Transcript 線形計画問題の解法

第五回
線形計画法の解法（３）
標準最小値問題
2003.4.24
山梨大学
1
内容と目標
内容：
１．混合型LP問題の特例―標準最小値問題
２．Excelを用いて標準最小値問題を解析
する
 目標：
１．混合型LP問題を十分に理解する
２．Excelで混合型ＬＰ問題を解析する

2003.4.24
山梨大学
2
標準最大値問題・混合最大値問題


目的関数
Max. f(x)
制約条件


第三回：標準最大値問題ー＞ シンプレックス法
g(x)  c
第四回：混合最大値問題ー＞罰金法・２段階法

g(x)  c

2003.4.24
山梨大学
3
シンプレックス表に関する注意事項
(1) f行の最小負数が複数個あるときは、どれに縦ワ
クをつけてもよい。
(2) 縦ワク内に負数または０があるときは、その行
についてのθは計算する必要がない。横ワクは計
算されたθの最小正数の行につける。
(3) 縦ワク列の数がすべて負か０ならば、ｆの値は
いくらでも大きくすることができ、最適解はない。
2003.4.24
山梨大学
4
(4)θ列に最小値が複数個あるときは、ど
の行に横ワクをつけてもよい。
(5) 定数列に０があるとき：定数列に０
がある現象を退化という。退化してい
てもシンプレックス表の計算方法は変
わらない。
2003.4.24
山梨大学
5
標準最小値問題

目的関数：
Min. f = 4x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4

(1)
制約条件
x1+4x2+2x3+2x4 ≧ 70
2x1+3x2+4x3+ x4 ≧ 80
(2)
3x1+2x2+ x3+3x4 ≧ 60
x1 , x2, x3, x4≧0
2003.4.24
山梨大学
6
最小値問題の標準化

目的関数
Max. f0 = - 4x1 - 5x2 - 4x3 - 3x4

制約条件
x1+4x2+2x3+2x4-λ1
2x1+3x2+4x3+ x4
3x1+2x2 + x3+3x4

(3)
+μ1
-λ2
+μ2
-λ2
＝ 70
＝ 80
(4)
+μ3 ＝ 60
第一段階：f’ = -μ1 -μ2 -μ3
2003.4.24
山梨大学
7
シンプレックス表に関する注意
(1)ステップ１のf0行、f’行は以下の式を用いて作
る。ただし、f0 行を作るときはμ1、μ2、μ3 に対
するｃの値は０と考えて計算し、f’行を作ると
きはx1、x2、x3、x4 に対するｃの値は０と考え
て作らねばならない。
c’j = c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 - cj
(2)ステップ4ですべての人為変数が基底から追い
出されたので、f’行は表から除いた。ここから
第２段階になる。
2003.4.24
山梨大学
8
(3) ステップ5で最適条件が満たされている。
したがって、
x1=0, x2=9/2, x3 =27/2, x4=25/2
のとき、f0は最大、すなわちfは最小で
f = -f0 = 114
である。
2003.4.24
山梨大学
9
演習問題

目的関数：
Min. f = x1 + 2x2 + 5x3

(5)
制約条件：
3x1+4x2+ x3 ≧ 8
x1+2x2+4x3 ≧ 9
2003.4.24
山梨大学
(6)
10
シンプレックス解法ー２段階法

目的関数
f0=-x1-2x2- 5x3
f’= -μ1 -μ2

制約条件
3x1+4x2+ x3 -λ1 +μ1
x1+2x2+4x3
2003.4.24
＝8
-λ2 +μ2 ＝ 9
山梨大学
11
課 題

目的関数
Min. f = x1+x2 +x3+x4

制約条件
x1＋2x2 + 3x3＋4x4 ≧22
2x1＋4x2 + 2x3 + x4 ≧8
3x1＋ x2 + 3x3 +2x4 ≧17
x1, x2, x3, x4≧0
2003.4.24
山梨大学
12