ga
W± Z0
電磁相互
強い相互
弱い相互
対称性の破れ
質量生成
作用を媒介 作用を媒介
作用を媒介
場
場の 量子論
番号
時空座標
=
力学変数: 場 fi (t , x , y, z )
基本粒子の従う
基本法則は何か?
m
0
1
2
3
時空座標 x = (x , x , x , x )
はパラメタ
量子論では
基 レプトン
ニュートリノ
基 本
nt
ne
nm
本 = 粒 電子 ミュー タウ
場 子
t
m
e
クォーク
t
u
c
d
ゲージボソン
ウィークボソン
グルオン
光子
g
Ga
W± Z0
電磁相互
強い相互
弱い相互
作用を媒介 作用を媒介
作用を媒介
s
b
ヒグスボソン
f
対称性の破れ
質量生成
基本粒子の従う
基本法則は何か?
力学変数: 場 fi (t , x , y, z )
量子論の枠組み
m
0
1
2
3
時空座標 x = (x , x , x , x )
状態空間
はパラメタ
力学変数は演算子
力学 法則 運動方程式 どう決める?
交換関係の代数
Lagrangian L = L({qI },{q I })
I = (i,x) qI =fi (x)
場の 量子論
番号
時空座標
=
 L L
L
=
運動方程式
pI =
正準共役運動量
t qI q I
q I
q I :力学変数
正準交換関係 [qI , pJ ] = i IJ
1
1 2
2
 = -kx p = mx [xi , p j ] = iij
mx
例 L = mx - kx
2
2
x = r sin  , y = r cos ,
[
r
,
p
]
=
i

p
=
m
r
r
1
1
r
L = m(r 2  r 22 ) - kr 2
2
[ , p ] = i
p
=
mr


2
2
基本粒子の従う
基本法則は何か?
力学変数: 場 fi (t , x , y, z )
量子論の枠組み
m
0
1
2
3
時空座標 x = (x , x , x , x )
状態空間
はパラメタ
力学変数は演算子
力学 法則 運動方程式 どう決める?
交換関係の代数
Lagrangian L = L({qI },{q I })
I = (i,x) qI =fi (x)
場の 量子論
番号
時空座標
=
 L L
L
=
運動方程式
pI =
正準共役運動量
t qI q I
q I
q I :力学変数
正準交換関係 [qI , pJ ] = i IJ
Lagrangian を決める基準
対称性
局所性
簡単な形
対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変
十分条件 Lagrangianが不変
局所性 運動方程式が1時空点に関する記述になっている
対称性 力学変数の変換で運動方程式、Lagrangianが不変
Lagrangian L = L({qI },{q I })
I = (i,x)
qI =fi (x)
 L L
L
=
運動方程式
pI =
正準共役運動量
t qI q I
q I
q I :力学変数
正準交換関係 [qI , pJ ] = i IJ
Lagrangian を決める基準
対称性
局所性
簡単な形
対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変
十分条件 Lagrangianが不変
局所性 運動方程式が1時空点に関する記述になっている
対称性 力学変数の変換で運動方程式、Lagrangianが不変
変換 力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'}
A に変えて記述 (Aq ) ' = F ({q
}) 回転、Lorentz変換等
I
I (qJJ)
変換群G 積 =逐次変換の結果 (AB) q = A(Bq) (A, B ∊G)
単位元 =恒等写像
例 回転
y"
y' y
x"

x'
 x
逆元A-1の存在を仮定
 x '   cos - sin   x 
  = 
 
 y'   sin  cos  y 
 x"  cos - sin  x ' 
  = 
 
 y"  sin cos  y' 
 x"  cos - sin  cos - sin   x 
  = 

 
 y"  sin cos  sin  cos  y 
対称性 力学変数の変換で運動方程式、Lagrangianが不変
変換 力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'}
A に変えて記述 (Aq ) ' = F ({q
}) 回転、Lorentz変換等
I
I (qJJ)
変換群G 積 =逐次変換の結果 (AB) q = A(Bq) (A, B ∊G)
単位元 =恒等写像
逆元A-1の存在を仮定
リー代数g : 無限小変換Xの集合 A=eiaX =1+iaX+O(a2)
gはvector空間
基底Xm [Xm,Xn]=ifmnlXl (fmnl:構造定数)
例 回転  x '   cos
  = 
 y'   sin 
y' y

x'
x
- sin   x   1 -   x 
  = 
   O ( 2 )
cos  y   1  y 

 0 - i   x 
    O ( 2 )
= 1 - i 
 i 0   y 

対称性 力学変数の変換で運動方程式、Lagrangianが不変
変換 力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'}
A に変えて記述 (Aq ) ' = F ({q
}) 回転、Lorentz変換等
I
I (qJJ)
変換群G 積 =逐次変換の結果 (AB) q = A(Bq) (A, B ∊G)
単位元 =恒等写像
逆元A-1の存在を仮定
リー代数g : 無限小変換Xの集合 A=eiaX =1+iaX+O(a2)
gはvector空間
基底Xm [Xm,Xn]=ifmnlXl (fmnl:構造定数)
FI ({qJ}) は線形とする。 (Aq )I = D(A)IJ qJ
D(AB )IKqK = (A Bq)I = D(A)IJ (Bq)J = D(A)IJ D(B )JK qK
D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK
D(A)IJ :群Gの線形表現
リー代数gの表現 d (X )
[d(X ),d(Y )] = d([X ,Y ])
D(A) = (e iad (X ) ) = 1 iad(X )  O(a 2 )
[d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
対称性 力学変数の変換で運動方程式、Lagrangianが不変
(Aq)I = FI ({qJ})
(Aq )I' = FI ({q
(qJJ)}) 回転、Lorentz変換等
変換群G 積 =逐次変換の結果 (AB) q = A(Bq) (A, B ∊G)
単位元 =恒等写像
逆元A-1の存在を仮定
リー代数g : 無限小変換Xの集合 A=eiaX =1+iaX+O(a2)
gはvector空間
基底Xm [Xm,Xn]=ifmnlXl (fmnl:構造定数)
FI ({qJ}) は線形とする。 (Aq )I = D(A)IJ qJ
D(AB )IKqK = (A Bq)I = D(A)IJ (Bq)J = D(A)IJ D(B )JK qK
D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK
D(A)IJ :群Gの線形表現
リー代数gの表現 d (X )
[d(X ),d(Y )] = d([X ,Y ])
D(A) = (e iad (X ) ) = 1 iad(X )  O(a 2 )
[d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
対称性 力学変数の変換で運動方程式、Lagrangianが不変
(Aq)I = FI ({qJ}) =D(A)IJ qJ
D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK
A=eiaX =1+iaX+O(a2), [Xm,Xn]=ifmnlXl
D(A) =eiad(X) =1+iad(X)+O(a2), [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
リー代数g : 無限小変換Xの集合 A=eiaX =1+iaX+O(a2)
gはvector空間
基底Xm [Xm,Xn]=ifmnlXl (fmnl:構造定数)
FI ({qJ}) は線形とする。 (Aq )I = D(A)IJ qJ
D(AB )IKqK = (A Bq)I = D(A)IJ (Bq)J = D(A)IJ D(B )JK qK
D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK
D(A)IJ :群Gの線形表現
リー代数gの表現 d (X )
[d(X ),d(Y )] = d([X ,Y ])
D(A) = (e iad (X ) ) = 1 iad(X )  O(a 2 )
[d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
対称性 力学変数の変換で運動方程式、Lagrangianが不変
(Aq)I = FI ({qJ}) =D(A)IJ qJ
D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK
A=eiaX =1+iaX+O(a2), [Xm,Xn]=ifmnlXl
I = (i,x), qI =fi (x)
D(A) =eiad(X) =1+iad(X)+O(a2), [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
場の変換 (時空の変換ない場合) (Af )i (x ) =D (A)ij fj (x)
時空の変換 x' =Ax の場合 (Af )i (Ax ) =D (A)ij fj (x)
Poincare変換
Lorentz変換
A = U (A) 
U (A)U (B ) = U (AB)
状態の変換
場の変換
(Af )i (x ) = U (A)fi (x)U (A)-1 = D(A)ij f j (A-1x )
無限小変換 u(X )
U (A) = e iau ( X ) = 1 iau(X )  O(a 2 )
(Xf )i = [u(X ),fi ] = d(X )ij f j - X mn xn  mfi
[u(X ),u(Y )] = u([X ,Y ])
[u(Xm), u(Xn)]=ifmnlu(Xl)
回転群O(3) 直行行列A AAt=1
3
i  ak J k
generator J i (i = 1,2,3)
(J i )jk = -iijk A = e k=1
リー代数
交換関係 [Ji , J j ] = iijkJk
[J 2 , J i ] = 0
群の不変量 J 2 = (J1 )2  (J 2 )2  (J 3 )2
J  , J -  = 2J z
J z , J   = J 
J  = J x  iJy とおく
J z m = m m とする
J2 m = m
J z J  m = (J J z  J  ) m = (m 1)J  m
J - J z = J x  J y = (J J -  J -J  ) / 2
mの最大(小)値=j (k) J  j = J - k = 0
2
2
2
2
J  m  m 1
 - m 2  0
j -k=nは整数
2


j
- j = 0,  - k 2  k = 0
J J  = J - J z  J z
 j =n / 2
( j  k )( j - k 1) = 0  j = -k ,  = j ( j 1)
2
2
J  m =  j ( j 1) -m(m 1) m 1
||=1
=1と選ぶ
J  m = j ( j 1) -m(m 1) m 1
J  m =  j ( j 1) -m(m 1) m 1
J  m = j ( j 1) -m(m 1) m 1 = ( j  m)( j  m 1) m 1
j =0
m=0
1
j=
2
1
m=
2
Jz = 0
J = 0
J x = Jy = 0
 0 0
 0 1

J - = 

J  = 
 1 0
 0 0
1 1 0 
1 0 -i 
1  0 1

J z = 

J y = 

J x = 
2  0 -1
2i 0 
2  1 0
Ji =
i
リー代数の表現
2
0 -i 

 2 = 
i 0 
 0 1

1 = 
 1 0
[i , j ] = 2iijkk
群の表現
a J

k =1 k k
A =e
i
3
1 0 

 3 = 
 0 -1
Pauli行列
{i , j } = 2ij
群としては2価表現
J  m = j ( j 1) -m(m 1) m 1 = ( j  m)( j  m 1) m 1
j = 1 m = 0,1
 0 0 0
 0 1 0




J - = 2 1 0 0 
J  = 2 0 0 1 
 0 1 0
 0 0 0




0
 0 -1 0 


i 
1 Jy =
 1 0 -1 リー代数の表現
2


0
0
1
0


3
i  ak J k
A = e k=1
1 0 0 


Jz = 0 0 0 
 0 0 -1


0 1
1 
Jx =
1 0
2
0 1
群の表現
j =m
m = - j ,- j 1,, j -1, j
Jz m = m m
J x = (J   J - ) / 2
J 2 = j ( j  1)
2j1次元表現
J  m = ( j  m)( j  m 1) m 1
J y = (J  - J - ) / 2i
SO(3,1)
Lorentz群
x'm x'n mn = x m xnmn
00  1
det  = 1
x 'm = mn xn
mn  n =  m
proper Lorentz transformation
 = X
X mnn  X   m = 0
1 
mn
X = - ia (M  )mn
2
mn
m n
m n
(M  ) = i(   -    )
m
n
(M10 )mn
,
,
m
n
0

i
=
0

0
(M12 )mn
i
0
0
0
0

0
=
0

0
m
n
0
0
0
0
0

0
0

0
0 0
0 -i
i 0
0 0
( mn  X mn )(   X  )n = m
X m = -X m
a   = -a 
(M  )mn = i( mn - mn )
(M 20 )mn
0

0
0

0 
(M13)mn
0

0
=
i

0
0

0
=
0

0
0
0
0
0
0
0
0
i
i
0
0
0
0

0
0

0
0 0

0 -i
0 0

0 0
(M 30 )mn
(M 23)mn
0

0
=
0

i
0

0
=
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i

0
0

0
0 0

0 0
0 -i

i 0
[M mn , M  ] = -i(nMm  mMn - nM m - m Mn )
1
J1 = M 23 J 2 = M 31
J 3 = M12
J i = ijkM jk
2
Ki = M 0i
K1 = M 01
K 2 = M 02
K 3 = M 03
[Ji , J j ] = iijkJk
J
()
i
= (Ji  iKi )/2
[Ji , K j ] = iijkKk
[J , J ] = iijkJ
()
i
()
j
[Ki , K j ] = -iijkJk
( )
k
[J i( ), J (j ) ] = 0
,
(J )
() 2
= (J1() )2  (J 2() )2  (J 3() )2 = j ()( j ()  1)
1 3
J 3() = j3() = - j () ,- j () 1,, j () -1, j ()
j = 0, ,1, ,
2 2
( j (  ), j ( - ) )
表現は
で指定される。
( )
表現は
( j (  ), j ( - ) )
で指定される。
1 3
J 3() = j3() = - j (),- j ()  1,, j () - 1, j ()
j = 0. ,1, ,
2 2
( j (  ), j ( - ) )
表現は
で指定される。
()
表現は
( j (  ), j ( - ) )
で指定される。
( j () , j (-) ) = ( 0 , 0 ) scalar field f (x )
d(J i ) = 0
d(Ki ) = 0
d(Ji() ) = 0
(1/2, 0 ) right-handed Weyl spinor field  R (x)
( )
( -)
d(Ji ) = i / 2 d(Ji ) = 0 d(Ji ) = i / 2 d(Ki ) = -ii / 2
( 0 ,1/2) left-handed Weyl spinor field  L (x)
( -)
( )
d(Ji ) = 0 d(Ji ) = i / 2 d(Ji ) = i / 2 d(Ki ) = ii / 2
(1/2, 0 )  ( 0 ,1/2) Dirac spinor field
(1/2,1/2) vecrtor field
d(Ji() ) = Ji()
 L (x ) 

 (x ) = 
 R (x ) 
Vm (x )
d(J i ) = J i
d(Ki ) = Ki
自由scalar場の量子化
scalar 場 f
( j () , j (-) ) = ( 0 , 0 ) scalar field f (x )
d(J i ) = 0
d(Ki ) = 0
d(Ji() ) = 0
自由scalar場の量子化
scalar 場 f
要請 (i) Lorentz不変性 (ii) f → -fで不変 (iii) f の2次まで

1
1 2 2

m
Lagrangian 密度 L =  mf f - m f  m = m = (0 , )
2
2
x

2
2
 - (f)
3
f
Lagrangian L =  Ld x
 = (1,  2 , 3 )
運動方程式 0 (L / (0f )) = L / f m (L / (mf)) = L / f
2
2
m
 m  f = - m f f -  f = -m 2f Klein Gordon方程式
正準共役運動量  (x ) = L / f(x )
 = f
正準交換関係 =量子条件
[f (x ), (y)] x 0 =y 0 = i (x - y )
Hamiltonian
0
(
)
pI = L / qI
[qI , pJ ] = i IJ
(x = (x , x),y = (y , y ))
1 2  2
2 2
3
H =    (f )  m f d x
2
0
H =  fd 3x - L
F = i[H , F ]
Klein Gordon 方程式  m  f = -m f
m
m  f = - m f
m
2
2
2


=
m
f
f - f
正準交換関係 =量子条件
[f (x ), (y)] x 0 =y 0 = i (x - y )
Hamiltonian
(
2
)
1 2  2
2 2
3
H =    (f )  m f d x
2
2
f -  f = -m 2f
Klein Gordon方程式
量子条件
[f (x ), (y)] x =y = i (x - y )
0
0
Hamiltonian
(
)
1 2  2
H =    (f)  m2f 2 d3x
2
Klein Gordon 方程式  m  f = -m f
m
2
2
f -  f = -m 2f
xとxxのf 混じる
-ikx
0
f
(
x
)
=
e
とおく (kx = k0x -kx)
解
Normal modeで書く
2
k0 -k 2 = m2 k0 =  m 2  k 2
負のenergy! 
dk
† ikx
-ikx
(
a

a
) f は状態でなく
e
一般解 f (x ) =  (2 )3 2E k
ke
演算子なのでOK
x0で微分
dk
-ikx
† ikx

(
a
e
a
) E = m2  k 2 
 (x ) = f (x ) = 
k
ke
3


(
2

)
2
i
逆に解く
kx = Ex 0 - kx 
iEt
-ikx 3


 ak = e  (Ef (x )  i (x ))e d x
†
量子条件
 [ak ,ak ' ] = (2 )3 2E (k - k ' )
[f (x ), (y)] x =y = i (x - y )
ak 0 = 0
真空状態 0
0
0
Hamiltonian
Fock space ak1† ak2† akn† 0
 2
1
2
2 2 3
†
H
=


(

f
)

m
f dx
ak 生成演算子 ak 消滅演算子
2
dk
†
†
E
(
a
a

a
a
Hamiltonian H = 
Normal mode!
k
k
k k )/2
2
(2 ) 2E
{
}
 (
)
まとめ Lagrangian を決める基準 対称性 局所性 簡単な形
変換 (Aq)I =D(A)IJ qJ 表現 D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK
[Xm,Xn]=ifmnlXl
無限小変換 A=eiaX =1+iaX+O(a2),
D(A) =eiad(X) =1+iad(X)+O(a2), [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
時空の変換 x' =Ax
場の変換 (Af )i (Ax ) =D (A)ij fj (x)
iau ( X )
2
U
(
A
)
=
e
=
1

i
a
u
(
X
)

O
(
a
)
状態の変換
[Ji , J j ] = iijkJk
回転群O(3)
generator J i (i = 1,2,3)
既約表現は半整数 j で指定される。
Lorentz群 SO(3,1) generator J i K i (i = 1,2,3)
既約表現は半整数 ( j ( ), j (-) ) で指定される。
( )
( -)
scalar field f (x ) ( j , j ) = (0,0)
1
1 2 2 1 4
2
Lagrangian密度 L = ( mf ) - m f - f
2
2
4!
†
ak Normal mode
量子条件 [ak ,ak ' ] = (2 )3 2E (k - k ' )