Transcript 非自明な大域的構造を持つ5次元ブラックホール解

非自明な大域的構造を持つ
5次元ブラックホール解
松野 研（阪市大理）
1. Introduction
( なぜ高次元か , 次元低下 ,
コンパクトな余剰次元を持つブラックホール , ... )
2. Coalescence of 5D Black Holes
( 漸近構造の違いを調べる , ... )
3. Geodesics and Massless Scalar Fields
in Rotating GPS Monopole Spacetime
( Ergoregions , Penrose Processes , ... )
1. Introduction
空間 3次元

我々は 4次元時空 に住んでいる

量子論と矛盾なく , 4種類の力を統一的に議論する
弦理論
超重力理論

時間 1次元
高次元時空 上の理論
余剰次元 の効果が顕著
高エネルギー現象
強重力場
高次元ブラックホール ( BH ) に注目
次元低下
高次元時空 ⇒ 有効的に 4次元時空
a.
Kaluza-Klein model
“ とても小さく丸められていて見えない ”
余剰次元方向
b.
Brane world model
“行くことが出来ないため見えない”
余剰次元方向
4次元
“ Hybrid ” Brane world model
Bulk
Brane
Brane
Brane ( 4次元時空 ) : 物質 と 重力以外の力 が束縛
Bulk ( 高次元時空 ) : 重力のみ伝播
重力の逆2乗則から制限 ⇒ ( 余剰次元 ) ≦ 0.1 mm
加速器内で ミニ・ブラックホール 生成 ?
( 高次元時空の実験的検証 )
Large Scale Extra Dimension in Brane world model
D次元時空 ( D ≧ 4 ) ( 余剰次元サイズ L )
: D次元重力定数
: D次元プランクエネルギー
 When EP,D ≒ TeV , D = 6
ミニ・ブラックホールの形成条件
コンプトン波長
ブラックホール半径
[ 4次元 ]
≫ 1 GeV : 1 Proton
[ D次元 ]
例. LHC 加速器内 : EP,D ≒ TeV
⇒ mc2 ≧ TeV ≒ (proton mass)×103
ミニ・ブラックホール !
5-dim. Black Objects
[ 以降、5次元時空に注目 ]
 4次元 : 定常 , 真空 , 漸近平坦 , Regular Horizon ( 境界条件 )
⇒ Kerr BH with S2 horizon only
 5次元 : For above conditions
⇒ Variety of Horizon Topologies
Black Holes
Black Rings
( S3 )
( S2×S1 )
Asymptotic Structures of Black Holes

4D Black Holes : Asymptically Flat
( time )

( radial )
( angular )
5D Black Holes : Variety of Asymptotic Structures
Asymptotically Flat :
: 5D Minkowski
: Lens Space
Asymptotically Locally Flat :
: 4D Minkowski
+ a compact dim.
Kaluza-Klein Black Holes
Kaluza-Klein Black Holes
4次元 Minkowski
Compact S1
[ 4次元 Minkowski と Compact S1 の直積 ]
4次元 Minkowski
Squashed Kaluza-Klein Black Holes
Twisted S1
[ 4次元 Minkowski 上に Twisted S1 Fiber ]
4次元 Minkowski
異なる漸近構造を持つ5次元帯電ブラックホール解
5D 漸近平坦 BH
5D Kaluza-Klein BH
( Tangherlini )
( Ishihara - Matsuno )
r-
r+
r-
r+
4D Minkowski
5D Minkowski
+ a compact dim.
Two types of Kaluza-Klein BHs
同じ漸近構造
rr+
r+
Point Singularity
r-
Stretched Singularity
Geodesics of massive particles
5D Sch. BH
Squashed KK BH
Stable circular orbit
2. ブラックホールの合体
[ PRD 76, 104037 (2007) ]
Study of Five-dimensional Black Holes

Five-dim. BHs : Variety of
Horizon Topologies
Asymptotic Structures
S3 , S3 / Zn ( Lens Space ), S2×S1 , …
ex) Creation of Charged Rotating Multi-BHs in LHC
( Coalescence of these BHs ? )
Change of Horizon Topologies ? ( S3 + S3 ⇒ ? )
Distinguishable of Asymptotic Structures ?
( From Behavior of Horizon Areas ? )
2種類の漸近構造
 ここでは
: 5D Minkowski
: Lens Space
平坦空間上
Eguchi - Hanson 空間上
の 回転BH の 合体
Multi-Black Holes
Multi-BHs : ( mass ) = ( charge )
重力場 (引力) とマックスウェル場 (斥力) のつりあい
Multi-Black Holes
Time
宇宙項
Time
( In “ dynamical ” Time slices )
時間反転
Time
( In “ dynamical ” Time slices )
BHの合体
Time
BHの合体
( In “ dynamical ” Time slices )
Time
合体前と合体後の Apparent Horizon
System
5D Einstein-Maxwell system with
Chern-Simons term and positive cosmological constant
Rotating Solution on Eguchi-Hanson space
Specified by ( m1 , m2 , j )
Three-sphere S3
( S2 base )
( twisted S1 fiber )
S1
S2
S3
Three-sphere S3
( S2 base )
S2×S1
( twisted S1 fiber )
S3
“special” Lens space L(n;1) = S3 / Zn
( S2 base )
S1 / Zn
S1
S2
( S1 / Zn fiber )
S3
S2
( ex. Changing of Horizon Areas )
S3 / Zn
Eguchi-Hanson space
4D Ricci Flat ( Rij = 0 )
z
S2 - bolt
 2 NUTs on S2 - bolt at ri = ( 0 , 0 , zi ) : 両極
( Fixed point of ∂/∂ζ )
 Asymptotic Structure ( r ~ ∞) : R1×S3 / Z2
Rotating Solution on Eguchi-Hanson space
For Suitable ( m1 , m2 , j )
“ Mapping Rules ” of parameters ( mi , j )
( 質量&角運動量 : 保存 )
[ 漸近的に Lens Space ( R1×R1×S3 / Z2 ) な時空 ] ( on EH space )
Early Time
m1 , j
+
Late Time
m2 , j
S3
S3
2(m1 + m2)
8j
S3 / Z2
[ 漸近平坦 ( R1×R1×S3 ) な時空 ] ( on Flat space )
m1 , j
S3
+
m2 , j
S3
m1 + m2
2j
S3
“ Mapping Rules ” of parameters ( m , j )
m = m1 = m2
[ 漸近的に Lens Space ( R1×R1×S3 / Z2 ) な時空 ] ( on EH space )
Early Time
m , j
+
Late Time
4m
m , j
8j
S3
S3
S3 / Z2
[ 漸近平坦 ( R1×R1×S3 ) な時空 ] ( on Flat space )
m , j
+
m , j
2m
2j
S3
S3
S3

Comparison of Horizon Areas
Early Time
m , j
+
S3

m , j
S3
Late Time
2m
4m
2j
8j
S3
S3 / Z2
( Lens space S3 / Z2 )
Horizon Area の変化
[ 漸近的に Lens Space ( R1×R1×S3 / Z2 ) な時空 ]
Early Time
m , j
+
Late Time
m , j
4m
8j
S3
S3
S3 / Z2
[ 漸近平坦 ( R1×R1×S3 ) な時空 ]
m , j
+
m , j
2m
2j
S3
S3
S3
Comparison of Horizon Areas AEH(l) / AFlat(l)
j2 / m3
j→0
mλ2
Comparison of Horizon Areas AEH(l) / AFlat(l) | j → 0
Comparison of Horizon Areas AEH(l) / AFlat(l)
λ→ 0
j2 / m3
mλ2
Comparison of Horizon Areas AEH(l) / AFlat(l) | λ→ 0
Conclusion
We construct
5D new Rot. Multi-BH Sol.s on Eguchi-Hanson space
 Coalescence of Rotating BHs
with Change of Horizon Topology : S3 ⇒ S3 / Z2
( Lens Space )
 Comparing with that on Flat space
without change of Horizon Topology : S3 ⇒ S3
 Horizon Areas の振る舞い
回転の影響
漸近構造を区別可能
3. Geodesics and Massless Scalar Fields
in Rotating GPS Monopole Spacetime
Asymptotically KK Black Holes
例．5D Squashed Kerr - Gödel Black Holes [ PTP 121, 823 (2009) ]
 Kerr rotation “ a ”
Gödel rotation “ j ”
2 Parameters
 Two disconnected Ergoregions
 Background spacetime :
Rotating GPS monopole
BH
Asymptotically KK Black Holes
例. Rot. Multi - BHs with Gödel parameter [ PRD 78, 064016 (09) ]
 Various shapes of Ergoregions
 Background spacetime : Rotating GPS monopole
BH
BH
回転パラメータの変化
BH間の距離の変化
測地線
背景時空を特徴付ける
スカラー場の伝播
( ⇒ スカラー場摂動に対する安定性 … )
Rot. GPS monopole 内の
テスト粒子
スカラー場
の有効pot.の振る舞い
Rotating GPS Monopole
System
5D Einstein-Maxwell system with Chern-Simons term
Rotating GPS monopole
• Stationary & SO(3)×U(1) symmetry
( ∂/ ∂t , ∂/ ∂ψ , ∂ / ∂φ , ... )
• Regular & No Closed Timelike Curve ( CTC )
Asymptotic structures
• ρ→0
( 5D Minkowski )
• ρ→∞
( 4D Minkowski + twisted S1 fiber )
Killing vectors
( Always Timelike )
Identify
Killing vectors
Identify
No unique timelike Killing vec. at ρ = ∞ (∵ compact S1 )
Ergoregion
• Ergoregions ⇔
ρ
0
Particle Geodesics
Geodesics
Effective potentials
Effective potentials
V+
V+
VV-
逆回転 ( j >0 , L >0 )
順回転 ( j >0 , L <0 )
Null particles
( L≠0)
( L=0)
V+
V+ = V- = 0
Ergoregion
Ergoregion
V-
Ergoregion 内に
負エネルギー の 束縛軌道
Penrose Process
E+δE
δE
E
V+
δE
Ergoregion
エルゴ領域内で 分裂
⇒ 負エネルギー粒子が 円軌道 に貯まる
無限遠の Energy Gap
例. superradiance の議論
Null 粒子の KK 運動量 L ⇔ Massive 粒子の energy gap
Massive particles ( L = 0 )
Null particles ( L ≠ 0 )
V+
V+
VErgoregion
束縛軌道
Ergoregion
V-
軸対称形
非対称形
入射粒子 と 回転方向
Null particles ( 逆回転 )
Null particles ( 順回転 )
V+
V+
Ergoregion
Ergoregion
VV貯まってくる
抜けていく
Massless Scalar Fields
Massless Scalar Fields
• Klein-Gordon equation
• anzats
⇒
変数分離可能
角度成分 S(θ)
Spin-weighted spherical function
動径成分 R(ρ)
(R ⇒ R / ρ )
Massless scalars ( λ = l = 1 )
U+
負エネルギーのスカラー場
Ergoregion
U-
No Level Crossing
Conclusion
テスト粒子
Rot. GPS monopole 時空内の
スカラー場
の振る舞い
• Ergoregion 内に 束縛状態 ⇒ Penrose Process ...
• No Level Crossing
⇒ Stable scalar fields ...
Discussions
Discussion (1)
Squashed Kerr-Gödel Black Holes
Discussion (1)
Rotating GPS Monopole
V+
V-
Discussion (1)
Squashed Kerr-Gödel Black Holes
V+
rH
V-
Superradiant Instability ... ?
Discussion (2)
Squashed Transformation ?
Asymptotically Flat
Asymptotically Kaluza-Klein
GPS monopole ( self-dual Taub-NUT space + time )
Discussion (2)
Asymptotically Flat
Asymptotically Lens Space
Eguchi-Hanson space + time
Discussion (2)
“ Double Transformation ”
No Curvature Singularity
Conical Singularities … ?
Discussion (2)
More Higher-dimensions
S3
: S1 bundle over CP1
・・・
S2n+1 : S1 bundle over CPn
Ex) S7 : S1 bundle over CP3
Discussion (2)
 Black Objects …
 Kasner spacetime ( Bianchi types ) …
 Dynamical ( Rotating ) BHs without Λ
Discussion (3)
Test Maxwell Fields
Ex) Wald Solutions ( vacuum background )
Kerr BH in Uniform Magnetic Field
“ Misner effect ” for extreme BH
最内部安定円軌道 ( ISCO )
BH
Discussion (3)
 Black Strings in …
 Black Rings in …
 ( Charged ) squashed KK BH in …