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電気回路Ⅱ 演習
特別編(数学)
三角関数
三角関数関連の公式
オイラーの公式
オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出
微分積分
微分方程式
付録
Taylor(テーラー)展開とオイラーの公式の導出
sinc関数について
(Taylor展開とロピタルの定理を用いた解法)
1.三角関数
1.1 定義
三角関数
a
sin( )
c
c
b
a
b
cos( )
c
sin( ) a
tan( )
cos( ) b
1.2 定義2
c
b
b
c
a
a
sin( ) sin( )
c
b
cos( ) cos( )
c
a
1.3 定義3
/ 2
b
sin( / 2 ) cos( )
c
a
cos( / 2 ) sin( )
c
/ 2
c
b
a
c
b
a
1.4. 三角関数の公式
これだけは覚えよう
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
引き算の場合
sin( ) sin cos( ) sin( ) cos
cos( ) cos cos( ) sin sin( )
スライド1.2より
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
1.5. 三角関数の公式2
sin cos を求める
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
両辺を足すと
sin( ) sin( ) 2 sin cos
よって
sin( ) sin( )
sin cos
2
1.6. 三角関数の公式3
cos cos sin sin を求める
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
両辺を足すとor引くと
cos( ) cos( )
sin cos
2
cos( ) cos( )
cos cos
2
1.7 三角関数の公式のまとめ
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin( )
2
cos( ) cos( )
sin cos
2
cos( ) cos( )
cos cos
2
sin cos
覚える必要があるのは,左上の式のみ
あとは解き方を覚えておけばよい
2. オイラーの公式
2.1 オイラーの公式
電気,電子系で最も使われる公式の一つ
オイラーの公式
e cos j sin
j
e
j
cos( ) j sin( )
cos j sin
以下ではオイラーの公式を用いて
三角関数の公式を導出してみよう
2.2 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導
出(1)
e
j ( )
を計算する.
1.オイラーの公式より
e j ( ) cos j sin
2.オイラーの公式より
e j ( ) e j e j cos j sin cos j sin
cos cos sin sin
jsin cos sin cos
1と2の右辺の実部,虚部を比べて
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
2.3 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導
出(2)
先と同様に
e
j ( )
を計算すれば,以下の公式が
導出される
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
2.4 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導
出(3)
さらに e j ( ) e j ( ) を計算する
1.e j ( ) e j ( ) cos cos jsin sin
2.e j ( ) e j ( ) e j e j e j
cos j sin 2 cos
2 cos cos 2 j sin cos
1,2より実部と虚部を比較して
cos cos
cos cos
2
sin sin
sin cos
2
2.5 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導
出(4)
e j ( ) e j ( ) を計算する
1.
e j ( ) e j ( ) cos cos jsin sin
2.
e j ( ) e j ( ) e j e j e j
cos j sin 2 sin
2 cos sin j 2 sin sin
1と2より,虚部を比較すると
sin( ) sin( )
sin sin
2
2.6 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導
出のまとめ
e
e
e
e
左の式をオイラーの公式を
用いて計算する
(実部と虚部を比較する)
j ( )
j ( )
j ( )
j ( )
e
j ( )
e
j ( )
1.7の三角関数のすべて
の公式を導出できる
3.微分積分
3.1 基本的事項
微分
d
S 0 (S: xに関係ない定数)
dx
d n
x nxn1
dx
d
1
log x
dx
x
d ax
e aeax
dx
d jax
e ajeax
dx
積分
Sdx Sx c (S: xに関係ない定数)
1
1 n1
x dx
x c1
n 1
1
dx log x c1
x
1 ax
ax
e dx e c1
a
1 jax
jax
e dx e c1
aj
n
ただしc1は積分定数
3.2 三角関数の微分積分
ここでは主に三角関数の微分積分を扱う.
微分
積分
d
sin(ax) a cos(ax)
dx
d
cos(ax) a sin(ax)
dx
1
sin(ax)dx cos(ax) c1
a
1
cos(ax)dx sin(ax) c1
a
c1は積分定数
符号を間違えないように
3.3 オイラーの公式を用いた三角関数の微分積分
オイラーの公式を用いれば符号を考えずにすむ
微分
d jax
e jae jax
dx
積分
e jaxdx
1 jax j jax
e
e
ja
a
実部虚部を比べると,3.2の内容と一致
d
cos(ax) a sin(ax)
dx
sin(ax) a cos(ax)
1
sin(ax)dx cos(ax)
a
1
cos(ax)dx sin(ax)
a
よって,複数の微分積分を含む式を解く場合,青の枠線で囲った式を用
いると便利である.(符号を気にする必要がないので)
3.4 微分に関する諸事項
掛け合わさった関数の微分について
d
d
d
f ( x) g( x) g( x) f ( x) f ( x) g( x)
dx
dx
dx
そのまま
微分
そのまま
微分
片方ずつ微分して,足し合わせる
偏微分(複数の変数が入っている場合)
d
d
d
f ( x) g (t ) g (t ) f ( x) f ( x) g (t )
dx
dx
dx
d
g(t)は,変数xを含まないので,
g (t ) f ( x)
xから見ると定数である.
xとは独立な変数tの関数
dx
定数の微分は0
3.5 積分に関する諸事項
積分はすべての関数で解けるとは限らない.
掛け合わさった関数の積分について
まず,以下の微分を考える.
d
d
d
f ( x) g( x) g( x) f ( x) f ( x) g( x)
dx
dx
dx
移項する
d
d
d
f ( x) g( x)
f ( x) g( x) g( x) f ( x)
dx
dx
dx
両辺をxで積分する.
(定積分を仮定して積分定数を省略する)
d
d
f ( x) g( x)dx f ( x) g( x) g( x) f ( x)dx
dx
dx
この公式を用いれば,掛け合わさった関数の積分を解くことができる.(場合もある)
3.5の続き
例)
0
x sin(x)を解け
ここで先ほど求めた公式を思い出す
d
d
f (x) dx g(x)dx f (x)g(x) g(x) dx f (x)dx
x
よって
f ( x) x, g( x) cos x
sin(x) とする
0
x sin( x)dx x cos(x)0 cos(x)1dx
0
x cos(x)0 sin( x)0
4.微分方程式
(定数係数の2階線形微分方程式のみ)
ここで扱うのは定数係数の2階線形微分方程式のみ.係
数が変数の場合はもっと複雑な計算となるので,これを計
算したい場合は専門的な数学の教科書を参考にされたし.
定数係数の2階線形微分方程式の形
一般的な形
d2y
dy
a 2 b cy 0
dx
dx
a 0, bおよびcは定数
について計算する.
微分方程式の解法1-1
次の微分方程式を解く
d2y
dy
a 2 b cy 0
・・・(式A)
dx
dx
a 0, bおよびcは定数
2
2
a
b c 0
まず, と に置き換えて, の2次方程式
の根の性状に応じて三つの場合を区別する.
(1) b2 4ac 0の場合
a 2 b c 0の実根を , とすると
(式A)の一般解は
y( x) Aex Bex ( A, Bは定数)
微分方程式の解法1-2
(2) b2 4ac 0の場合
a 2 b c 0は,共役な複素数の根を持つ
その根をh kj j 1とすると
(式A)の一般解は
y( x) Ce( hkj) x De( hkj) x (C, Dは定数)
ehx A cos kx B sin kx ( A, Bは定数)
(2) b2 4ac 0の場合
a 2 b c 0の重根 b / 2aとすると
(式A)の一般解は
y( x) ex Ax B
注意
A, Bは定数
微分方程式の解法1-3
例題)
d2y
x 0の場合 y 0
2
k
y
ただし
2
5k
5k
dx
x 5の場合y 5e e
2
解答) d を と置き換えて 2 k 2 k
dx2
一般解は y Aekx Bekx
x 0の場合 y 0
さらに,
を代入する.
5k
5k
x 5の場合y 5 e e
0 A B
A5
5 e5k e5k Ae5k Be5k
B 5
したがって
y 5ekx 5ekx
付録
Taylor(テーラー)展開とオイラーの公式1
Taylorの公式
定理28 或る区間において,f(x)は第n階まで微分可能とす
る.然らばその区間において,aは定点,xは任意の点とす
るとき
( n1)
( n)
f ' (a)
f
'
'
(
a
)
f
(
a
)
f
( )
f ( x) f (a) ( x a)
( x a)2
... ( x a)n1
( x a)n
1!
2!
(n 1)!
n!
ただし,
a ( x a), 0 1
すなわち はaとxとの中間に或る値である.
「解析概論」61ページ
Taylor(テーラー)展開とオイラーの公式2
マクローリンの級数
テイラーの公式よりa=0の場合を特別にマクローリンの
級数と呼ぶ
( n1)
( n)
f ' (0) 2 f ' ' (0)
f
(
0
)
f
(0)
n1
n
f ( x) f (0) x
x
... x
x
1!
2!
(n 1)!
n!
x
1.e をマクローリン展開しよう
d x
( n)
f n e ex
1
1 2 1 3
x
e 1 x x x .....
dx
1! 2!
3!
f ( n) (0) 1
マクローリン級数の続き
2. cosx をマクローリン展開しよう
f 0 (0) cos 0 1, f 1 (0) sin 0 0, f 2 (0) cos0 1
f 3 (0) sin 0 0, f 4 (0) cos0 1, f 5 (0) sin 0 0......
1 2 1 4 1 6
cos x 1 x x x ....
2!
4!
6!
3.
sin x をマクローリン展開しよう
f 0 (0) sin 0 0, f 1 (0) cos0 1, f 2 (0) sin 0 0
f 3 (0) cos0 1, f 4 (0) sin 0 0, f 5 (0) cos0 1......
1
1 3 1 5 1 7
sin x x x x x ....
1! 3!
5!
7!
オイラーの公式の導出
ここではお馴染みオイラーの公式を導出する.
スライド26の1より
1
1 2 1 3
e 1 x x x .....
1! 2!
3!
x
x jx と置き換える
1
1
1
2
e 1 ( jx) ( jx) ( jx)3.....
1!
2!
3!
1 2 1 4 1 6
1 1 1 3 1 5 1 7
1 x x x ..... j x x x x .....
2!
4!
6!
3!
5!
7!
1!
jx
実部と
虚部に
分けて
前ページの2より
cos x 1
1 2 1 4 1 6
x x x ....
2!
4!
6!
前ページの3より
1
1
1
1
sin x x x3 x5 x7 ....
1! 3!
5!
7!
オイラーの公式の導出
したがって,皆さんお馴染みのオイラーの公式が
導出される
e cos x j sin x
jx
sinc関数について
光の干渉波形を求めるときなどに良く使われるsinc関数について
定義
sin x
sinc x
x
このsinc関数の lim x0 sinc x を求めるには?
(このままでは分母分子が共に0となるので計算できない)
1
1!
1
3!
1
5!
1
7!
マクローリン展開を使おう. sin x x x3 x5 x7 ....
これを使うと
1 1
1
1
sincx x2 x4 x6 ....
1! 3!
5!
7!
したがって
lim x0 sinc x 1
sinc関数について –別の解法–
ロピタルの定理を使っても,sinc(0)の計算ができる.
ロピタルの定理
f(x),g(x)が微分可能で,f(a)=g(a)=0の場合
lim f ( x)
x a
lim g ( x)
x a
lim f ' ( x)
x a
lim g ' ( x)
が成立する
x a
ロピタルの定理を用いると
lim sinc( x)
x 0
lim sin( x)
x 0
lim x
x 0
lim cos(x)
x 0
lim 1
1
となる.
x 0
前頁の結果を参照