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信号理論
(金田）
1演-1
三角関数演習問題
（答は別紙の解答用紙に記入する）
［ 三角関数 ］
１．右の図の直角三角形において、ｒ，ａ，ｂ は、
それぞれの辺の長さを表す。
また、θは ｒ と ａ の辺のなす角度を表す。
このとき、
(1) ｓｉｎθ (2) ｃｏｓθ (3) tanθ
を、ｒ，ａ，ｂ を用いて表せ。
ｒ
ｂ
θ
ａ
２．角度の単位を２つあげよ。
３．(1) π/3 (2)π/4 (3) π は、何度の角度か？
４．次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、(1) は、可能な限りていねいに書くこと。
(2) は、(1)との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。
(1) sin( ｘ )
(2) cos( ｘ)
1
1
0
2π
x
-1
0
2π
x
-1
５．次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、sin(ｘ) との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。
(1) sin( ｘ－π/2 )
(2) sin( ｘ＋π/2)
1
1
0
2π
-1
６．三角関数の微分・ 積分
d
(1) サインの微分
sin ax
dx
(3) サインの不定積分  sin(ax)dx
x
0
2π
x
-1
(2)コサインの微分
d
cos ax
dx
(4) サインの定積分  sin x dx
b
a
ａ，ｂ は定数
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
1演-2解(1)
三角関数演習 解答用紙
１
(1)
２
(2)
(3)
ｂ/ｒ
ａ/ｒ
ｂ/ａ
３
(1)
(2)
(3)
６０°
４５°
１８０°
度、°、
deg. など
４． (1) sin( ｘ )
ラジアン、
rad. など
πは3.14･･･という
量であって、単位
ではない
(2) cos( ｘ)
波形は次ページ
1
0
1
x
2π
-1
0
2π
x
-1
５． (1) sin( ｘ－π/2 )
(2) sin( ｘ＋π/2)
1
1
0
x
2π
-1
0
2π
-1
(1)
(2)
(3)
a･cos(ax)
-a･sin(ax)
-(1/a)･cos(ax) + C
(4)
cos(a) - cos(b)
x
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
1演-2解(2)
三角関数演習 解答用紙
４．
(1) sin( ｘ )
(2) cos( ｘ)
２πで１周期
１
１
x
π
π
2π
2π
x
-１
×
１
π
半円の繰り返し
ではダメ
x
2π
-１
５．(1) sin( ｘ-π/2 )
参考： sin( ｘ )
１
１
x
x
2π
π
0
0
-１
π
2π
-１
π/2
sin(ｘ) が右に π/2 移動
＝ -cos( ｘ)
関数 ｆ(ｘ-τ) は、
→ 元の波形が、( ) 内がゼロとなるｘに移動する
→ 左の式では、sin波形の開始点が
ｘ＝π/2 の点に移動する
(2) sin( ｘ＋π/2 )
１
0
π
2π
π/2
sin(ｘ) が左に π/2 移動
＝ cos( ｘ)
x
信号理論
(金田）
1演-3
複素数演習
答えだけでなく途中式も書くこと
１．以下の計算をして、答を 実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。
３．次の複素数を、複素指数関数（極座標表示） ｒ eｊ θ の形
で表せ。 （ただし、θは「度」で表せ。また√2＝1.4 とせよ）
(1) （2＋ｊ 3）＋（1＋ｊ 2）
(1) （ 1 ）
(2) （ ｊ ）×（ ｊ ）
(2) （ ｊ ）
(3) （ 4＋ｊ ）×（ 3－ｊ 3 ）
(3) （ 1－ｊ ）
(4) （ ｊ ）6
(4) （ -1＋ｊ ）
(5) （ 1 ）÷（ ｊ ）
(6) ( ｊ ) -3
４．次の複素数の計算をせよ （答えは複素指数関数）
(1) 2eｊ 25°× 4e－ｊ 315°
２．以下の複素数を、実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。
ただし、sin45°＝cos45°＝0.7 として計算せよ。
(1)
eｊ 90°
(2) 2eｊ 25°÷ 4e－ｊ 315°
(2) 2eｊ 45°
５．次の複素数 ｚ の絶対値（大きさ） | ｚ | を計算せよ
ｚ＝3＋ｊ4
(3) 4e－ｊ 315°
信号理論
(金田）
1演-3解
第１回演習解答
複素数演習
１．以下の計算をして、答を 実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。
(1) （2＋ｊ 3）＋（1＋ｊ 2）＝ 3 ＋ ｊ 5
(2) （ ｊ ）×（ ｊ ） ＝ -1
３．次の複素数を、複素指数関数（極座標表示） ｒ eｊ θ の形
で表せ。 （ただし、θは「度」で表せ。また√2＝1.4 とせよ）
◇ 複素数 ａ＋ ｊ ｂ から 複素指数関数 Ａ ｅ ｊθ への変換
Ａ ＝ √（ａ２＋ｂ２ ） θ＝ｔａｎ-1(ｂ／ａ)
☆ただし、電卓などの計算結果では、
(3) （ 4＋ｊ ）×（ 3－ｊ 3 ） ＝ 12 - ｊ12 ＋ ｊ3 ＋ 3 ＝ 15 - ｊ 9
θは -90°＜θ< 90°の範囲で得られる
(4) （ ｊ ）6 ＝ (( ｊ2 )3 ) ＝ (( -1 )3 ) ＝ -1
ので 、ａ ＜0 のときは、θに ±180° する
(5) （ 1 ）÷（ ｊ ） ＝ 1 / ｊ （分母分子に ｊ をかけると）
＝ ｊ / ( ｊ × ｊ ) ＝ ｊ / (-1) ＝ -ｊ
(6) ( ｊ ) -3 ＝ 1 / ( ｊ ) 3 ＝ 1 / ( -ｊ ) ＝ （ ｊ ） / ( -ｊ × ｊ ) ＝ ｊ
θの値が複素平面上で妥当なことを確認する
(1) （ 1 ） ＝ １＋ｊ 0 なので、ａ＝1、ｂ＝0 に相当
よって、Ａ＝1、 θ＝ｔａｎ-1(0)＝0° よって ｅ ｊ0°
(2) （ ｊ ）＝ 0＋ｊ 1 なので、ａ＝0、ｂ＝1 に相当
よって、Ａ＝1、 θ＝ｔａｎ-1(1/0)＝90° よって ｅ ｊ90°
【参考】 （ ａ＋ｊ ｂ ） と、その複素共役 （ ａ - ｊ ｂ ） との積は
（ ａ＋ｊ ｂ ）×（ ａ - ｊ ｂ ） ＝ ａ2＋ｂ2
と、簡単に計算できる。 （答は実数となるので、
複素数の分母の実数化に利用される）
２．以下の複素数を、実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。
ただし、sin45°＝cos45°＝0.7 として計算せよ。
【重要】 な オイラーの公式 （ 必ず覚えておくこと！）
e ｊθ ＝ ｃｏｓθ＋ ｊ ｓｉｎθ
を利用する。
(1)
eｊ 90°＝ ｃｏｓ90°＋ｊ ｓｉｎ90°＝ ｊ
(2) 2eｊ 45°＝ 2 ( ｃｏｓ45°＋ｊ ｓｉｎ45°)
＝ 2 ( √2/2 ＋ ｊ √2/2 ) ＝ √2 ＋ ｊ √2 ＝ 1.4 ＋ ｊ 1.4
(3) （ 1－ｊ ） ＝ 1＋ｊ (-1) なので、ａ＝1、ｂ＝-1 に相当
よって、Ａ＝√2＝1.4、 θ＝ｔａｎ-1(-1)＝-45°
よって 1.4 ｅ - ｊ45°
(4) （ -1＋ｊ ）＝ (-1)＋ｊ (1) なので、ａ＝-1、ｂ＝1 に相当
よって、Ａ＝√2＝1.4、 θ＝ｔａｎ-1(-1)＝-45°
ただし、ａ ＜0 であるので、θに ＋180° する
よって 1.4ｅ ｊ135°
４．次の複素数の計算をせよ （答えは複素指数関数）
指数関数の積と商
ｅ ｊ θ1・Ａ２ ｅ ｊ θ2
＝ Ａ１・Ａ２･ｅ ｊ （θ1＋ θ2）
(商) Ａ１ ｅ ｊ θ1／Ａ２ ｅ ｊ θ2
＝( Ａ１ ／Ａ２ ) ･ｅ ｊ （θ1－θ2）
(積) Ａ１
注： 実数の場合と同じ結果です
(3) 4e－ｊ 315°
＝ 4 ( ｃｏｓ(-315°)＋ｊ ｓｉｎ(-315°))
＝ 4 ( √2/2 ＋ ｊ √2/2 ) ＝ 2√2 ＋ ｊ 2√2 ＝ 2.8 ＋ ｊ 2.8
注： - 315＋360 ＝45 なので、-315°と45°は同じ角を表す。
(1) 2eｊ 25°× 4e－ｊ 315°
＝ (2×4) eｊ (25-315)°＝ 8 e- ｊ 290° （＝ 8
e ｊ 70° ）
(2) 2eｊ 25°÷ 4e－ｊ 315°
＝ (2/4) eｊ (25-(-315) )°＝ 0.5 e ｊ 340°（＝ 0.5 e- ｊ 20°）
☆ 複素数の知識が不十分な人は、
「複素数のまとめ」 が、ホームページ
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ の
［授業］→［信号理論］ にあるので、
再度勉強しておいてください
５．次の複素数 ｚ の絶対値（大きさ） | ｚ | を計算せよ
ｚ＝3＋ｊ4
複素数の絶対値（大きさ）は、
（実数部の２乗）＋（虚数部の２乗）の平方根なので、
| ｚ | ＝√3２＋4２＝√9＋16＝5
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
1宿-1
［ sin 関数の形の理解 ］
下記の表の空欄に，適切な文字式と数字を記入せよ。その結果を使って下記のグラフ ｙ＝sin(ｘ) を完成させよ。
変数
ｘ
sin(ｘ)
変数
ｘ
sin(ｘ)
度
0°
30°
60°
90°
120°
ラジアン
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
分数
0
1/2
√3/2
1
√3/2
小数
0
0.5
0.87
1
0.87
度
210°
240°
270°
300°
330°
150°
180°
360°
ラジアン
分数
小数
◇ 関数の傾きは微分によって与えられる。 sin（ｘ） の微分は，
d
sin(x)  cos(x)
dx
であるので， 例えば、x=0 での sin(x) の傾きは，cos(0)＝1 である。
ｙ
2
ｙ = ｘ の直線
ｘ＝π/2 で，ｙ ＝π/2＝1.6
1.5
ｘ =π/2 では，傾きは0。 ｘ＝3π/2 でも同じ
1
0.5
0
ｘ
-0.5
ｘ = 0 では，傾きは 1
ｘ＝πでは、傾きは -1
ｘ＝2πでは ，傾きは 1
-1
-1.5
sin(x) = 0 となる点をはさんで，
sin(x) = ±0.5 までの範囲で，
ほぼ ｙ＝ｘ の直線と一致する
-2
0
1 4
1
 2  
6
6 2 6

2
信号理論
(金田）
1宿-2
［ 正弦波 ］
時間を変数としたサイン（またはコサイン）関数は，正弦波と呼ばれる。
sin (2 f t )
T
時間
ｔ
0
1
f
2
f
１．以下の文の （ ） をうめよ。
・ 時間 ｔ を変数とした関数の図は，「波形」と呼ぶ。
・ 上記の sin( 2πf ｔ ) の波形は，時間 Ｔ，または，ｆ を使って表すと ①（
この ｆ を ②（
） と呼び， Ｔ を ③（
・ 1秒間に同じ波形が ④（
） ごとに同じ波形をくり返す。
） と呼ぶ。
）回繰り返される。
・ ω＝ 2πf を使って， sin( ωｔ ) とも表される。 このωを ⑤（
） と呼ぶ。
・ sin( 2πf ｔ ＋θ) と表されるとき，θは ｔ＝0 の時の（ ）の中の値であるが，このθを ⑥（
） と呼ぶ。
２． sin( 2πf ｔ ) は，ｔ の値が 0 から増加するに伴って （ ）の中の値が増加し，
例えば，ｔ の値が 1/(4ｆ ) となると， 2πf ｔ の値は π/2 となるので， sin( 2πf ｔ ) ＝1 となる。
同様の考えで，ｔ がどのような値をとると sin( 2πf ｔ ) がどのような値をとるか，を示している以下の表の
空欄をうめよ。
t
0
1/(4 ｆ )
2πf t
0
π/2
sin(2πf t)
0
1
π
3π/2
2π
5π/2
3π
7π/2
4π
３．以下の式で表される波形を描け。
① sin(2πf t －π/2)
② 2･sin(4πf t)
1
0
1
t
1
f
0
1
f
t
信号理論
(金田）
1宿-2解
［ 正弦波 ］
時間を変数としたサイン（またはコサイン）関数は，正弦波と呼ばれる。
sin (2 f t )
T
時間
ｔ
0
1
f
2
f
１．以下の文の （ ） をうめよ。
・ 時間 ｔ を変数とした関数の図は，波形と呼ぶ。
Ｔ
・ 上記の sin( 2πf ｔ ) の波形は，時間 Ｔ，または，ｆ を使って表すと ①（ 1／ｆ ） ごと
に同じ波形をくり返す。 この ｆ を ②（ 周波数 ） と呼び， Ｔ を ③（ 周期 ） と呼ぶ。
・ 1秒間に同じ波形が ④（ ｆ ）回繰り返される。
・ ω＝ 2πf を使って， sin( ωｔ ) とも表される。 このωを ⑤（ 角周波数 ） と呼ぶ。
・ sin( 2πf ｔ ＋θ) と表されるとき，θは ｔ＝0 の時の（ ）の中の値であるが，このθを
⑥（ 位相 ） と呼ぶ。
２． sin( 2πf ｔ ) は，ｔ の値が 0 から増加するに伴って （ ）の中の値が増加し，
例えば，ｔ の値が 1/(4ｆ ) となると， 2πf ｔ の値は π/2 となるので， sin( 2πf ｔ ) ＝1 となる。
同様の考えで，ｔ がどのような値をとると sin( 2πf ｔ ) がどのような値をとるか，を示している以下の表の
空欄をうめよ。
t
0
1/(4 ｆ ) 2/(4 ｆ ) 3/(4 ｆ ) 4/(4 ｆ ) 5/(4 ｆ ) 6/(4 ｆ ) 7/(4 ｆ ) 8/(4 ｆ )
2πf t
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
7π/2
4π
sin(2πf t)
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
ｔ ＝ 1/ｆ ＝ Ｔ で， 2πｆ ｔ ＝2π だから
1/ｆ ＝ Ｔ は周期になる
３．以下の式で表される波形を描け。
① sin(2πf t －π/2)
1
f
0
② 2・sin(4πf t)
＝ 2・sin(2π(2f) t)
１
ｔ
0
1
f
ｔ
1/f
1/(4f)
sin(2πf t) が 1/4 周期右に移動
・ π/2 → 1/4 周期
・ 2πf t -π/2＝0 → ｔ＝1/(4ｆ)
周期
周波数2倍
⇒ 周期は1/2
振幅は2倍
信号理論
(金田）
2説-1
［ パラメータ ］
ｙ
y  a x b
例１） 直線のパラメータ
y  a x b
直線の式：
パラメータは２つ。 ａ と ｂ
ａ
ｂ
ｘ
ｂ： 切片 （ｘ＝0 における ｙ の値 ）
ａ： 直線の傾き。 ｘ が 0 から 1 に増えたときの
ｙ の増加量
0
1
２つのパラメータ ａ と ｂ の値がわかれば，直線が描ける。
※ 直線は，２点を定めれば描ける，ということと等価
（ｘ，ｙ） が （0，ｂ）， （1，ａ＋ｂ） の２点
ｙ
例２） ２次曲線のパラメータ
２次曲線の式：
y  a  x2  b  x  c
パラメータは３つ。 ａ と ｂ と ｃ
２つのパラメータ ａ と ｂ の値がわかれば， ２次曲線が描ける。
◇ 別の３つのパラメータもある
y  a  ( x  )  ( x   )
ａ と α と β の３つ
ただし，α と β は，
の解
a  x2  b  x  c  0
ｂ
0
信号理論
(金田）
2説-2
［ 関数の平行移動 （1/2) ］
図１
ｆ（ｔ）
図２
ｆ（ｔ－τ）
τ
ｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を
ｆ（0）
右側に「τ」移動したもの
ｆ（0）
ｔ
τ
0
ｔ
τ
0
（タウ）
・ 信号
ｆ（ｔ） は、ｔ ＝0 の時 、 値 ｆ（0） となる。（図１）
・ 信号 ｆ（ｔ－τ） は、ｔ ＝τ の時 （ｔ ＝τを代入すると）、
（ ）の中は 0 となり，値 ｆ（0） となる。（図２）
「右側にτ」 移動したものである。
・ したがって、ｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を
ｆ（ｔ ＋τ） は、ｆ（ｔ） を
左側に「τ」移動したもの
図３
ｆ（ｔ）
図４
ｆ（ｔ ＋τ）
τ
ｆ（0）
ｆ（0）
ｔ
0
・ 同様に，ｆ（ｔ
ｔ
-τ
0
＋τ） は、ｔ ＝－τ で、 ｆ（ｔ） が ｔ＝0 の時の値をとるので，
ｆ（ｔ） を 「左側にτ」 移動したものとなる。
信号理論
(金田）
2説-3
［ 関数の平行移動 （2/2) ］
① sin(ｘ) と sin(ｘ - π/2)
sin(ｘ - π/2)
sin(ｘ)
・ 右に π/2 移動
・ ｘ＝π/2 で，( ) の中が0になり、
ｓｉｎ(0) の値を取るから
x
π
2π
2π
π
π/2
② sin( ωｔ ) と sin( ωｔ - π/2)
sin( ωｔ - π/2)
・ 右に π/(2ω) 移動
・ ｔ ＝ π/(2ω) で，( ) の中が0になり、
ｓｉｎ(0) の値を取るから
sin(ωｔ )
ｔ
ｔ
π/ω
x
π/ω
2π/ω
＝1/ f
π/(2ω)
2π/ω
＝1/ f
・ 横軸の値に注意
・ ｔ が，2π/ω （＝ 1/ｆ ＝ Ｔ ） になったとき
sin の ( ) の中は 2π になる。
→ 2π/ω （＝ 1/ｆ ＝ Ｔ ） が１周期
③ sin( ωｔ ) と sin( ω( ｔ - τ) )
sin(ω( ｔ - τ) )
sin( ωｔ )
・ 右に τ 移動
・ ｔ ＝τ で，( ) の中が0になり、
ｓｉｎ(0) の値を取るから
ｔ
x
τ
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
2演-1
［ 正弦波の表現１と表現２ ］
１． 正弦波の表現を２種類示せ
２．以下の２つの正弦波形について，
波形 (a)(b) を， A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) として表すとき，ｆ，A，θ を求めよ。
波形(a)： ｆ ＝
， A＝
， θ＝
波形(b)： ｆ ＝
， A＝
， θ＝
波形
(a)
波形
(b)
１
１
ｔ
-1
ｔ
-1
1（秒）
（ 続きは 裏面 ）
1/6
0.5
1（秒）
３．次の正弦波の表現１： A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) を、表現２： a･cos(2πｆ ｔ )＋b･sin(2πｆ ｔ ) に変更せよ
(1) sin( 2πｆ ｔ ＋π/2) →
(2) sin( 2πｆ ｔ ＋π/6) →
(3) 2･sin( 2πｆ ｔ －π/3) →
※ 質問事項（本日の授業でわかりにくかったこと）、
および、この授業に対する感想・意見・要望などあれば、記入してください。
信号理論
(金田）
2演-2
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
2宿-1
問１．次の周波数の正弦波の式を示して、グラフを描け。ただし、すべて、振幅は１、位相は 0 とせよ。
［ この問題は基本的な問題なので、必ず、理解して解けるようにしておくこと］
(1) 周波数が 100Hz の正弦波
（式）
1
0
時間
ｔ
10ms
5
横軸は時間軸で、
１目盛が 1ms（ミリ秒）
-1
(2) 周波数が 500Hz の正弦波
（式）
1
0
5
-1
問２．正弦波は、
表現１： 振幅Ａと位相θを使った表現
表現２： ｃｏｓ と ｓｉｎ の和を使った表現
で表すことができる。次の表現２から表現１を求めよ。
(1) ｃｏｓ（2πｆ ｔ） ＋ ｓｉｎ（2πｆ ｔ）
(2) √3･ｃｏｓ（2πｆ ｔ） ＋ ｓｉｎ（2πｆ ｔ）
時間
ｔ
10ms
問３．
同じ周波数の、２つの正弦波の和は、１つの正弦波になる
信号理論
(金田）
2宿-2
このことを作図により確かめる。
下のグラフは ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) と ｓｉｎ(2πｆ ｔ ) を表している（ｆ＝1 の場合） 。
これより、 ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) ＋ ｓｉｎ(2πｆ ｔ ) のグラフを作図せよ。
（あまり、ていねい・厳密にやる必要は無い。おおまかな形がわかればよい）
※ 各時間において、縦方向に２つのグラフの値を加算した値の点を記入して、それをつなげばよい。
※ 描いたグラフと、問２(1) の計算結果を比較せよ。同じ結果になっているか？
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
sin( 2πｆ ｔ)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
時間
ｔ
0.1
0
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
ｃｏｓ( 2πｆ ｔ)
-0.8
-0.9
-1
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
-1.6
-1.7
-1.8
-1.9
-2
0 0.020.040.060.08 0.1 0.120.140.160.18 0.2 0.220.240.260.28 0.3 0.320.340.360.38 0.4 0.420.440.460.48 0.5 0.520.540.560.58 0.6 0.620.640.660.68 0.7 0.720.740.760.78 0.8 0.820.840.860.88 0.9 0.920.940.960.98 1
問４． 複素数 ｚ ＝ａ＋ ｊ ｂ （ただし、ａ、ｂ は実数） と、その共役複素数 ｚ* の和と差、 ｚ＋ｚ* と ｚ－ｚ*
を、ａ、ｂ を使って表せ。